Racine carrée d’un nombre positif. Définition et propriétés

1. Racine carrée d’un nombre positif

1.1. Définitions et exemples

Théorème et définition 1.
Soit $a$ un nombre positif.
Il existe un seul nombre positif $c$ dont le carré est égal à $a$. Ce nombre est appelé « racine carrée de $a$ » et se note $\sqrt{a}$. Ce qui donne : $$ \boxed{\; c=\sqrt{a}\quad\text{si et seulement si}\quad c^2=a\;}$$ Le symbole $\sqrt{{.}}$ s’appelle un « radical ».

Exemples

$\sqrt{-2}$ n’existe pas car il n’existe aucun nombre dont le carré est égal à $– 2$.

$\sqrt{25}=5$ car $5^2=25$ et $5 > 0$.

$\sqrt{25}\not=-5$ car $(-5)^2=25$, mais $-5<0$. La racine carrée d’un nombre réel positif est un nombre réel positif.

1.2. Premières propriétés

Propriétés 1.
Quels que soient le nombre $a$ positif, on a les propriétés suivantes :
$(P_0)$ : $\sqrt{a}\geqslant0$.
$(P_1)$ : $[\sqrt{a}=0$ si et seulement si $a = 0]$.
$(P_2)$ : $(\sqrt{a})^2=a$.
$(P_{2bis})$ : $\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a$.
$(P_3)$ : $\sqrt{a^2}=a$.

L’attribut alt de cette image est vide, son nom de fichier est ReciprociteCarreRacine-1024x349.jpg. — Réciprocité des opérations « Élever au carré » et « Prendre la racine carrée »

En effet :

1°) Par définition, la racine carrée d’un nombre positif est un nombre positif. Et $0$ est le seul nombre positif dont le carré est égal à $0$. On obtient les deux propriétés $(P_0)$ et $(P_1)$.

2°) Comme $c=\sqrt{a}$ équivaut à $c^2=a$, en remplaçant $c$ par $\sqrt{a}$, on obtient : $(\sqrt{a})^2=a$. D’où $(P_2)$.
Le carré d’un nombre s’obtient en multipliant ce nombre par lui-même, donc : $$(\sqrt{a})^2=a\Leftrightarrow\sqrt{a}\times \sqrt{a}=a$$ On obtient la propriété $(P_{2bis})$.

3°) Si $a\geqslant0$, donc par définition de la racine carrée, $(\sqrt{a^2})^2=a^2$. Or est le seul nombre positif dont le carré est égal à $a^2$ est $a$ lui-même. Donc, $\sqrt{a^2}=a$. On obtient la propriété $(P_3)$.

Exemples

$(\sqrt{8})^2=\sqrt{8}\times\sqrt{8}= \boxed{\; 8\;}$
et $\sqrt{5^2}=\sqrt{25}= \boxed{\; 5\;}$.

1.3. Nature de ces nombres

Propriété 2.
Si $a$ est un nombre positif, alors $\sqrt{a}$ peut être un nombre entier, un nombre décimal, un nombre rationnel ou encore un nombre irrationnel (comme $\pi$ ou $\sqrt{2}$).

Exemples

$\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$ sont des nombres irrationnels.
$\sqrt{25}=5$ est un nombre entier.
$\sqrt{2,25}=1,5$ est un nombre décimal.
$\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$ est un nombre rationnel, car $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}$.
$\sqrt{\pi^2}=\pi$ est un nombre irrationnel.

Pour obtenir un nombre entier, il faut choisir un nombre dans la liste des nombres entiers carrés parfaits : $0$ ; $1$ ; $4$ ; $9$ ; $16$ ; $25$ ; $36$ ; $49$ ; $64$ ; $81$ ; $100$ ; $121$ ; $144$ ; $169$ ; $196$ ; $225$ ; $256$ ; $289$ ; $324$ ; $361$ ; $400$ ; $\ldots$

Propriété 3.
Si $N$ est un entier naturel qui n’est pas un carré parfait, alors $\sqrt{N}$ est un nombre irrationnel.

2. Opérations et racines carrées

2.1. Racine carrée et multiplication

Propriété 4.
Soient $a$ et $b$ deux nombres positifs. Alors, la racine carrée du produit est égal au produit des racines carrées : $$(P_4):\quad \boxed{\; \sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\;}$$

On dit que « La racine carrée est compatible (c’est-à-dire qui se marie bien) avec la multiplication ».

Exemple

$\sqrt{8}\times\sqrt{2}=\sqrt{8\times2}=\sqrt{16}= \boxed{\; 4\;}$.

2.2. Racine carrée et quotient

Propriété 5.
Soient $a$ et $b$ deux nombres positifs, $b\not=0$. Alors, la racine carrée du quotient est égal au quotient des racines carrées : $$(P_5):\quad \boxed{\; \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\;}$$

On dit que « La racine carrée est compatible avec la division ».

Exemple

$\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{48}}=\sqrt{\dfrac{27}{48}}=\sqrt{\dfrac{9\times3}{16\times3}}=\sqrt{\dfrac{9}{16}}=\color{brown}{\boxed{\;\dfrac{3}{4}}\;}$

2.3. Racine carrée et addition

Propriété 6.
Soient $a$ et $b$ deux nombres positifs non nuls. Alors, en général, la somme des deux racines carrées n’est pas égale à la racine carrée de la somme : $$(P_6):\quad \boxed{\; \sqrt{a+b}\not=\sqrt{a}+\sqrt{b}\;}$$

On dit que « La racine carrée est n’est pas compatible avec l’addition ».

Exemple

$\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ et $\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7$.
Donc, on a bien : $\sqrt{16+9}\not=\sqrt{16}+\sqrt{9}$.

3.4) Racine carrée et soustraction

Propriété 7.
Soient $a$ et $b$ deux nombres positifs non nuls, $a>b$. Alors, en général, la différence des deux racines carrées n’est pas égale à la racine carrée de la différence : $$(P_7):\quad \boxed{\; \sqrt{a-b}\not=\sqrt{a}-\sqrt{b}\;}$$

On dit que « La racine carrée est n’est pas compatible avec la soustraction ».

Exemple

$\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$ et $\sqrt{16}-\sqrt{9}=4-3=1$.
Donc, on a bien : $\sqrt{16-9}\not=\sqrt{16}-\sqrt{9}$.

3. Comment simplifier ou réduire une racine carrée ?

Définition 3.
Simplifier ou réduire la racine carrée $\sqrt{18}$ revient à l’écrire sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers et le nombre $b$ sous le radical est le plus petit possible !

Pour simplifier ou réduire la racine carrée d’un nombre entier, il faut commencer par le décomposer au maximum à l’aide des nombres entiers carrés parfaits : $0$ ; $1$ ; $4$ ; $9$ ; $16$ ; $25$ ; $36$ ; $49$ ; $64$ ; $81$ ; $100$ ; $121$ ; $144$ ; $169$ ; $\ldots$

Exemple

$$\begin{array}{ll}
&\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}\\
&\phantom{\sqrt{18}}=\sqrt{9}\times\sqrt{2}\\
&\phantom{\sqrt{18}}=3\times\sqrt{2}\\
\text{D’où :} &\color{brown}{\boxed{\;\sqrt{18}=3\sqrt{2}}\;}\\ \end{array}$$

Comme vous le voyez, pour simplifier ou réduire une racine carrée, nous allons utiliser les nombres entiers carrés parfaits et les propriétés des racines carrées. On va donc en rajouter une à partir de $(P_3)$ et $(P_4)$ :

Propriété 8. simplification des racine carrées.
Soient k et a deux nombres positifs. Alors : $$(P_8):\quad \boxed{\; \sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}\;}$$

En effet, on a :
$\begin{array}{ll}
&\sqrt{k^2a}=\sqrt{k^2}\times\sqrt{a}\\
\text{Donc :} &\sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}\\
\text{Et par suite :}&\color{brown}{ \boxed{\;\sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}}\;}\\ \end{array}$

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Écrire les racines carrées suivantes sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers et le nombre $b$ sous le radical est le plus petit possible !
$\sqrt{50}$ ; $\sqrt{48}$ et $\sqrt{45}$.

1°) $\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=\color{brown}{ \boxed{\; 5\sqrt{2}}\;}$.

2°) $\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}=\sqrt{16}\times\sqrt{3}=\color{brown}{ \boxed{\; 4\sqrt{3}}\;}$.

3°) $\sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=\sqrt{9}\times\sqrt{5}=\color{brown}{ \boxed{\; 3\sqrt{5}}\;}$.

Exercice résolu n°2.
Écrire les nombres suivant sous la forme de d’une seule racine carrée.
$7\sqrt{2}$ ; $4\sqrt{5}$ et $3\sqrt{11}$.

1°) $7\sqrt{2}=\sqrt{49}\times\sqrt{2}= \sqrt{49\times 2} =\color{brown}{ \boxed{\;\sqrt{98}}\;}$.

2°) $4\sqrt{5}=\sqrt{16}\times\sqrt{5}= \sqrt{16\times 5} =\color{brown}{ \boxed{\;\sqrt{80}}\;}$.

3°)$3\sqrt{11}=\sqrt{9}\times\sqrt{11}= \sqrt{9\times 11} =\color{brown}{ \boxed{\;\sqrt{99}}\;}$.

Exercice résolu n°3.
Écrire les nombres suivant sous la forme de d’une seule racine carrée.
$\dfrac{2}{3}\sqrt{5}$ et $\dfrac{5}{\sqrt{2}}$.

1°) $\dfrac{2}{3}\sqrt{5}=\sqrt{ \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 }\times\sqrt{2}= \sqrt{\dfrac{4}{9}\times2} =\color{brown}{ \boxed{\;\sqrt{\dfrac{8}{9}}}\;}$.

2°) Nous avons deux possibilités pour répondre à cette question :
$\dfrac{5}{\sqrt{2}}= \dfrac{\sqrt{5^2}}{\sqrt{2}}=\color{brown}{ \boxed{\;\sqrt{\dfrac{25}{2}}}\;}$.