Résolution d’équations de la forme $x^2=a$
Les équations de la forme $x^2= a$ se ramènent en particulier à des équations produits. Elles utilisent également une propriété fondamentale des nombres réels, appelée le théorème du produit nul.
1. Résolution d’équations de la forme $x^2=a$
Théorème.
Soit $a$ un nombre réel. Pour résoudre l’équation $x^2=a$, on distingue trois cas :
– 1er cas : $a < 0$ : L’équation $x^2=a$ n’admet aucune de solution. Donc $${\cal S} =\emptyset$$ car le carré d’un nombre réel est un nombre positif ou nul. Or ici, $a<0$, donc $a\neq 0$.
– 2ème cas : $a = 0$ : L’équation $x^2=0$ admet une solution unique $x = 0$. Donc
$$\color{brown}{{\cal S}=\left\{0\right\}}$$
car 0 est le seul nombre réel dont le carré est égal à 0.
– 3ème cas : $a > 0$ : L’équation $x^2=a$ admet deux solutions $x=-\sqrt{a}$ et $x=\sqrt{a}$. Donc : $$\color{brown}{{\cal S}=\left\{-\sqrt{a};\sqrt{a}\right\}}$$
Démonstration : Les deux premiers cas sont évidents.
Pour le 3ème cas, comme $a>0$ on a les équivalences suivantes
$$\begin{eqnarray}
x^2=a &\Leftrightarrow& x^2-(\sqrt{a})^2 = 0 &\text{(I.R.n°3)} \\
&\Leftrightarrow& (x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a}) = 0 &\text{Je factorise}\\
&\Leftrightarrow& x+\sqrt{a}=0\quad\text{ou}\quad x-\sqrt{a} = 0 &\text{(T.P.N.)} \\
&\Leftrightarrow& x=-\sqrt{a}\quad\text{ou}\quad x=\sqrt{a} & \\
\end{eqnarray}$$
Conclusion. Lorsque $a>0$, l’équation $x^2=a$ admet deux solutions $x=-\sqrt{a}$ et $x=\sqrt{a}$. Donc : $$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}=\left\{-\sqrt{a};\sqrt{a}\right\}\quad}}$$
2. Exercices résolus
Exercice résolu 1. Résoudre les équations suivantes dans $\R$ :
1°) ($E_1$) : $x^2=11$.
2°) ($E_2$) : $x^2+9=0$.
3°) ($E_3$) : $(2x-5)^2=9$.
4°) ($E_4$) : $(2x-5)^2=(x-3)^2$.
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