Ensemble $\N$ des nombres entiers. Ensemble $\Z$ des nombres entiers relatifs

  1. Ensemble $\N$ des nombres entiers naturels et ensemble $\Z$ des nombres des entiers relatifs.
  2. Ensemble $\D$ des nombres décimaux relatifs.
  3. Ensemble $\Q$ des nombres rationnels. Nombres irrationnels.
  4. Exemples fournis par la géométrie, par exemple $2$ et $\pi$.
  5. Ensemble $\R$ des nombres réels, droite numérique.
  6. Comparaison de deux nombres réels.
  7. Intervalles de $\R$. Notations $+\infty$ et $+\infty$.
  8. Valeur absolue d’un nombre réel. Notation $|a|$.
  9. Distance entre deux nombres réels.
  10. Résolution d’équation du type $\abs{x-a}=r$.
  11. Représentation de l’intervalle $[a – r , a+r ]$ puis par la condition $|x-a|\leqslant r$.
  12. Encadrement décimal d’un nombre réel à $10^{-n}$ près.

1. Ensemble $\N$ des nombres entiers naturels

Définition 3.
Un nombre entier naturel est un nombre qui permet de compter ou de dénombrer des objets identiques ou équivalents, chacun pour « un » ou pour « une unité ».

L’ensemble des nombres entiers naturels se note $\N$. (« N » est l’initiale de « naturel »).
On dit aussi un entier naturel au lieu de nombre entier naturel.

$0$ est le plus petit entier naturel. Et tout entier naturel choisi au hasard admet un successeur ! On écrit :
$$\color{brown}{\N=\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; \ldots\} }$$
Les accolades signifient « l’ensemble » et les trois points de suspension signifient que la série des nombres entiers naturels continue à l’infini.

Exemple :

$7\in\N$, $-7\not\in\N$, mais a-t-on $\dfrac{0,252}{0,007}\in\N$ ?
Réponse : oui. Il faut réduire cette écriture. En effet :
$$\dfrac{0,252}{0,007}=\dfrac{0,252\times 1000}{0,007\times 1000}=\dfrac{252}{7}=\color{brown}{36}$$
Donc : $\dfrac{0,252}{0,007}\in \N$.

1. Ensemble $\Z$ des nombres entiers relatifs

Un nombre positif correspond à un gain, un bénéfice, et est désigné et précédé par le signe $+$.
Un nombre négatif correspond à un gain, un bénéfice, et est désigné et précédé par le signe $-$.

$0$ est le seul nombre nul.

Définition 3.
Un nombre entier relatif est un nombre entier qui peut être positif, négatif ou nul.
L’ensemble des nombres relatifs se note $\Z$. (« Z » est l’initiale du mot « Zahl » qui signifie « nombre » en allemand).
On dit aussi un entier relatif au lieu de nombre entier relatif. On écrit :
$$\color{brown}{\Z=\{\ldots ; -4 ; -3 ; -2 ; – 1; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; \ldots\} }$$
Cette fois, l’ensemble $\Z$ est infini dans les deux sens !

Exemples

$5\in\N$, c’est un nombre entier naturel, mais aussi un nombre relatif positif : $5 = + 5$. Donc $5\in\Z$.
$-5$ est un nombre entier relatif qui est négatif. Donc $-5\in\Z$.
A-t-on $-3,05\times 2\in \Z$ ?
Réponse : Non.
En effet : $-3,05\times 2=-6,1$ qui n’est pas un nombre entier. Donc : $$-3,05\times 2\not\in \Z$$

Propriété 1.
Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs (positifs). On écrit :
$$\N\subset \Z$$
et on lit « $\N$ est inclus dans $\Z$ » ou « $\N$ est contenu dans $\Z$ ».

$\N\subset \Z$

Propriété 2.
Tous les nombres entiers relatifs sont des nombres décimaux (avec une partie décimale nulle). On écrit :
$$\N\subset \Z\subset \D$$
On dit que $\N$ est contenu dans $\Z$, qui est contenu dans $\D$ ». ».

$\N\subset \Z\subset \D$

Propriété 3.
Tous les nombres entiers relatifs $a$ s’écrivent sous la forme d’une fraction $\dfrac{a}{1}$, donc ce sont des nombres rationnels. On écrit.
$$\N\subset \Z\subset \D\subset \Q$$

$\N\subset \Z\subset \D\subset \Q$

Propriété 4.
Tous les nombres rationnels sont des nombres réels. Donc, tous les nombres entiers relatifs son des nombres réels. On écrit.
$$\N\subset \Z\subset \D\subset \Q\subset\R$$

$\N\subset \Z\subset \D\subset \Q\subset\R$

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