Découverte de la racine carrée d’un nombre réel positif


Exemple 1.
$ABCD$ est un carré de coté $c$ et d’aire $a$.
1°) Choisir des valeurs de $c$ puis calculer $a$.
2°) Choisir des valeurs de $a$ puis calculer $c$.
3°) Déterminer le nombre $c$ dont le carré est égal à $20$.

Fig. 1. Relation entre le côté et l’aire du carré : $a=c^2$ et $c=$ ?

Corrigé.

1°) On donne la longueur du côté $c$

On cherche à déterminer la valeur de l’aire $a$ en unités d’aires.

$c= 3$ cm $\rightarrow$ $a=9$ cm²,
$c= 4$ cm $\rightarrow$ $a=16$ cm²
$c= 5$ cm $\rightarrow$ $a=25$ cm²
$c= 6$ cm $\rightarrow$ $a=36$ cm²

2°) On donne cette fois la valeur de $a$

On cherche à déterminer la longueur du côté $c$.
$a=36$ cm $\rightarrow$ $c=6$ cm²
$a=49$ cm $\rightarrow$ $c=7$ cm²
$a=64$ cm $\rightarrow$ $c=8$ cm²
$a=81$ cm $\rightarrow$ $c=8$ cm²

3°) Mais pour quelle valeur de $c$, a-t-on $a=20$ cm² ?

Si $a = 20$ cm², on cherche le nombre positif $c$ dont le carré est égal à $20$. A défaut de trouver une valeur exacte, cherchons une valeur approchée par différentes méthodes.

1ère méthode. Par essais et erreurs

$20$ est compris entre $16$ et $25$, donc $c$ est compris entre $4$ et $5$.

Faites plusieurs essais.

Par exemple : pour $c = 4,5$. On calcule $c^2 = 20,25$. C’est encore grand. Recommencez et comparez, avec d’autres nombres tels que : $4,45$ ; $4,49$ ; $4,46$ ; $4,48$ ; $4,47$ ; $\ldots$ On obtient un premier encadrement de $\sqrt{20}$. On obtient : $$\boxed{\;4,47<\sqrt{20}<4,48\;}$$

2ème méthode. A la calculatrice

On peut aussi utiliser la touche «$\boxed{\sqrt{{.}}}$» de la calculatrice (écran limité à 10 chiffres). On obtient : $\sqrt{20} = 4,472135955$, nombre à 9 décimales.

Tout d’abord, toutes les calculatrices arrondissent à la dernière (ici la 9ème) décimale. Donc, le dernier chiffre, le $5$ est un chiffre douteux.

Mais attention ! A-t-on $(4,472135955)^2 = 20$ ?

A priori, c’est faux puisque $(4,472135955)^2$ est un nombre qui a 18 décimales et doit se terminer donc par sa 18-ème décimale égale à $5$.

En fait, le nombre $4,472 135 955$ n’est qu’une valeur approchée de $c$. Lorsqu’on l’élève au carré, la calculatrice l’arrondit à $20$. Cette valeur de $c$ est donc arrondie à la 9ème décimale, soit à $10^{-9}$ près.

3ème méthode. Avec un logiciel de calcul formel

Avec un logiciel de calcul formel, ici Mathematica en ligne (wolframalpha.com), on a cherché une valeur approchée avec 100 décimales :

$4.472135954\color{brown}{\textbf 9}$ $9957939281$ $8347337462$ $5524708812$ $3671922305$ $1448541794$ $490821041$ $8512756097$ $9882882881$ $6757564550\ldots$ etc.

Vous remarquerez au passage que le 9ème chiffre de $c$ étant égal à $5$, n’est autre que l’arrondi de $4.47213595 4\color{blue}{\textbf 4} |\color{brown}{9}$ au milliardième près (en bleu) !

Conclusion. On peut continuer le procédé indéfiniment, ce nombre $c=\sqrt{20}$ ne s’arrêtera pas et ne contient aucune période. C’est donc un nombre irrationnel.
Comme nous ne trouverons pas de valeur exacte explicite, nous noterons désormais : $\sqrt{20}$ la valeur exacte de l’unique nombre $c$ dont le carré est égal à $20$. On a ainsi, par définition : $$\boxed{\;(\sqrt{20})^2=20\;}$$

Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Refaire l’activité avec un autre nombre positif. Déterminer pas à pas un encadrement de $\sqrt{10}$ à $10^{-2}$ près.