Les identités remarquables
Définition.
Les identités remarquables sont des égalités entre deux expressions algébriques, vraies quelle que soient les valeurs attribuées aux variables $a$ et $b$. On distingue trois identités remarquables pour le calcul du carré d’une somme, le carré d’une différence et le produit d’une somme par la différence de deux nombres réels.
Elles sont essentiellement utilisées pour faciliter le développement ou la factorisation d’expressions algébriques complexes.
1. Calcul du carré d’une somme
Propriété (Identité remarquable n°1.)
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :
$$\begin{array}{rcl}
&&\color{blue}{— Développement—>}\\
&&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2\; }}\quad(I.R.n°1)\\
&&\color{blue}{ <— Factorisation — } \\
\end{array}$$
Démonstration.
On utilise la double distributivité. En effet :
$$\begin{array}{rcl}
(a+b)^2&=& (a+b)(a+b) \\
&=& a^2+ab+ba+b^2\\
&=& a^2 + 2ab+b^2\\
&&\text{car, }ab=ba \\
\end{array}$$
D’où le résultat.
2. Calcul du carré d’une différence
Propriété (Identité remarquable n°2.)
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :
$$\begin{array}{rcl}
&&\color{blue}{— Développement—>}\\
&&\color{brown}{\boxed{\; (a-b)^2 = a^2 – 2ab+b^2\; }}\quad(I.R.n°2)\\
&&\color{blue}{ <— Factorisation — } \\
\end{array}$$
Démonstration.
On utilise la double distributivité. En effet :
$$\begin{array}{rcl}
(a-b)^2&=& (a-b)(a-b) \\
&=& a^2-ab-ba+b^2\\
&=& a^2 – 2ab+b^2\\
&&\text{car, }ab=ba \\
\end{array}$$
D’où le résultat.
3. Calcul du produit d’une somme et d’une différence de deux nombres réels
Propriété (Identité remarquable n°3.)
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :
$$\begin{array}{rcl}
&&\color{blue}{— Développement—>}\\
&&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)(a-b) = a^2 – b^2\; }}\quad(I.R.n°3)\\
&&\color{blue}{ <— Factorisation — } \\
\end{array}$$
Démonstration.
On utilise la double distributivité. En effet :
$$\begin{array}{rcl}
(a+b)(a-b)&=& a^2-ab+ba-b^2\\
&=& a^2 – b^2\\
&&\text{car, }ab=ba \\
\end{array}$$
D’où le résultat.
Définition.
Dans une identité remarquable n°3, les expressions $(a-b)$ et $(a+b)$ s’appellent des quantités conjuguées.
4. Exercices
Exercice résolu n°1. Développer et réduire les expressions suivantes de deux manières :
1°) $A(x)=(3x+5)^2$ ;
2°) $B(x)=(5x-4)^2$ ;
3°) $C(x)=(2x−3)(2x+3)$ ;
4°) $D(x)=(2x+4)^2-(3x-2)^2$.
Exercice 2. Factoriser les expressions suivantes :
1°) $A(x)=4x^2-12x+9$ ;
2°) $B(x)=4x^2-5$ ;
3°) $C(x)=(2x+3)^2-4x^2+9$ ;
4°) $D(x)=(5x− 4)^2-(2x+3)^2$.
Liens connexes
- Calcul littéral. Expressions algébriques ;
- La propriété de distributivité.
- Reconnaitre une forme factorisée et une forme développée ou développée réduite.
- Les identités remarquables.
- Développer et réduire une expression algébrique simple.
- Développer et réduire une expression algébrique avec les identités remarquables.
- Factoriser une expression algébrique simple.
- Factoriser une expression algébrique avec les identités remarquables.
- Applications des identités remarquables aux racines carrées.
- Rendre rationnel un dénominateur.