Ensemble $\N$ des nombres entiers. Ensemble $\Z$ des nombres entiers relatifs


1. Ensemble $\N$ des nombres entiers naturels

Définition 3.
Un nombre entier naturel est un nombre qui permet de compter ou de dénombrer des objets identiques ou équivalents, chacun pour « un » ou pour « une unité ».

L’ensemble des nombres entiers naturels se note $\N$. (« N » est l’initiale de « naturel »).
On dit aussi un entier naturel au lieu de nombre entier naturel.

$0$ est le plus petit entier naturel. Et tout entier naturel choisi au hasard admet un successeur ! On écrit :
$$\color{brown}{\N=\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; \ldots\} }$$
Les accolades signifient « l’ensemble » et les trois points de suspension signifient que la série des nombres entiers naturels continue à l’infini.

Exemple :

$7\in\N$, $-7\not\in\N$, mais a-t-on $\dfrac{0,252}{0,007}\in\N$ ?
Réponse : oui. Il faut réduire cette écriture. En effet :
$$\dfrac{0,252}{0,007}=\dfrac{0,252\times 1000}{0,007\times 1000}=\dfrac{252}{7}=\color{brown}{36}$$
Donc : $\dfrac{0,252}{0,007}\in \N$.

1. Ensemble $\Z$ des nombres entiers relatifs

Un nombre positif correspond à un gain, un bénéfice, et est désigné et précédé par le signe $+$.
Un nombre négatif correspond à un gain, un bénéfice, et est désigné et précédé par le signe $-$.

$0$ est le seul nombre nul.

Définition 3.
Un nombre entier relatif est un nombre entier qui peut être positif, négatif ou nul.
L’ensemble des nombres relatifs se note $\Z$. (« Z » est l’initiale du mot « Zahl » qui signifie « nombre » en allemand).
On dit aussi un entier relatif au lieu de nombre entier relatif. On écrit :
$$\color{brown}{\Z=\{\ldots ; -4 ; -3 ; -2 ; – 1; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; \ldots\} }$$
Cette fois, l’ensemble $\Z$ est infini dans les deux sens !

Exemples

$5\in\N$, c’est un nombre entier naturel, mais aussi un nombre relatif positif : $5 = + 5$. Donc $5\in\Z$.
$-5$ est un nombre entier relatif qui est négatif. Donc $-5\in\Z$.
A-t-on $-3,05\times 20\in \Z$.
Réponse : Non.
En effet : $-3,05\times 20=-6,1$ qui n’est pas un nombre entier. Donc : $$-3,05\times 20\not\in \Z$$

Propriété 1.
Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs (positifs). On écrit :
$$\N\subset \Z$$
et on lit « $\N$ est inclus dans $\Z$ » ou « $\N$ est contenu dans $\Z$ ».

$\N\subset \Z$

Propriété 2.
Tous les nombres entiers relatifs sont des nombres décimaux (avec une partie décimale nulle). On écrit :
$$\N\subset \Z\subset \D$$
On dit que $\N$ est contenu dans $\Z$, qui est contenu dans $\D$ ». ».

$\N\subset \Z\subset \D$

Propriété 3.
Tous les nombres entiers relatifs $a$ s’écrivent sous la forme d’une fraction $\dfrac{a}{1}$, donc ce sont des nombres rationnels. On écrit.
$$\N\subset \Z\subset \D\subset \Q$$

$\N\subset \Z\subset \D\subset \Q$

Propriété 4.
Tous les nombres rationnels sont des nombres réels. Donc, tous les nombres entiers relatifs son des nombres réels. On écrit.
$$\N\subset \Z\subset \D\subset \Q\subset\R$$

$\N\subset \Z\subset \D\subset \Q\subset\R$