Tout ce que vous avez appris en géométrie au Collège est exigible en Seconde. Vous allez étudier une nouvelle notion, les vecteurs, qui constitue un outil important pour la géométrie au programme de Mathématiques en Seconde générale.

Les objectifs de cette partie sont les suivants :

  • consolider les notions sur les configurations géométriques abordées au collège et prolonger leur étude ;
  • introduire les vecteurs du plan comme outil permettant d’étudier des problèmes issus des mathématiques et des autres disciplines, en particulier de la physique ;
  • poursuivre l’étude de la géométrie repérée, qui relie nombres, calculs algébriques, fonctions et géométrie et constitue un outil utile à d’autres disciplines.
  • En particulier, introduire la notion d’ensemble de points du plan décrit par une équation, en explicitant le cas des équations de droites.

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Éléments de géométrie dans le plan

  1. Repérage d’un point dans le plan. Coordonnées cartésiennes
  2. Coordonnées du milieu d’un segment dans le plan
  3. Distance entre deux points du plan. Longueur d’un segment. Alignement de trois points
  4. Distance entre deux points du plan. Nature d’un triangle
  5. Vecteurs et coordonnées dans le plan. Base de l’ensemble des vecteurs du plan

  1. Équations de droites dans le plan. Équations réduites
  2. Tracer une droite donnée connaissant son équation réduite.
  3. Tracer une droite donnée par un point et son coefficient directeur.
  4. Lire graphiquement l’équation réduite d’une droite.
  5. Déterminer l’équation réduite d’une droite à partir des coordonnées de deux de ses points.
  6. Déterminer l’équation réduite d’une droite donnée par un point et son coefficient directeur.
  7. Équations cartésiennes d’une droite.
  1. Droites remarquables dans le triangle
    1. Médiatrice d’un segment
    2. Les médiatrices dans un triangle sont concourantes. Cercle circonscrit au triangle
    3. Les hauteurs dans un triangle
    4. Démonstration 4ème. Les trois hauteurs sont concourantes dans un triangle
    5. Les médianes dans un triangle
    6. Démonstration 4ème. Dans un triangle les médianes sont concourantes
    7. Démonstration 4ème. Position du centre de gravité d’un triangle
    8. Bissectrice d’un angle
    9. Les bissectrices dans un triangle sont concourantes. Cercle inscrits dans le triangle
  2. Droites

  1. Notion de vecteur dans le plan. Complet.
  2. Vecteur $\overrightarrow{MM’}$ associé à la translation qui transforme $M$ en $M’$. Direction, sens et norme.
  3. Représentation géométrique des vecteurs.
  4. Égalité de deux vecteurs. Notation $\vec{u}$. Vecteur nul $\vec{0}$. Vecteurs opposés.
  5. Somme de deux vecteurs. Enchaînement de deux translations. Relation de Chasles.
  6. Règle du parallélogramme. Différence de deux vecteurs
  7. Construction géométrique de la somme et de la différence de deux vecteurs
  8. Multiplication d’un vecteur par un nombre réel. Colinéarité de deux vecteurs.
  9. Colinéarité de vecteurs. Alignement de points et parallélisme de droites.
  1. Base orthonormée. Coordonnées d’un vecteur dans un repère quelconque
  2. Norme d’un vecteur dans un repère orthonormé.
  3. Expression des coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ en fonction de celles de $A$ et de $B$.
  4. Produit d’un vecteur par un nombre réel. Colinéarité de deux vecteurs.
  5. Repérage d’un point dans le plan. Coordonnées cartésiennes
  6. Coordonnées du milieu d’un segment dans le plan
  7. Distance entre deux points du plan. Longueur d’un segment. Alignement de trois points
  8. Vecteurs et coordonnées dans le plan. Base de l’ensemble des vecteurs du plan
  9. Distance entre deux points du plan. Nature d’un triangle
  10. Déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormée, critère de colinéarité.
  11. Application de la colinéarité à l’alignement et au parallélisme, avec les coordonnées.
  12. Représenter un vecteur dont on connaît les coordonnées. Lire les coordonnées d’un vecteur.
  13. Calculer les coordonnées d’une somme et d’une différence de vecteurs, d’un produit d’un vecteur par un nombre réel.
  14. Caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité de vecteurs.
  15. Résoudre des problèmes en utilisant la représentation la plus adaptée des vecteurs.
    Démonstration.
  16. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.
  1. Repérage d’un point dans le plan. Coordonnées cartésiennes
  2. Coordonnées du milieu d’un segment dans le plan
  3. Distance entre deux points du plan. Longueur d’un segment. Alignement de trois points
  4. Vecteurs et coordonnées dans le plan. Base de l’ensemble des vecteurs du plan
  5. Distance entre deux points du plan. Nature d’un triangle
  1. Définition vectorielle d’une symétrie centrale.
  2. Définition vectorielle d’une translation.
  3. Définition vectorielle d’une homothétie.
  1. Projeté orthogonal d’un point sur une droite dans le plan.
  2. Résoudre des problèmes de géométrie plane sur des figures simples ou complexes (triangles, quadrilatères, cercles).
  3. Calculer des longueurs, des angles, des aires et des volumes.
  4. Traiter de problèmes d’optimisation.
  5. Le projeté orthogonal du point M sur une droite Δ est le point de la droite Δ le plus proche du point M.
  6. Relation trigonométrique $\cos^2(\alpha) + sin^2(\alpha) = 1$ dans un triangle rectangle.
    Approfondissement
  7. Démontrer que les hauteurs d’un triangle sont concourantes.
  8. Expression de l’aire d’un triangle : $\dfrac{1}{2}ab \sin\hat C$.
  9. Formule d’Al-Kashi.
  10. Le point de concours des médiatrices est le centre du cercle circonscrit.
  1. Équations cartésienne de droites dans le plan. Équations réduites
  2. Vecteur directeur d’une droite.
  3. Déterminer l’équation réduite d’une droite à partir d’un point et un vecteur directeur.
  4. Déterminer la pente ou un vecteur directeur d’une droite donnée par une équation ou une représentation graphique.
  5. Dire si trois points sont alignés ou non
  6. Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes connaissant deux points
  7. Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues, déterminer le point d’intersection de deux droites sécantes.