Calcul de la diagonale $d$ d’un carré en fonction de la longueur du côté $a$


1. La diagonale $d$ du carré en fonction du côté $a$

Théorème 1.
Soit $ABCD$ est un carré de côté $a$ et de diagonale $d$. Alors, la longueur $d$ de la diagonale du carré s’écrit en fonction de la longueur $a$ du côté du carré : $$ \boxed{\; d=a\sqrt{2}\;}$$

Soit $ABCD$ un carré de côté $a$ et de diagonale $d$. On cherche à exprimer la diagonale $d$ en fonction de $a$. On fait d’abord un schéma.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Donc, d’après le théorème de Pythagore, on a : $\begin{array}{ll}
& AC^2=AB^2+BC^2\\
& d^2=a^2+a^2\\
& d^2 = 2a^2\\
& d=\sqrt{2a^2},\quad d>0\text{ et }a>0\\
& d=\sqrt{2}\times \sqrt{a^2}\\
\text{d’où : }& \color{brown}{\boxed{\; d=a\sqrt{2}\;}}\\ \end{array}$
Conclusion 1. Dans un carré quelconque de côté $a$, la longueur de la diagonale est toujours égale à $d=a\sqrt{2}$. (A refaire et à apprendre par coeur !)


2. Calcul de la longueur du côté d’un carré en fonction de la longueur la diagonale $d$

Réciproquement.

Théorème 2.
Soit $ABCD$ est un carré de côté $a$ et de diagonale $d$. Alors, la longueur $a$ du coté du carré s’écrit en fonction de la diagonale $d$ : $$\boxed{\; a=\dfrac{d}{\sqrt{2}}\;}\quad\text{ou encore}\quad \boxed{\; a=\dfrac{d\sqrt{2}}{2}\;}$$

On sait que $d=a\sqrt{2}$. On en déduit que : $a=\dfrac{d}{\sqrt{2}}$.
Si on multiplie les numérateur et dénominateur par $\sqrt{2}$, on obtient :
$a=\dfrac{d}{\sqrt{2}}= \dfrac{d\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}$. D’où : $\boxed{\; a=\dfrac{d\sqrt{2}}{2}\;}$.
$\blacktriangle$ CQFD.


3. Deux formules pour calculer l’aire du carré

Théorème 2.
Soit $ABCD$ est un carré de côté $a$ et de diagonale $d$. Alors, 1°) L’aire ${\mathcal A}$ du carré est égale au carré de la longueur de son côté $a$ : $$\boxed{\;{\mathcal A}=\text{côté au carré} =a^2\;}$$
2°) L’aire ${\mathcal A}$ du carré est égale à la moitié du carré de sa diagonale $d$ : $$\boxed{\;{\mathcal A}=\dfrac{d^2}{2}\;}$$

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Calculer la valeur exacte de la longueur de la diagonale d’un carré de côté $a=10$cm. Donner une valeur approchée au millième près.

La longueur $d$ de la diagonale d’un carré de côté $a=10$cm s’écrit : $d=a\sqrt{2}$. Donc : $$\boxed{\; d=10\sqrt{2}\;}$$
Et par conséquent, à la calculatrice, on obtient : $$\boxed{\; d\simeq14,142~\text{cm}^2\;}$$


Exercice résolu n°2.
Calculer la valeur exacte de la longueur de la diagonale d’un carré dont l’aire est égale à ${\mathcal A}=10$cm${}^2$. Donner une valeur approchée de $d$ au millième près.

On sait que l’aire du carré s’exprime en fonction de la longueur de la diagonale $d$ comme suit : ${\mathcal A}=\dfrac{d^2}{2}$. Donc, on résout une équation
$\begin{array}{lrl}
&\dfrac{d^2}{2}&=10\\
& d^2 &=2\times10,~\text{d>0}\\
& d^2 &=20,~\text{d>0}\\
\text{Donc :} & d=\sqrt{20}\\ \end{array} $$
Et par conséquent, à la calculatrice, on obtient : $$\boxed{\; d\simeq4,472\;}$$ $\blacktriangle$ CQFD.