Calcul de la diagonale $d$ d’un carré en fonction de la longueur du côté $a$

  1. Découverte de la racine carrée d’un nombre réel positif
  2. Définition et propriétés de la racine carrée
  3. Comment simplifier ou réduire une racine carrée ?
  4. Comment calculer une expression avec des racines carrées ?
  5. Comment réduire une somme ou un produit avec les racines carrées ?
  6. Résolution d’équations de la forme $x^2=a$
  7. Applications des identités remarquables aux racines carrées.
  8. Rendre rationnel un dénominateur.
    Applications en géométrie
  9. Calcul de la diagonale du carrée en fonction de la longueur de son côté
  10. Calcul de la hauteur d’un triangle équilatéral.

1. La diagonale $d$ du carré en fonction du côté $a$

Théorème 1.
Soit $ABCD$ est un carré de côté $a$ et de diagonale $d$. Alors, la longueur $d$ de la diagonale du carré s’écrit en fonction de la longueur $a$ du côté du carré : $$ \boxed{\; d=a\sqrt{2}\;}$$

Soit $ABCD$ un carré de côté $a$ et de diagonale $d$. On cherche à exprimer la diagonale $d$ en fonction de $a$. On fait d’abord un schéma.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Donc, d’après le théorème de Pythagore, on a : $\begin{array}{ll}
& AC^2=AB^2+BC^2\\
& d^2=a^2+a^2\\
& d^2 = 2a^2\\
& d=\sqrt{2a^2},\quad d>0\text{ et }a>0\\
& d=\sqrt{2}\times \sqrt{a^2}\\
\text{d’où : }& \color{brown}{\boxed{\; d=a\sqrt{2}\;}}\\ \end{array}$
Conclusion 1. Dans un carré quelconque de côté $a$, la longueur de la diagonale est toujours égale à $d=a\sqrt{2}$. (A refaire et à apprendre par coeur !)

2. Calcul de la longueur du côté d’un carré en fonction de la longueur la diagonale $d$

Réciproquement.

Théorème 2.
Soit $ABCD$ est un carré de côté $a$ et de diagonale $d$. Alors, la longueur $a$ du coté du carré s’écrit en fonction de la diagonale $d$ : $$\boxed{\; a=\dfrac{d}{\sqrt{2}}\;}\quad\text{ou encore}\quad \boxed{\; a=\dfrac{d\sqrt{2}}{2}\;}$$

On sait que $d=a\sqrt{2}$. On en déduit que : $a=\dfrac{d}{\sqrt{2}}$.
Si on multiplie les numérateur et dénominateur par $\sqrt{2}$, on obtient :
$a=\dfrac{d}{\sqrt{2}}= \dfrac{d\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}$. D’où : $\boxed{\; a=\dfrac{d\sqrt{2}}{2}\;}$.
$\blacktriangle$ CQFD.

3. Deux formules pour calculer l’aire du carré

Théorème 2.
Soit $ABCD$ est un carré de côté $a$ et de diagonale $d$. Alors, 1°) L’aire ${\mathcal A}$ du carré est égale au carré de la longueur de son côté $a$ : $$\boxed{\;{\mathcal A}=\text{côté au carré} =a^2\;}$$
2°) L’aire ${\mathcal A}$ du carré est égale à la moitié du carré de sa diagonale $d$ : $$\boxed{\;{\mathcal A}=\dfrac{d^2}{2}\;}$$

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Calculer la valeur exacte de la longueur de la diagonale d’un carré de côté $a=10$cm. Donner une valeur approchée au millième près.

La longueur $d$ de la diagonale d’un carré de côté $a=10$cm s’écrit : $d=a\sqrt{2}$. Donc : $$\boxed{\; d=10\sqrt{2}\;}$$
Et par conséquent, à la calculatrice, on obtient : $$\boxed{\; d\simeq14,142~\text{cm}^2\;}$$

Exercice résolu n°2.
Calculer la valeur exacte de la longueur de la diagonale d’un carré dont l’aire est égale à ${\mathcal A}=10$cm${}^2$. Donner une valeur approchée de $d$ au millième près.

On sait que l’aire du carré s’exprime en fonction de la longueur de la diagonale $d$ comme suit : ${\mathcal A}=\dfrac{d^2}{2}$. Donc, on résout une équation
$\begin{array}{lrl}
&\dfrac{d^2}{2}&=10\\
& d^2 &=2\times10,~\text{d>0}\\
& d^2 &=20,~\text{d>0}\\
\text{Donc :} & d=\sqrt{20}\\ \end{array} $$
Et par conséquent, à la calculatrice, on obtient : $$\boxed{\; d\simeq4,472\;}$$ $\blacktriangle$ CQFD.

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