Découverte de la racine carrée d’un nombre réel positif

  1. Découverte de la racine carrée d’un nombre réel positif
  2. Définition et propriétés de la racine carrée
  3. Comment simplifier ou réduire une racine carrée ?
  4. Comment calculer une expression avec des racines carrées ?
  5. Comment réduire une somme ou un produit avec les racines carrées ?
  6. Résolution d’équations de la forme $x^2=a$
  7. Applications des identités remarquables aux racines carrées.
  8. Rendre rationnel un dénominateur.
    Applications en géométrie
  9. Calcul de la diagonale du carrée en fonction de la longueur de son côté
  10. Calcul de la hauteur d’un triangle équilatéral.

Exemple 1.
$ABCD$ est un carré de coté $c$ et d’aire $a$.
1°) Choisir des valeurs de $c$ puis calculer $a$.
2°) Choisir des valeurs de $a$ puis calculer $c$.
3°) Déterminer le nombre $c$ dont le carré est égal à $20$.

Fig. 1. Relation entre le côté et l’aire du carré : $a=c^2$ et $c=$ ?

Corrigé.

1°) On donne la longueur du côté $c$

On cherche à déterminer la valeur de l’aire $a$ en unités d’aires.

$c= 3$ cm $\rightarrow$ $a=9$ cm²,
$c= 4$ cm $\rightarrow$ $a=16$ cm²
$c= 5$ cm $\rightarrow$ $a=25$ cm²
$c= 6$ cm $\rightarrow$ $a=36$ cm²

2°) On donne cette fois la valeur de $a$

On cherche à déterminer la longueur du côté $c$.
$a=36$ cm $\rightarrow$ $c=6$ cm²
$a=49$ cm $\rightarrow$ $c=7$ cm²
$a=64$ cm $\rightarrow$ $c=8$ cm²
$a=81$ cm $\rightarrow$ $c=9$ cm²

3°) Mais pour quelle valeur de $c$, a-t-on $a=20$ cm² ?

Si $a = 20$ cm², on cherche le nombre positif $c=\sqrt{20}$ dont le carré est égal à $20$. A défaut de trouver une valeur exacte, cherchons une valeur approchée par différentes méthodes.

Encadrer la racine carrée d’un nombre positif entre deux entiers

On connaît la liste des entiers carrés parfaits : $$0~;~~1~;~~4~;~~9~;~~16~;~~25~;~~36~;~~49~;~~\text{etc}$$
Ce sont les carrés des nombres entiers naturels : $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, etc.

$20$ est compris entre deux carrés parfaits : $$16<20<25$$
Les racines carrées sont rangées dans le même ordre. Donc : $$\sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}$$
Or, $4^2=16$ donc $\sqrt{16}=4$. De même, $5^2=25$ donc $\sqrt{25}=5$. Ce qui donne : $$\boxed{\phantom{\dfrac{1}{1}}4<\sqrt{20}<5\;\;}$$
On obtient un encadrement de $\sqrt{20}$ par deux entiers consécutifs.

Encadrer la racine carrée d’un nombre positif entre deux nombres décimaux

1ère méthode. Par essais et erreurs

$20$ est compris entre $16$ et $25$, donc $c=\sqrt{20}$ est compris entre $4$ et $5$.

Faites plusieurs essais avec des décimaux au dixième près. Commencez au milieu.

Par exemple : pour $c = 4,5$. On calcule $c^2 = 20,25$. C’est encore grand.

Pour $c = 4,4$. On calcule $c^2 = 19,36$. C’est trop petit. Ce qui donne déjà : $$\boxed{\phantom{\dfrac{1}{1}}4,4<\sqrt{20}<4,5\;\;}$$
On obtient un premier encadrement de $\sqrt{20}$ par deux deux décimaux au dixième près (à $10^{-1}$ près).

Recommencez et comparez, avec d’autres nombres tels que : $4,45$ ; $4,49$ ; $4,46$ ; $4,48$ ; $4,47$ ; $\ldots$ On obtient un encadrement de $\sqrt{20}$. On obtient : $$\boxed{\phantom{\dfrac{1}{1}}4,47<\sqrt{20}<4,48\;\;}$$

2ème méthode. A la calculatrice

On peut aussi utiliser la touche «$\boxed{\sqrt{{.}}}$» de la calculatrice (écran limité à 10 chiffres). On obtient : $\sqrt{20} = 4,472135955$, nombre à 9 décimales.

Tout d’abord, toutes les calculatrices arrondissent à la dernière (ici la 9ème) décimale. Donc, le dernier chiffre, le $5$ est un chiffre douteux.

Mais attention ! A-t-on $(4,472135955)^2 = 20$ ?

A priori, c’est faux puisque $(4,472135955)^2$ est un nombre qui a 18 décimales et doit se terminer donc par sa 18-ème décimale égale à $5$.

En fait, le nombre $4,472 135 955$ n’est qu’une valeur approchée de $c$. Lorsqu’on l’élève au carré, la calculatrice l’arrondit à $20$. Cette valeur de $c$ est donc arrondie à la 9ème décimale, soit à $10^{-9}$ près.

3ème méthode. Avec un logiciel de calcul formel

Avec un logiciel de calcul formel, ici Mathematica en ligne (wolframalpha.com), on a cherché une valeur approchée avec 100 décimales :

$4.472135954\color{brown}{\textbf 9}$ $9957939281$ $8347337462$ $5524708812$ $3671922305$ $1448541794$ $490821041$ $8512756097$ $9882882881$ $6757564550\ldots$ etc.

Vous remarquerez au passage que le 9ème chiffre de $c$ étant égal à $5$, n’est autre que l’arrondi de $4.47213595 4\color{blue}{\textbf 4} |\color{brown}{9}$ au milliardième près (en bleu) !

Conclusion. On peut continuer le procédé indéfiniment, ce nombre $c=\sqrt{20}$ ne s’arrêtera pas et ne contient aucune période. C’est donc un nombre irrationnel.
Comme nous ne trouverons pas de valeur exacte explicite, nous noterons désormais : $\sqrt{20}$ la valeur exacte de l’unique nombre $c$ dont le carré est égal à $20$. On a ainsi, par définition : $$\boxed{\;(\sqrt{20})^2=20\;}$$

Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Refaire l’activité avec un autre nombre positif. Déterminer pas à pas un encadrement de $\sqrt{10}$ à $10^{-2}$ près.

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