Comment simplifier ou réduire une racine carrée ?

  1. Découverte de la racine carrée d’un nombre réel positif
  2. Définition et propriétés de la racine carrée
  3. Comment simplifier ou réduire une racine carrée ?
  4. Comment calculer une expression avec des racines carrées ?
  5. Comment réduire une somme ou un produit avec les racines carrées ?
  6. Résolution d’équations de la forme $x^2=a$
  7. Applications des identités remarquables aux racines carrées.
  8. Rendre rationnel un dénominateur.
    Applications en géométrie
  9. Calcul de la diagonale du carrée en fonction de la longueur de son côté
  10. Calcul de la hauteur d’un triangle équilatéral.

1. Méthode pour simplifier ou réduire une racine carrée

Définition 3.
Simplifier ou réduire la racine carrée $\sqrt{18}$ revient à l’écrire sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers et le nombre $b$ sous le radical est le plus petit possible !

Pour simplifier ou réduire la racine carrée d’un nombre entier, il faut commencer par le décomposer au maximum à l’aide des nombres entiers carrés parfaits : $0$ ; $1$ ; $4$ ; $9$ ; $16$ ; $25$ ; $36$ ; $49$ ; $64$ ; $81$ ; $100$ ; $121$ ; $144$ ; $169$ ; $196$ ; $225$ ; $256$ ; $289$ ; $324$ ; $361$ ; $400$ ; $\ldots$

Exemple

$$\begin{array}{ll}
&\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}\\
&\phantom{\sqrt{18}}=\sqrt{9}\times\sqrt{2}\\
&\phantom{\sqrt{18}}=3\times\sqrt{2}\\
\text{D’où :} &\color{brown}{\boxed{\;\sqrt{18}=3\sqrt{2}}\;}\\ \end{array}$$

Comme vous le voyez, pour simplifier ou réduire une racine carrée, nous allons utiliser les nombres entiers carrés parfaits et les propriétés des racines carrées. On va donc en rajouter une à partir de $(P_3)$ et $(P_4)$ :

Propriété 8. simplification des racine carrées.
Soient k et a deux nombres positifs. Alors : $$(P_8):\quad \boxed{\; \sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}\;}$$

En effet, on a :
$\begin{array}{ll}
&\sqrt{k^2a}=\sqrt{k^2}\times\sqrt{a}\\
\text{Donc :} &\sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}\\
\text{Et par suite :}&\boxed{\;\sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}\;}\\ \end{array}$

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Écrire les racines carrées suivantes sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers et le nombre $b$ sous le radical est le plus petit possible !
$\sqrt{50}$ ; $\sqrt{48}$ et $\sqrt{45}$.

1°) $\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=\color{brown}{ \boxed{\; 5\sqrt{2}}\;}$.

2°) $\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}=\sqrt{16}\times\sqrt{3}=\color{brown}{ \boxed{\; 4\sqrt{3}}\;}$.

3°) $\sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=\sqrt{9}\times\sqrt{5}=\color{brown}{ \boxed{\; 3\sqrt{5}}\;}$.

Exercice résolu n°2.
Écrire les nombres suivant sous la forme de d’une seule racine carrée.
$7\sqrt{2}$ ; $4\sqrt{5}$ et $3\sqrt{11}$.

1°) $7\sqrt{2}=\sqrt{49}\times\sqrt{2}= \sqrt{49\times 2} =\color{brown}{ \boxed{\;\sqrt{98}}\;}$.

2°) $4\sqrt{5}=\sqrt{16}\times\sqrt{5}= \sqrt{16\times 5} =\color{brown}{ \boxed{\;\sqrt{80}}\;}$.

3°)$3\sqrt{11}=\sqrt{9}\times\sqrt{11}= \sqrt{9\times 11} =\color{brown}{ \boxed{\;\sqrt{99}}\;}$.

Exercice résolu n°3.
Écrire les nombres suivant sous la forme de d’une seule racine carrée.
$\dfrac{2}{3}\sqrt{5}$ et $\dfrac{5}{\sqrt{2}}$.

1°) $\dfrac{2}{3}\sqrt{5}=\sqrt{ \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 }\times\sqrt{2}= \sqrt{\dfrac{4}{9}\times2} =\color{brown}{ \boxed{\;\sqrt{\dfrac{8}{9}}}\;}$.

2°) Nous avons deux possibilités pour répondre à cette question :
$\dfrac{5}{\sqrt{2}}= \dfrac{\sqrt{5^2}}{\sqrt{2}}=\color{brown}{ \boxed{\;\sqrt{\dfrac{25}{2}}}\;}$.

Vues : 4505