Les identités remarquables

  1. Calcul littéral. Expressions algébriques ;
  2. La propriété de distributivité.
  3. Reconnaitre une forme factorisée et une forme développée ou développée réduite.
  4. Les identités remarquables.
  5. Développer et réduire une expression algébrique simple.
  6. Développer et réduire une expression algébrique avec les identités remarquables.
  7. Factoriser une expression algébrique simple.
  8. Factoriser une expression algébrique avec les identités remarquables.
  9. Applications des identités remarquables aux racines carrées.
  10. Rendre rationnel un dénominateur.

Définition.
Les identités remarquables sont des égalités entre deux expressions algébriques, vraies quelle que soient les valeurs attribuées aux variables $a$ et $b$. On distingue trois identités remarquables pour le calcul du carré d’une somme, le carré d’une différence et le produit d’une somme par la différence de deux nombres réels.
Elles sont essentiellement utilisées pour faciliter le développement ou la factorisation d’expressions algébriques complexes.

1. Calcul du carré d’une somme

Propriété (Identité remarquable n°1.)
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :
$$\begin{array}{rcl}
&&\color{blue}{- Développement\rightarrow}\\
&&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2\; }}\quad(I.R.n°1)\\
&&\color{blue}{ \leftarrow Factorisation – } \\
\end{array}$$

Démonstration.
On utilise la double distributivité. En effet :
$$\begin{array}{rcl}
(a+b)^2&=& (a+b)(a+b) \\
&=& a^2+ab+ba+b^2\\
&=& a^2 + 2ab+b^2\\
&&\text{car, }ab=ba \\
\end{array}$$
D’où le résultat.

2. Calcul du carré d’une différence

Propriété (Identité remarquable n°2.)
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :
$$\begin{array}{rcl}
&&\color{blue}{- Développement\rightarrow}\\
&&\color{brown}{\boxed{\; (a-b)^2 = a^2 – 2ab+b^2\; }}\quad(I.R.n°2)\\
&&\color{blue}{ \leftarrow Factorisation – } \\
\end{array}$$

Démonstration.
On utilise la double distributivité. En effet :
$$\begin{array}{rcl}
(a-b)^2&=& (a-b)(a-b) \\
&=& a^2-ab-ba+b^2\\
&=& a^2 – 2ab+b^2\\
&&\text{car, }ab=ba \\
\end{array}$$
D’où le résultat.

3. Calcul du produit d’une somme et d’une différence de deux nombres réels

Propriété (Identité remarquable n°3.)
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :
$$\begin{array}{rcl}
&&\color{blue}{- Développement \rightarrow}\\
&&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)(a-b) = a^2 – b^2\; }}\quad(I.R.n°3)\\
&&\color{blue}{ \leftarrow Factorisation – } \\
\end{array}$$

Démonstration.
On utilise la double distributivité. En effet :
$$\begin{array}{rcl}
(a+b)(a-b)&=& a^2-ab+ba-b^2\\
&=& a^2 – b^2\\
&&\text{car, }ab=ba \\
\end{array}$$
D’où le résultat.

Définition.
Dans une identité remarquable n°3, les expressions $(a-b)$ et $(a+b)$ s’appellent des quantités conjuguées.

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4. Exercices

Exercice résolu n°1. Développer et réduire les expressions suivantes de deux manières :
1°) $A(x)=(3x+5)^2$ ;
2°) $B(x)=(5x-4)^2$ ;
3°) $C(x)=(2x−3)(2x+3)$ ;
4°) $D(x)=(2x+4)^2-(3x-2)^2$.

Corrigé
1°) Développer et réduire $A(x)=(3x+5)^2$.
1ère méthode : Développer et réduire en utilisant la double distributivité.
$$\begin{array}{rcl}A(x)&=&(3x+5)^2\\
&=& (3x+5)(3x+5)\\
&=& 3x\times 3x+ 3x\times 5+5\times 3x + 5\times 5\\
&=&9x^2+15x+15x+25\\
A(x)&=&9x^2+30x+25\\
\end{array}$$
Conclusion 1. $\color{brown}{\boxed{\; A(x)=9x^2+30x+25\; }}$

2ème méthode : Développer et réduire en utilisant l’identité remarquable n°1.
$$\begin{array}{rcl}A(x)&=&(3x+5)^2\\
&=& (3x)^2+2\times 3x\times5 + 5^2\\
A(x)&=&9x^2+30x+25\\
\end{array}$$
Conclusion 2. $\color{brown}{\boxed{\; A(x)=9x^2+30x+25\; }}$ C’est plus court !

2°) Développer et réduire $B(x)=(5x-4)^2$.
1ère méthode : Développer et réduire en utilisant la double distributivité.
$$\begin{array}{rcl}B(x)&=&(5x-4)^2\\
&=& (5x-4)(5x-4)\\
&=& 5x\times 5x- 5x\times 4-4\times 5x + 4\times 4\\
&=&25x^2-20x-20x+16\\
B(x)&=&25x^2-40x+16\\
\end{array}$$
Conclusion 1. $\color{brown}{\boxed{\; B(x)=25x^2-40x+16\; }}$

2ème méthode : Développer et réduire en utilisant l’identité remarquable n°2.
$$\begin{array}{rcl}B(x)&=&(5x-4)^2\\
&=& (5x)^2- 2\times 5x\times 4 + 4^2\\
B(x)&=&25x^2-40x+16\\
\end{array}$$
Conclusion 2. $\color{brown}{\boxed{\; B(x)=25x^2-40x+16\; }}$ C’est plus court !

3°) Développer et réduire $C(x)=(2x−3)(2x+3)$.
1ère méthode : Développer et réduire en utilisant la double distributivité.
$$\begin{array}{rcl}A(x)&=&((2x−3)(2x+3)\\
&=& 2x\times 2x+ 2x\times 3-3\times 2x -3\times 3\\
&=&4x^2+\not{6x}-\not{6x}-9\\
A(x)&=&4x^2-9\\
\end{array}$$
Conclusion 1. $\color{brown}{\boxed{\; C(x)=4x^2-9\; }}$

2ème méthode : Développer et réduire en utilisant l’identité remarquable n°3.
$$\begin{array}{rcl}C(x)&=&(2x-3)(2x+3)\\
&=& (2x)^2- 3^2\\
C(x)&=&4x^2-9\\
\end{array}$$
Conclusion 2. $\color{brown}{\boxed{\; C(x)=4x^2-9\; }}$ C’est plus court !

4°) Développer et réduire $D(x)=(2x+4)^2-(3x-2)^2$.
1ère méthode : Développer et réduire en utilisant la double distributivité.
$$\begin{array}{rcl}D(x)&=&(2x+4)^2-(3x-2)^2\\
&=& (2x+4)(2x+4)-(3x-2)(3x-2)\\
&=& 2x\times 2x+ 2x\times 4+4\times 2x +4\times 4\color{brown}{-}\left[3x\times 3x- 3x\times 2-2\times 3x +2\times 2 \right]\\
&=& 4x^2+8x+8x+16\color{brown}{-}\left[9x^2-6x-6x+4\right]\\
&=&4x^2+16x+16\color{brown}{-}\left[9x^2-12x+4\right]\\
&=& 4x^2+16x+16\color{brown}{-}9x^2\color{brown}{+}12x\color{brown}{-}4\\
D(x)&=&-5x^2+28x+12\\
\end{array}$$
Conclusion 1. $\color{brown}{\boxed{\; D(x)=-5x^2+28x+12\; }}$

2ème méthode : Développer et réduire en utilisant les identités remarquables n°1 et 2.
$$\begin{array}{rcl}D(x)&=&(2x+4)^2-(3x-2)^2\\
&=& (2x)^2+2\times 2x\times 4+4^2\color{brown}{-}\left[(3x)^2- 2\times 3x\times2+2^2 \right]\\
&=&4x^2+16x+16\color{brown}{-}\left[9x^2-12x+4\right]\\
&=& 4x^2+16x+16\color{brown}{-}9x^2\color{brown}{+}12x\color{brown}{-}4\\
D(x)&=&-5x^2+28x+12\\
\end{array}$$
Conclusion 2. $\color{brown}{\boxed{\; D(x)=-5x^2+28x+12\; }}$ C’est plus court !

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Exercice 2. Factoriser les expressions suivantes :
1°) $A(x)=4x^2-12x+9$ ;
2°) $B(x)=4x^2-5$ ;
3°) $C(x)=(2x+3)^2-4x^2+9$ ;
4°) $D(x)=(5x− 4)^2-(2x+3)^2$.

Corrigé.
1°) Factoriser $A(x)=4x^2-12x+9$.
L’expression $A(x)$ est composée de trois termes et ne contient aucun facteur commun numérique ou littéral.
D’autre part, l’expression $A(x)$ contient trois termes donc, elle ne peut pas être factorisée à l’aide de l’I.R.n°3. On a alors :
$4x^2 = (2x)^2$ ; et $9 =3^2$. On a trouvé notre $a=2x$ et $b=3$.
Le terme central $-12x = -2\times 2x\times 3$.
L’expression $A(x)$ correspond donc à une I.R.n°2 avec $a=2x$ et $b=3$.
On a alors :
$$\begin{array}{rcl}A(x)&=&4x^2-12x+9\\
&=&(2x)^2-2\times 2x\times 3+3^2\\
A(x)&=& (2x-3)^2\\
\end{array}$$
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\; A(x)=(2x-3)^2\; }}$

2°) Factoriser $B(x)=4x^2-5$.
L’expression $A(x)$ est composée de deux termes et ne contient aucun facteur commun numérique ou littéral.
D’autre part, l’expression $A(x)$ contient deux termes donc, elle ne peut pas être factorisée à l’aide des I.R.n°1 et 2. Essayons l’I.R.n°3.
$4x^2 = (2x)^2$ ; et $5 =(\sqrt{5})^2$. On a trouvé notre $a$ et $b$.
L’expression $B(x)$ correspond donc à une I.R.n°3 avec $a=2x$ et $b=\sqrt{5}$.
On a alors :
$$\begin{array}{rcl}B(x)&=&4x^2-5\\
&=&(2x)^2-(\sqrt{5})^2\\
B(x)&=& (2x+\sqrt{5})(2x-\sqrt{5})\\
\end{array}$$
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\; B(x)=(2x+\sqrt{5})(2x-\sqrt{5})\; }}$

3°) Factoriser $C(x)=(2x+3)^2-4x+9$.
L’expression $C(x)$ est composée de troix et ne contient aucun facteur commun numérique ou littéral.
On remarque que les deux derniers termes forment une IR.n°3. On a alors :
$$-4x^2+9 = -(4x^2-9) = -\left[ (2x)^2-3^2 \right]$$
Donc d’après l’I.R.n°3, on peut écrire :
$$(2x)^2-3^2=(2x+3)(2x-3)$$
On remplace maintenant dans l’expression $C(x)$ :
$$\begin{array}{rcl}C(x)&=&(2x+3)^2-4x^2+9\\
&=&(2x+3)^2-(4x^2-9)\\
&=& (2x+3)^2-(2x+3)(2x-3)\\
&=& {\color{brown}{(2x+3)}}(2x+3)-{\color{brown}{(2x+3)}}(2x-3)\\
&=& {\color{brown}{(2x+3)}}\left[ (2x+3){\color{brown}{-}}(2x-3) \right]\\
&=& (2x+3)\left[ 2x+3{\color{brown}{-}}2x{\color{brown}{+}}3 \right]\\
&=& (2x+3)\times 6\\
C(x)&=& 6(2x+3)\\
\end{array}$$
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\; C(x)=6(2x+3)\; }}$

4°) Factoriser $D(x)=(5x− 4)^2-(2x+3)^2$.
L’expression $D(x)$ est la différence de deux carrés.
Donc, d’après l’IR.n°3, on a :
$$\begin{array}{rcl}
D(x)&=&(5x− 4)^2-(2x+3)^2\\
&=&\left[(5x− 4)\color{brown}{+}(2x+3)\right]\left[(5x− 4)\color{brown}{-}(2x+3)\right]\\
&=&\left[5x− 4\color{brown}{+}2x\color{brown}{+}3\right]\left[5x− 4\color{brown}{-}2x\color{brown}{-}3\right]\\
D(x)&=& (7x-1)(3x-7)\\
\end{array}$$
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\; D(x)=(7x-1)(3x-7)\; }}$

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