Résolution d’équations de la forme $x^2=a$


Les équations de la forme $x^2= a$ se ramènent en particulier à des équations produits. Elles utilisent également une propriété fondamentale des nombres réels, appelée le théorème du produit nul.


1. Résolution d’équations de la forme $x^2=a$

Théorème.
Soit $a$ un nombre réel. Pour résoudre l’équation $x^2=a$, on distingue trois cas :
– 1er cas : $a < 0$ : L’équation $x^2=a$ n’admet aucune de solution. Donc $${\cal S} =\emptyset$$ car le carré d’un nombre réel est un nombre positif ou nul. Or ici, $a<0$, donc $a\neq 0$.
– 2ème cas : $a = 0$ : L’équation $x^2=0$ admet une solution unique $x = 0$. Donc
$$\color{brown}{{\cal S}=\left\{0\right\}}$$
car 0 est le seul nombre réel dont le carré est égal à 0.
– 3ème cas : $a > 0$ : L’équation $x^2=a$ admet deux solutions $x=-\sqrt{a}$ et $x=\sqrt{a}$. Donc : $$\color{brown}{{\cal S}=\left\{-\sqrt{a};\sqrt{a}\right\}}$$

Démonstration : Les deux premiers cas sont évidents.

Pour le 3ème cas, comme $a>0$ on a les équivalences suivantes
$$\begin{eqnarray}
x^2=a &\Leftrightarrow& x^2-(\sqrt{a})^2 = 0 &\text{(I.R.n°3)} \\
&\Leftrightarrow& (x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a}) = 0 &\text{Je factorise}\\
&\Leftrightarrow& x+\sqrt{a}=0\quad\text{ou}\quad x-\sqrt{a} = 0 &\text{(T.P.N.)} \\
&\Leftrightarrow& x=-\sqrt{a}\quad\text{ou}\quad x=\sqrt{a} & \\
\end{eqnarray}$$

Conclusion. Lorsque $a>0$, l’équation $x^2=a$ admet deux solutions $x=-\sqrt{a}$ et $x=\sqrt{a}$. Donc : $$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}=\left\{-\sqrt{a};\sqrt{a}\right\}\quad}}$$

2. Exercices résolus

Exercice résolu 1. Résoudre les équations suivantes dans $\R$ :
1°) ($E_1$) : $x^2=11$.
2°) ($E_2$) : $x^2+9=0$.
3°) ($E_3$) : $(2x-5)^2=9$.
4°) ($E_4$) : $(2x-5)^2=(x-3)^2$.

Corrigé
1°) Résoudre l’équation : ($E_1$) : $x^2=11$.
$$\begin{eqnarray}
(E_1) &\Leftrightarrow& x^2=11 \\
&\Leftrightarrow& x^2-11 =0 \\
&\Leftrightarrow& x^2-(\sqrt{11})^2 = 0 &\text{(I.R. n°3)} \\
&\Leftrightarrow& (x+\sqrt{11})(x-\sqrt{11}) = 0 &\text{Je factorise}\\
&\Leftrightarrow& x+\sqrt{11}=0\quad\text{ou}\quad x-\sqrt{11} = 0 &\text{(T.P.N.)} \\
&\Leftrightarrow& x=-\sqrt{11}=0\quad\text{ou}\quad x=\sqrt{11} & \\
\end{eqnarray}$$
Conclusion. Cette équation ($E_1$) admet exactement deux solutions dans $\R$. Donc l’ensemble des solutions est : $$\color{brown}{\boxed{\quad {\cal S}=\left\{-\sqrt{11};\sqrt{11}\right\} \quad}}$$

2°) Résoudre l’équation : ($E_1$) : $x^2+9 =0$.
$$\begin{eqnarray}
(E_2) &\Leftrightarrow& x^2+9 =0 \\
&\Leftrightarrow& x^2=-9 &\quad\text{Impossible.} \\
\end{eqnarray}$$
Conclusion. Comme un carré n’est jamais négatif, l’équation $(E_2)$ n’admet aucune de solution dans $\R$. Donc : $$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S} =\emptyset\quad}}$$

3°) Résoudre l’équation : ($E_3$) : $(2x-5)^2=9$.
$$\begin{eqnarray}
(E_3) &\Leftrightarrow& (2x-5)^2=9 & \\
&\Leftrightarrow& (2x-5)^2 -9=0 &\text{Une différence} \\
&\Leftrightarrow& (2x-5)^2 -3^2=0 &\text{I.R. n°3} \\
&\Leftrightarrow& \left[(2x-5)+3\right]\left[(2x-5)-3\right]=0 &\text{Je factorise} \\
&\Leftrightarrow& (2x-2)(2x-8)=0 &\text{Je réduis} \\
&\Leftrightarrow& 2x-2=0\quad\text{ou}\quad 2x-8=0 &\text{T.P.N.} \\
&\Leftrightarrow& x=1\quad\text{ou}\quad x=4 & \\
\end{eqnarray}$$
Conclusion. L’équation $(E_3)$ admet exactement deux solutions dans $\R$. Donc :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S} =\left\{1 ; 4\right\}\quad}}$$

4°) Résoudre l’équation : ($E_4$) : $(2x-5)^2=(x-3)^2$
$$\begin{eqnarray}
(E_4) &\Leftrightarrow& (2x-5)^2=(x-3)^2 & \\
&\Leftrightarrow& (2x-5)^2 -(x-3)^2=0 &\text{Une I.R. n°3} \\
&\Leftrightarrow& \left[(2x-5)-(x-3)\right]\left[(2x-5)+(x-3)\right]=0 &\text{Je factorise} \\
&\Leftrightarrow& \left[(2x-5)-(x-3)\right]\left[(2x-5)+(x-3)\right]=0 &\text{Je développe} \\
&\Leftrightarrow& (2x-5-x+3)(2x-5+x-3)=0 &\text{Je réduis} \\
&\Leftrightarrow& (x-2)(3x-8)=0 &\text{Je réduis} \\
&\Leftrightarrow& x-2=0\quad\text{ou}\quad 3x-8=0 &\text{T.P.N.} \\
&\Leftrightarrow& x=2\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{8}{3} & \\
\end{eqnarray}$$
Conclusion. L’équation $(E_3)$ admet exactement deux solutions dans $\R$. Donc :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S} =\left\{2; \dfrac{8}{3}\right\}\quad}}$$

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