Intervalles de $\R$
1. Intervalles bornés
Un intervalle borné s’il est limité
Définitions 1.
Étymologiquement, un intervalle est un ensemble de nombres compris entre deux valeurs $a$ et $b$ appelées les bornes de l’intervalle.
Un intervalle est dit borné s’il est limité des deux côtés.
Un intervalle est dit fermé en $a$, si la borne $a$ est comprise.
Un intervalle est dit ouvert en $a$, si la borne $a$ est exclue.
Définition 2.
L’ensemble des nombres réels compris, au sens large, entre deux nombres réels $a$ et $b$, les deux bornes $a$ et $b$ comprises, s’appelle intervalle fermé borné et se note $[a;b]$. Cet intervalle désigne l’ensemble de tous les nombres réels $x$ tels que : $a\leqslant x\leqslant b$.
$$x\in\left[a;b\right] \quad\text{ssi}\quad a\leqslant x\leqslant b$$
L’ intervalle $[a;b]$ est représenté graphiquement sur la droite graduée de la manière suivante :
Remarquons ici que la borne $a$ est comprise. Le crochet « est tourné vers les valeurs de l’intervalle du côté de $a$ ».
Définition 3.
L’ensemble des nombres réels compris entre deux nombres réels $a$ et $b$, $a$ compris et $b$ exclu, s’appelle un intervalle borné, fermé en $a$ (ouvert en $b$) et se note $[a;b[$. Cet intervalle désigne l’ensemble de tous les nombres réels $x$ tels que : $a\leqslant x< b$.
$$x\in\left[a;b\right[ \quad\text{ssi}\quad a\leqslant x< b$$
Remarquons ici que la borne $a$ est comprise ; donc le crochet « est tourné vers les valeurs de l’intervalle du côté de $a$ ».
La borne $b$ est exclue ; le crochet « tourne le dos aux valeurs de l’intervalle du côté de $b$ ». Elle « boude ».
D’une manière analogue, on définit l’intervalle borné, ouvert en $a$ (fermé en $b$) par :
$$x\in\left]a;b\right] \quad\text{ssi}\quad a<x\leqslant b$$
D’une manière analogue, on définit l’intervalle ouvert borné et se note $]a;b[$, par
$$x\in\left]a;b\right[ \quad\text{ssi}\quad a<x<b$$
Remarquons ici que les deux bornes sont exclues ; donc le crochet « tourne le dos aux valeurs de l’intervalle des deux côtés ».
1. Intervalles non bornés
Définition 5.
Un intervalle est non borné s’il n’est pas limité d’un côté ou des deux côtés.
L’ensemble des nombres réels supérieurs ou égaux à $a$, s’appelle intervalle non borné fermé en $a$ et se note $[a;+\infty[$. Cet intervalle désigne l’ensemble de tous les nombres réels $x$ tels que : $x\geqslant a$.
$$x\in\left[a;+\infty\right[ \quad\text{ssi}\quad x\geqslant a$$
L’ intervalle $[a;+\infty[$ est représenté graphiquement sur la droite graduée de la manière suivante :
$+\infty$ se lit « plus l’infini ». Dire que $x\geqslant a$ signifie que toutes les valeurs supérieures à $a$ sont comprises jusqu’à l’infini (positif).
Définition 6.
Un intervalle est non borné s’il n’est pas limité d’un côté ou des deux côtés.
L’ensemble des nombres réels inférieurs ou égaux à $b$, s’appelle intervalle non borné fermé à droite en $b$ et se note $\left]-\infty;b\right]$. Cet intervalle désigne l’ensemble de tous les nombres réels $x$ tels que : $x\leqslant b$.
$$x\in\left]-\infty;b\right] \quad\text{ssi}\quad x\leqslant b$$
L’ intervalle $\left]-\infty;b\right]$ est représenté graphiquement sur la droite graduée de la manière suivante :
D’une manière analogue on définit l’intervalle non borné ouvert à gauche en $a$ :
$$x\in\left]a;+\infty\right] \quad\text{ssi}\quad x>a$$
D’une manière analogue on définit l’intervalle non borné ouvert à droite en $b$ :
$$x\in\left]-\infty;b\right[ \quad\text{ssi}\quad x< b$$
L’ intervalle $\left]-\infty;b\right[$ est représenté graphiquement sur la droite graduée de la manière suivante
3. Intersection et réunion d’intervalles
Définition 1.
L’intersection de deux ensembles $A$ et $B$, se note $A\cap B$ et désigne l’ensemble des éléments qui appartiennent (à la fois) à $A$ et à $B$. C’est l’ensemble des éléments communs à $A$ et à $B$. On lit « $A$ inter $B$ » et pour tout $x$, on écrit :
$$x\in A\cap B\quad\text{ssi}\quad x\in A\;\text{et}\; x\in B$$
Définition 1.
La réunion de deux ensembles $A$ et $B$, se note $A\cup B$ et désigne l’ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$. C’est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$ ou les deux. On lit « $A$ union $B$ » et pour tout $x$, on écrit :
$$x\in A\cup B\quad\text{ssi}\quad x\in A\;\text{ou}\; x\in B$$
Exemples. 1°) Comme $\N$ est inclus dans $\Z$ déterminer $\N\cap\Z$ et $\N\cup\Z$.
2°) On considère les deux intervalles $A = [–2 ;3]$ et $B = ]0 ; 5]$. Déterminer $A\cap B$ et $A\cup B$.
Corrigé.
1°) $\N$ est un sous-ensemble de $\Z$. Donc : $\N\subset\Z$. et par suite :
$$\N\cap\Z=\N\quad{et}\quad \N\cup\Z=\Z$$
2°) On considère les deux intervalles $A = [–2 ;3]$ et $B = ]0 ; 5]$.
On fait d’abord un schéma représentatif :
L’intersection correspond à la partie commune, c’est-à-dire le segment de droite où les deux intervalles se superposent. Donc : $$A\cap B= ] 0 ; 3 ]$$
La réunion correspond à l’ensemble formé des deux intervalles, c’est-à-dire le segment de droite couvert par l’un ou l’autre ou les deux intervalles. Donc : $$A\cup B= [ – 2 ; 5 ].$$
Remarque
Dans le langage courant, le « ou » signifie un choix obligatoire ; comme dans « fromage ou dessert ». On dit que le « ou » est exclusif.
En mathématiques, dans la définition de la réunion de deux ensembles, le « ou » n’est pas exclusif. Dire que $x\in A\cup B$ signifie que $x$ appartient à « au moins un des deux ensembles »
Donc « $x$ appartient à $A$ » ou « $x$ appartient à $B$ » ou « $x$ appartient aux deux ensembles ».
On dit que le « ou » est inclusif.
Exercice résolu.
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