Distance entre deux nombres réels. Résolution d’équation du type $\abs{x-a}=r$

Prérequis :

$\bullet$ Ensemble des nombres réels
$\bullet$ Propriétés des inégalités dans $\R$
$\bullet$ Valeur absolue d’un nombre réel

1. Distance entre deux nombres réels

1.1. Définitions. Exemples.

Définition 1.
Soient $A$ et $M$ deux points de la droite graduée, d’abscisses respectives $a$ et $x$.
On appelle distance entre $a$ et $x$ et on note $d(a;x)$ la longueur du segment $[AM]$, égale à la valeur absolue de la différence des deux abscisses.
Autrement dit : $$d(a,x)=AM=\abs{x-a}$$
En particulier, $$OM = d(0;x)=\abs{x-0}=\abs{x}$$

Exemples

$\bullet$ $d(-5;3)=\abs{3-(-5)}=\abs{8}=8$ ; $AC=8$
$\bullet$ $d(-5;-3)=\abs{-3-(-5)}=\abs{-3+5}=\abs{2}=2$ ; $AB=2$
$\bullet$ $d(-5;-5)=\abs{-5-(-5)}=\abs{-5+5}=\abs{0}=0$ ; $AA=0$

On peut visualiser ces résultats sur un graphique :

1.2. Propriétés

Propriété 1.
($P_{1}$) Pour tout point $A$ de la droite graduée, on sait que la distance $\boxed{AA =0}$. Donc, pour tout nombre réel $x$, on a : $$d(x;x)=0$$
Réciproquement : Pour tous nombres réels $x$ et $y$, on a :
$$d(x;y)=0\Leftrightarrow y-x=0\Leftrightarrow y=x $$

Propriété 2. (symétrie)
($P_{2}$) Pour tous points $A$ et $M$ de la droite graduée, on sait que $\boxed{MA = AM}$. Donc, pour tous nombres réels $a$ et $x$, on a : $$d(x,a)=d(a,x)$$

Propriété 3. (Inégalité triangulaire)
On sait que : $\boxed{AM\leqslant AO+OM}$, donc $\abs{x-a}\leqslant\abs{x}+\abs{a}$, donc :
($P_{3}$) Pour tous nombres réels $a$ et $y$, on a : $$d(a,x)\leqslant d(0;a)+d(0;x)$$

Exemples

On considère les points $A$, $B$ et $C$ de la droite graduée, d’abscisses respectives : $a=-7$, $b=6$ et $c=10$. Calculer $AB$, $AC$ et $BC$.
On sait que : $AB = d(a,b) = \abs{b-a}$, donc :
$\bullet$ $AB=d(-7;6)=\abs{6-(-7)}=\abs{13}=13$.
$\bullet$ $AC=d(-7;10)=\abs{10-(-7)}=\abs{17}=17$.
$\bullet$ $BC=d(6;10)=\abs{10-6}=\abs{4}=4$.

3. Résolution d’équation du type $\abs{x-a}=r$

Soit $a$ et $r$ deux nombres réels. Pour résoudre l’équation de type : $\abs{x-a}=r$, on utilise les propriétés suivantes de la valeur absolue :

Rappel : Propriétés de la valeur absolue
(Abs1°) Pour tout $x\in\R$ : $\abs{x}\geqslant 0$.
(Abs2°) Pour tout $x\in\R$ : $\abs{x}=0\Leftrightarrow x=0$.
(Abs3°) Pour tout $x\in\R$ et tout réel $r$ strictement positif :
$$\abs{x}=r \Leftrightarrow x=-r\;\text{ou}\; x=r $$

On distingue alors trois cas :

Propriété 4a.
1er cas : $r<0$.
L’équation : ($E$) : $\abs{x-a}=r$ n’admet aucune solution, car une valeur absolue est toujours positive ou nulle.
L’ensemble ${\cal S}$ des solutions de cette équation est l’ensemble vide. Donc :
$${\cal S}=\emptyset$$

Exemple 1. Résoudre d’équation : ($E$) : $\abs{x-3}=-5$.

Donc, cette équation n’admet aucune solution, car la valeur absolue d’un nombre réel est toujours positive ou nulle.
Conclusion. L’ensemble ${\cal S}$ des solutions de cette équation est vide. Donc :
$${\cal S}=\emptyset$$

Propriété 4b.
2ème cas : $r=0$.
L’équation : ($E_1$) : $\abs{x-a}=0$, équivaut à $x-a=0$, donc à $x=a$.
Donc, cette équation admet une unique solution $x=a$.
L’ensemble ${\cal S}$ des solutions de cette équation est : $${\cal S}_1=\{a\}$$

Exemple 2. Résoudre d’équation : ($E$) : $\abs{x-3}=0$.

On sait que le seul nombre réel dont la valeur absolue est nulle, est 0 lui-même. Donc :
$$\begin{array}{rcl}
(E) : &\Leftrightarrow& \abs{x-3}=0\\
&\Leftrightarrow & x-3 =0 \\
&\Leftrightarrow & x=3.\\
\end{array}$$
Donc, cette équation admet une unique solution $x=3$.
Conclusion. L’ensemble ${\cal S}$ des solutions de cette équation est :
$$\boxed{\;{\cal S}=\{3\}\;}$$

Propriété 4c.
3ème cas : $r>0$.
L’équation : ($E$) : $\abs{x-a}=r$ équivaut à $x-a=-r$ ou $x-a=r$. Ce qui donne $x=a-r$ ou $x=a+r$. Donc, équation admet deux solutions : $x=a-r$ et $x=a+r$.
L’ensemble ${\cal S}$ des solutions de cette équation est : $$\boxed{\;{\cal S}=\{a-r, a+r\}\;}$$

Exemple 3. Résoudre d’équation : ($E$) : $\abs{x-3}=5$.

On sait que si un nombre réel a pour valeur absolue $5$, alors ce nombre réel est égal à $-5$ ou à $5$. Donc :
$$\begin{array}{rcl}
(E) : &\Leftrightarrow& \abs{x-3}=5\\
&\Leftrightarrow & x-3 =-5 \quad\text{ou}\quad x-3=5 \\
&\Leftrightarrow & x=3-5\quad\text{ou}\quad x=3+5.\\
&\Leftrightarrow & x=-2\quad\text{ou}\quad x=8.\\
\end{array}$$
Donc, cette équation admet exactement deux solutions $x=-2$ et $x=8$.
Conclusion. L’ensemble ${\cal S}$ des solutions de cette équation est :
$$\boxed{\;{\cal S}=\{-2;8\}\;}$$

4. Exercices

Exercices résolus.
1°) Calculer les distances suivantes :
$\quad$ a) $d(-7;-3)$ ;
$\quad$ b) $d(4;\pi)$ ;
$\quad$ c) $d(2\sqrt{2},\sqrt{3})$ ;
$\quad$ d) $d\left(-\pi\, ;-\dfrac{355}{113}\right)$;

2°) Résoudre les équations suivantes :
$\quad$ a) ($E_1$) : $\abs{x+5}=0$
$\quad$ b) ($E_2$) : $\abs{x+8}=7$
$\quad$ c) ($E_3$) : $\abs{x-7}=-2$

1°) Calcul de distances entre des nombres réels :
a) $d(-7;-3)=\abs{-3-(-7)}=\abs{-3+7}=\abs{4}=\color{brown}{4}$.

b) $d(4;\pi)=\abs{\pi-4}=-(\pi-4) =\color{brown}{4-\pi}$, car $\pi-4\simeq -0,8584…<0$.

c) $d(2\sqrt{2},\sqrt{3})=\abs{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}=-(\sqrt{3}-2\sqrt{2})$.
Donc : $d(2\sqrt{2},\sqrt{3})=\color{brown}{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}$,
car $\sqrt{3}-2\sqrt{2}\simeq -1,0963…<0$.

d) $d\left(-\pi\, ;-\dfrac{355}{113}\right)=\abs{-\dfrac{355}{113}-(-\pi)}
= \abs{-\dfrac{355}{113}+\pi}=-\left( -\dfrac{355}{113}+\pi\right)$.
Donc : $d\left(-\pi\, ;-\dfrac{355}{113}\right)=\color{brown}{\dfrac{355}{113}-\pi}$,
car $-\dfrac{355}{113}+\pi=-2,66\times 10^{-7}<0$.

2°a) Résolution de l’équation : ($E_1$) : $\abs{x+5}=0$
On sait que le seul nombre réel dont la valeur absolue est nulle, est 0 lui-même. Donc :
$$\begin{array}{rcl}
(E) : &\Leftrightarrow& \abs{x+5}=0\\
&\Leftrightarrow & x+5 =0 \\
&\Leftrightarrow & x=-5.\\
\end{array}$$
Donc, cette équation admet une unique solution $x=-5$.
Conclusion. L’ensemble ${\cal S}$ des solutions de cette équation est :
$$\boxed{\;{\cal S}=\{-5\}\;}$$

2°b) Résolution de l’équation : ($E_2$) : $\abs{x+8}=7$
On sait que si un nombre réel a pour valeur absolue $7$, alors ce nombre réel est égal à $-7$ ou à $7$. Donc :
$$\begin{array}{rcl}
(E) : &\Leftrightarrow& \abs{x+8}=7\\
&\Leftrightarrow & x+8=-7 \quad\text{ou}\quad x+8=7 \\
&\Leftrightarrow & x=-7-8\quad\text{ou}\quad x=7-8.\\
&\Leftrightarrow & x=-15\quad\text{ou}\quad x=-1.\\
\end{array}$$
Donc, cette équation admet exactement deux solutions $x=-15$ et $x=-1$.
Conclusion. L’ensemble ${\cal S}$ des solutions de cette équation est :
$$\boxed{\;{\cal S}=\{-15;-1\}\;}$$

2°c) Résolution de l’équation : ($E_3$) : $\abs{x-7}=-2$
Cette équation n’admet aucune solution, car la valeur absolue d’un nombre réel est toujours positive ou nulle.
Conclusion. L’ensemble ${\cal S}$ des solutions de cette équation est vide. Donc :
$${\cal S}=\emptyset$$