Ensemble $\R$ des nombres réels. Droite numérique

  1. Ensemble $\N$ des nombres entiers naturels et ensemble $\Z$ des nombres des entiers relatifs.
  2. Ensemble $\D$ des nombres décimaux relatifs.
  3. Ensemble $\Q$ des nombres rationnels. Nombres irrationnels.
  4. Exemples fournis par la géométrie, par exemple $2$ et $\pi$.
  5. Ensemble $\R$ des nombres réels, droite numérique.
  6. Comparaison de deux nombres réels.
  7. Intervalles de $\R$. Notations $+\infty$ et $+\infty$.
  8. Valeur absolue d’un nombre réel. Notation $|a|$.
  9. Distance entre deux nombres réels.
  10. Résolution d’équation du type $\abs{x-a}=r$.
  11. Représentation de l’intervalle $[a – r , a+r ]$ puis par la condition $|x-a|\leqslant r$.
  12. Encadrement décimal d’un nombre réel à $10^{-n}$ près.

1. Ensemble $\R$ des nombres réels

Définition 1.
L’ensemble des nombres réels est formé de tous les nombres utilisés en classe de Seconde. Il contient les nombres rationnels (donc $\Q\subset\R$) et les nombres irrationnels tels que $\sqrt{2}$ ; $\sqrt{3}$ ;… $\pi$ ; $2\pi+3$ ;…
L’ensemble $\R$ est généralement représenté par une droite graduée, qu’on appelle « la droite réelle ». On note également, très rarement, l’ensemble $\R$ sous la forme d’intervalle :
$$\R=\left] -\infty;+\infty\right[$$

Propriété 1.
1°) A tout point $M$ de la droite graduée, on peut associer un nombre réel $x_M$, appelé abscisse du point $M$.
2°) Réciproquement : A tout nombre réel $x$, on peut associer un point $M$ de la droite graduée dont il est l’abscisse.
Par conséquent, la droite réelle représente l’ensemble des nombres réels.

Dans la figure ci-dessus, le point $O$ a pour abscisse $0$ ; le point $A$ a pour abscisse $-\sqrt{2}\simeq 1,41$ et le point $B$ a pour abscisse $\pi\simeq3;14$.

Propriété 2.
Tous les entiers naturels, les entiers relatifs, les nombres décimaux relatifs, les nombres rationnels et les nombres irrationnels, sont des nombres réels. Nous avons les inclusions suivantes :
$$\N\subset \Z\subset \D\subset \Q\subset \R$$

Définition 2.
On note également $\R^{{}*{}}$ ou $\R\setminus\{0\}$ l’ensemble des nombres réels différents de $0$. On a alors : $$\R^{{}*{}}=\left] -\infty;0\right[\cup \left] 0;+\infty\right[$$
Le symbole « antislash » « \» se lit « privé de ». Ainsi, $\R\setminus{0}$ se lit aussi « $\R$ privé de 0 ».

Définition 3.
On note également $\R^{{}+{}}$ l’ensemble des nombres réels positifs. On a alors : $$\R^{{}+{}}=\left[ 0;+\infty\right[$$
On peut mixer les deux notations : $\R^{{}+*{}}$, désigne l’ensemble des nombres réels strictement positifs.

Exercice résolu.

Méthode :

Corrigé.

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