Comment simplifier ou réduire une racine carrée ?


1. Méthode pour simplifier ou réduire une racine carrée

Définition 3.
Simplifier ou réduire la racine carrée $\sqrt{18}$ revient à l’écrire sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers et le nombre $b$ sous le radical est le plus petit possible !

Pour simplifier ou réduire la racine carrée d’un nombre entier, il faut commencer par le décomposer au maximum à l’aide des nombres entiers carrés parfaits : $0$ ; $1$ ; $4$ ; $9$ ; $16$ ; $25$ ; $36$ ; $49$ ; $64$ ; $81$ ; $100$ ; $121$ ; $144$ ; $169$ ; $196$ ; $225$ ; $256$ ; $289$ ; $324$ ; $361$ ; $400$ ; $\ldots$

Exemple

$$\begin{array}{ll}
&\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}\\
&\phantom{\sqrt{18}}=\sqrt{9}\times\sqrt{2}\\
&\phantom{\sqrt{18}}=3\times\sqrt{2}\\
\text{D’où :} &\color{brown}{\boxed{\;\sqrt{18}=3\sqrt{2}}\;}\\ \end{array}$$

Comme vous le voyez, pour simplifier ou réduire une racine carrée, nous allons utiliser les nombres entiers carrés parfaits et les propriétés des racines carrées. On va donc en rajouter une à partir de $(P_3)$ et $(P_4)$ :

Propriété 8. simplification des racine carrées.
Soient k et a deux nombres positifs. Alors : $$(P_8):\quad \boxed{\; \sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}\;}$$

En effet, on a :
$\begin{array}{ll}
&\sqrt{k^2a}=\sqrt{k^2}\times\sqrt{a}\\
\text{Donc :} &\sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}\\
\text{Et par suite :}&\boxed{\;\sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}\;}\\ \end{array}$

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Écrire les racines carrées suivantes sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers et le nombre $b$ sous le radical est le plus petit possible !
$\sqrt{50}$ ; $\sqrt{48}$ et $\sqrt{45}$.

1°) $\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=\color{brown}{ \boxed{\; 5\sqrt{2}}\;}$.

2°) $\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}=\sqrt{16}\times\sqrt{3}=\color{brown}{ \boxed{\; 4\sqrt{3}}\;}$.

3°) $\sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=\sqrt{9}\times\sqrt{5}=\color{brown}{ \boxed{\; 3\sqrt{5}}\;}$.


Exercice résolu n°2.
Écrire les nombres suivant sous la forme de d’une seule racine carrée.
$7\sqrt{2}$ ; $4\sqrt{5}$ et $3\sqrt{11}$.

1°) $7\sqrt{2}=\sqrt{49}\times\sqrt{2}= \sqrt{49\times 2} =\color{brown}{ \boxed{\;\sqrt{98}}\;}$.

2°) $4\sqrt{5}=\sqrt{16}\times\sqrt{5}= \sqrt{16\times 5} =\color{brown}{ \boxed{\;\sqrt{80}}\;}$.

3°)$3\sqrt{11}=\sqrt{9}\times\sqrt{11}= \sqrt{9\times 11} =\color{brown}{ \boxed{\;\sqrt{99}}\;}$.


Exercice résolu n°3.
Écrire les nombres suivant sous la forme de d’une seule racine carrée.
$\dfrac{2}{3}\sqrt{5}$ et $\dfrac{5}{\sqrt{2}}$.

1°) $\dfrac{2}{3}\sqrt{5}=\sqrt{ \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 }\times\sqrt{2}= \sqrt{\dfrac{4}{9}\times2} =\color{brown}{ \boxed{\;\sqrt{\dfrac{8}{9}}}\;}$.

2°) Nous avons deux possibilités pour répondre à cette question :
$\dfrac{5}{\sqrt{2}}= \dfrac{\sqrt{5^2}}{\sqrt{2}}=\color{brown}{ \boxed{\;\sqrt{\dfrac{25}{2}}}\;}$.