La notion de vecteurs dans le plan

I. Vecteur et translation

1.1. Direction et sens

Définition 1.
Une droite définit une direction.
On dit que deux droites $d$ et $d’$ ont la même direction lorsque $d$ et $d’$ sont parallèles ou confondues.
Par conséquent, si deux droites sont sécantes, alors elles n’ont pas la même direction.

Figure 1.

Les droites $d$ et $d’$ sont parallèles donc elles la même direction. $d$ et $\Delta$ sont sécantes, donc elles n’ont pas la même direction.

Définition 2.
Soit $d$ une droite donnée. On peut définir deux sens possibles sur cette droite. Le premier sens va de $A$ vers $B$. Le deuxième sens, de $B$ vers $A$.

Figure 2. Une direction. Deux sens.

Attention : Le mot « direction » dans le langage courant se confond avec le mot « sens ». En mathématiques, on choisit d’abord une direction (une droite) puis on choisit un des deux sens sur cette droite.

1.2. Activité : Translation – déplacement rectiligne

Le voilier se déplace sur une mer calme du point $A$ au point $A’$. Dessiner le voilier dans sa position en $A’$ et tracer les chemins de chacun des points indiqués en utilisant différentes couleurs. Que constatez-vous ?

Définition 3.
Lorsqu’on fait glisser une figure $\mathcal F$ d’un point $A$ à un point $A’$ sur une ligne droite sans la tourner, on déplace tous ses points sur des droites parallèles : dans la même direction, dans le même sens et de la même longueur.
On dit que la figure $\mathcal F’$ est l’image de la figure $\mathcal F$ par la translation qui transforme le point $A$ en $A’$.

De même, le point $B’$ est l’image de $B$ par la translation qui transforme $A$ en $A’$.

Définitions 4.
Les couples formés des points et de leurs images par cette translation : $(A;A’)$ , $(B; B’)$, $(C; C’)$,… définissent un vecteur par la donnée :
d’une direction : la droite $(AA’)$ ;
d’un sens : de $A$ vers $A’$ ;
et d’une longueur  ${}= AA’$.
On note $\overrightarrow{u}$ ce vecteur associé à la translation et on écrit : $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AA’}= \overrightarrow{BB’}= \overrightarrow{CC’}$$

Figure 3. $\overrightarrow{AA’}=\overrightarrow{BB’}= \overrightarrow{CC’}$

Définition 5.
La longueur d’un vecteur $ \overrightarrow{u}$ s’appelle aussi la norme de ce vecteur. On note : $$\lVert \overrightarrow{u}\rVert=AA’$$

1.3. Vecteurs égaux

Définition 6.
Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même norme On écrit : $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$$

Figure 4. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$

Théorème 1. (Très important)
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points deux à deux distincts. Les trois conditions suivantes sont équivalentes :
1°) Le point $D$ est l’image de $C$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$;
2°) Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux ;
3°) le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Attention : $ABDC$ et non $ABCD$ : il faut faire le tour du quadrilatère, dans un sens ou dans l’autre.

Conséquence : Si on a une égalité vectorielle, on peut écrire trois autres égalités vectorielles (les deux autres s’obtiennent en changeant de sens) :

Théorème 2.
[$ABCD$ est un parallélogramme ] (ssi) [$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$] (ssi) [$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$]

Pour démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme, il suffit donc, de démontrer UNE SEULE égalité vectorielle. Puis, on peut en déduire trois autres égalités vectorielles.

On peut aussi en déduire toutes les propriétés du parallélogramme, sur les diagonales, le centre de symétrie, l’égalité des longueurs des côtés opposés, l’égalité des mesures des angles opposés, vues en classe de 5ème.

1.4. Vecteur nul

Définition 5.
Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est nul si et seulement si $A$ = $B$. On a alors :$$\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$$

Propriété n°1. Pour tous points $A$ et $B$ du plan :
$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\text{ (ssi) } [A =B]$$

Remarque. Le vecteur nul est le seul vecteur qui n’a pas de direction ni de sens !

1.5) Vecteurs opposés

Définition 7.
On dit que deux vecteurs sont opposés lorsqu’ils ont la même direction, la même norme et des sens opposés.

Propriété 2.
Les vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $ \overrightarrow {BA}$ sont des vecteurs opposés. On écrit alors : $$ \overrightarrow {BA}=- \overrightarrow {AB}$$

2. Opérations sur les vecteurs

2.1. Enchaînement de deux translations

Soit $t_1$ la translation de vecteur $ \overrightarrow {u}= \overrightarrow{AB}$ et $t_2$ la translation de vecteur $ \overrightarrow {v}= \overrightarrow {BC}$

Figure 5. Enchaînement de deux translations

Se déplacer de $A$ en $B$, puis de $B$ en $C$, revient à se déplacer de $A$ en $C$. Donc, appliquer la translation $t_1$ puis la translation $t_2$ revient à se déplacer de $A$ en $C$. On obtient une nouvelle translation $t_3$. Le vecteur associé à cette translation est $ \overrightarrow {w}= \overrightarrow {AC}$.

Définition 8.
Soient $ \overrightarrow {u}$ et $ \overrightarrow {v}$ deux vecteurs quelconques. Le vecteur associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteurs $ \overrightarrow {u}$ et $ \overrightarrow {v}$ s’appelle la somme des vecteurs $ \overrightarrow {u}$ et $ \overrightarrow {v}$. On écrit : $$ \overrightarrow {w}= \overrightarrow {v}+ \overrightarrow {v}$$

2.2. Addition de vecteurs

Comme conséquence de cette définition, on a la propriété très importante suivante :

Relation de Chasles 

Propriété n°3.
La relation de Chasles donne le résultat d’un enchaînement de vecteurs. Somme de deux vecteurs mis bout à bout. Quels que soient les points $A$, $B$ et $C$ du plan, on a : $$\boxed{\;\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AC}\;}$$

En utilisant la propriété n°1, nous pouvons écrire autrement cette propriété pour trouver le quatrième sommet d’un parallélogramme.

Règle du parallélogramme

Propriété n°4.
(Recherche du 4ème sommet d’un parallélogramme. Somme de deux vecteurs de même origine).
Quels que soient les points $A$, $B$ et $C$ du plan. Il existe un unique point $D$ tel que : $$\boxed{\; ABDC\text{ est un parallélogramme (ssi) }
\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {AC} =\overrightarrow {AD}\;}$$

Figure 6. Recherche du 4ème sommet d’un parallélogramme.

Si $ABDC$ est un parallélogramme, alors : $ \overrightarrow {u}= \overrightarrow {AB}= \overrightarrow {CD}$ et $ \overrightarrow {v}= \overrightarrow {AC}= \overrightarrow {BD}$. Donc, d’après la règle du parallélogramme :
$$\begin{array}{rl}
\overrightarrow {u}+ \overrightarrow {v}&= \overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {AC}\\
&= \overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {BD} \\
&= \overrightarrow {AD}\\ \end{array}$$

Remarque. D’après la règle du parallélogramme, dans une addition, on peut changer l’ordre des vecteurs, la somme ne change pas.

Théorème 3.
Pour tous vecteurs $ \overrightarrow {u}$ et $ \overrightarrow {v}:\qquad$ $$ \overrightarrow {u}+ \overrightarrow {v}= \overrightarrow {v}+ \overrightarrow {u}$$

2.3. Soustraction de vecteurs

Définition 8.
Pour soustraire un vecteur on ajoute son opposé. Si $ \overrightarrow {u}$ et $ \overrightarrow {v}$ sont deux vecteurs quelconques du plan, alors : $$ \overrightarrow {u}- \overrightarrow {v}= \overrightarrow {u}+(- \overrightarrow {v})$$
$ \overrightarrow {u}- \overrightarrow {v}$ s’appelle la différence des vecteurs $ \overrightarrow {u}$ et $ \overrightarrow {v}$.

Propriété n°5.
Quels que soient les points $M$, $A$ et $B$ du plan. $$\boxed{\; \overrightarrow {AB}= \overrightarrow {MB}- \overrightarrow {MA} \;}$$
En particulier, si $O$ est l’origine d’un repère du plan : $$\boxed{\; \overrightarrow {AB}= \overrightarrow {OB}- \overrightarrow {OA} \;}$$

Par définition de la soustraction, de la propriété des vecteurs opposés et de la relation de Chasles, on a :
$$\begin{array}{rl}
\overrightarrow {MB}- \overrightarrow {MA}
&= \overrightarrow {MB}+(- \overrightarrow {AM})\\
&= \overrightarrow {MB}+ \overrightarrow {AM}\\
&= \overrightarrow {AM}+ \overrightarrow {MB}\\
&= \overrightarrow {AB}\\
\end{array}$$

Exemple

Exercice résolu n°1.
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan. Calculer $ \overrightarrow {AB}- \overrightarrow {AC}$.

Par définition de la soustraction, de la propriété des vecteurs opposés et de la relation de Chasles, on a :
$$\begin{array}{rl}
\overrightarrow {AB}- \overrightarrow {AC}
&= \overrightarrow {AB}+(- \overrightarrow {AC})\\
&= \overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {CA}\\
&= \overrightarrow {CA}+ \overrightarrow {AB}\\
&= \overrightarrow {CB}\\
\end{array}$$

Application. Symétrie centrale

Propriété n°5.
Quels que soient les points $A$, $B$ et $C$ du plan.
$C$ est le symétrique de $B$ par rapport à $A$ (ssi) $\overrightarrow{AB}$ et \overrightarrow{AC}$ sont deux vecteurs opposés (ssi) $\overrightarrow{AC}=- \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{0}$ (ssi) $A$ est le milieu de $[BC]$.

Figure 6. Symétrie centrale

2.4. Construction géométrique de la différence de deux vecteurs

On utilise la définition de la soustraction des vecteurs et la relation de Chasles ou la règle du parallélogramme.

Exemple

Exercice résolu n°2.
On considère les deux vecteurs $ \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{CD}$ donnés dans la figure ci-dessous. Construire de deux manières le vecteur $\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{CD}$.

1ère méthode. Si on utilise la relation de Chasles, on commence par construire le vecteur opposé du vecteur $\overrightarrow{CD}$ à l’extrémité $B$ du vecteur $\overrightarrow{AB}$ puis on applique et la relation de Chasles. On a donc : $\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{CD}$. Par suite,
On a alors : $$\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE}= \overrightarrow{AE}$$ d’après la relation de Chasles.

2ème méthode. Si on utilise la règle du parallélogramme, on commence par construire le vecteur $\overrightarrow{AF}$ opposé du vecteur $\overrightarrow{CD}$ à l’origine $A$ du vecteur $\overrightarrow{AB}$ puis on applique et la règle du parallélogramme. Il existe donc un unique point $E$ tel que $ABEF$ soit un parallélogramme. On a alors : $$\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AF}= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}= \overrightarrow{AE}$$


2.4. Multiplication d’un vecteur par un nombre réel

Définition 9.
Soit $ \overrightarrow {u}$ un vecteur quelconque (non nul) et $k$ un nombre réel non nul. On appelle produit du vecteur $ \overrightarrow {u}$ par le nombre réel $k$, le vecteur noté $k \overrightarrow {u}$ ayant :
1°) la même direction que $ \overrightarrow {u}$ ;
2°) le même sens si $k>0$ ; et de sens contraire si $k<0$ ;
3°) une norme égale à $k$ fois la norme de $ \overrightarrow {u}$ si $k>0$ et à $(– k)$ fois la norme de $ \overrightarrow {u}$ si $k<0$.

Autrement dit, pour tour réel $k$ et tout vecteur $ \overrightarrow {u}$, on a : $$\lVert k \overrightarrow {u}\rVert=\lvert k\rvert\times \lVert \overrightarrow {u}\rVert$$

Figure 7. Vecteurs colinéaires

Remarque.

Soit $k$ un nombre réel et $\overrightarrow {u}$ un vecteur du plan. Alors
1°) Si $k=0$ ou si $ \overrightarrow {u}= \overrightarrow {0}$, alors : $\boxed{\; 0\cdot \overrightarrow {u}= \overrightarrow {0}\quad\text{et}\quad k\cdot \overrightarrow {0}= \overrightarrow {0}\;}$
2°) Si $k\overrightarrow {u}= \overrightarrow {0}$, alors : $k=0$ ou $\overrightarrow {u}= \overrightarrow {0}$.

2.5. Vecteurs colinéaires

Définition 10.
On dit que deux vecteurs $ \overrightarrow {u}$ et $ \overrightarrow {v}$ sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction.

Théorème 4.
Deux vecteurs $ \overrightarrow {u}$ et $ \overrightarrow {v}$ sont colinéaires si et seulement si, il existe un nombre réel $k$, tel que : $$ \overrightarrow {v}=k \overrightarrow {u}$$ si et seulement si, il existe un nombre réel $k’$, tel que : $$\ \overrightarrow {u}=k’ \overrightarrow {v}$$

3. Parallélisme et alignement

3.1. Parallélisme de droites et vecteurs

Théorème 5.
Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan. Les deux vecteurs $ \overrightarrow {AB}$ et $ \overrightarrow {CD}$ sont colinéaires, si et seulement si, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

Figure 8. Droites parallèles

3.1. Alignement de points et vecteurs

Rappel. Propriété 5ème
Si deux droites sont parallèles et ont un point commun, alors elles sont confondues (vue en 5ème). D’où la propriété importante suivante qui permet de démontrer que trois points sont alignés.

Figure 9. Trois points alignés

Théorème 6.
Soient $A$, $B$, et $C$ trois points du plan. Les trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés, si et seulement si, deux des trois vecteurs $ \overrightarrow {AB}$, $ \overrightarrow {AC}$ et $ \overrightarrow {BC}$ sont colinéaires.

3.3. Milieu d’un segment et vecteurs

Théorème 7.
Soit $A$, $B$ et $I$ trois points du plan. Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ si et seulement si, l’une des conditions suivantes est réalisée : $$\begin{array}{rc}
(1)\quad & \overrightarrow {AI}= \overrightarrow {IB}\\
(2)\quad & \overrightarrow {AI}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow {AB}\\
(3)\quad & \overrightarrow {IB}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow {AB}\\
(1)\quad & \overrightarrow {AI}+ \overrightarrow {IB}= \overrightarrow {0}\\
\end{array}$$

4. Calcul vectoriel

Théorème 8.
Pour tous vecteurs $ \overrightarrow {u}$, $ \overrightarrow {v}$ et $ \overrightarrow {w}$ ; et tous nombres réels $a$ et $b$, on a les propriétés suivantes :
$P_1$ : On peut changer l’ordre des vecteurs, le résultat ne change pas.
$\qquad\overrightarrow {u}+ \overrightarrow {v}= \overrightarrow {v}+ \overrightarrow {u}$.
$P_2$ : On peut faire des groupements, ou associations de vecteurs, le résultat ne change pas.
$\qquad( \overrightarrow {u}+ \overrightarrow {v})+ \overrightarrow {w}= \overrightarrow {u}+( \overrightarrow {v}+ \overrightarrow {w}$.
$P_3$ : Le vecteur nul $\overrightarrow {0}$ est neutre pour l’addition des vecteurs.
$ \qquad \overrightarrow {0}+ \overrightarrow {u}= \overrightarrow {u}+ \overrightarrow {0}$.
$P_4$ : La somme de deux vecteurs opposés est égale au vecteur nul.
$ \qquad \overrightarrow {u}+(- \overrightarrow {u})=(- \overrightarrow {u})+ \overrightarrow {u}= \overrightarrow {0}$.
$P_5$ : On distribue la multiplication côté nombres :
$ \qquad k( \overrightarrow {u}+ \overrightarrow {v})=k \overrightarrow {u}+k \overrightarrow {v}$.
$P_6$ : On distribue la multiplication côté vecteurs :
$ \qquad (a+b) \overrightarrow {u}=a \overrightarrow {u}+b \overrightarrow {u}$.
$P_7$ : Multiplications successives d’un vecteur par des nombres :
$ \qquad a(b \overrightarrow {u})=(a\times b) \overrightarrow {u}$.
$P_1$ : La multiplication par $1$ est neutre : $ \qquad 1 \overrightarrow {u}= \overrightarrow {u}$.

Exercices résolus


Exercice résolu n°2.
Calculer et écrire l’expression la plus réduite possible du vecteur $ \overrightarrow {V}$ : $$ \overrightarrow {V}=2 \overrightarrow {u}-3 \overrightarrow {v}+3( \overrightarrow {u}+ \overrightarrow {v}- \overrightarrow {w})-4 \overrightarrow {u}+5 \overrightarrow {w}$$

On a de l’exercice résolu n°2. $$\begin {array}{rcl}
\overrightarrow {V}&=&2 \overrightarrow {u}-3 \overrightarrow {v}+3( \overrightarrow {u}+ \overrightarrow {v}- \overrightarrow {w})-4 \overrightarrow {u}+5 \overrightarrow {w}\\
&=& 2 \overrightarrow {u}-3 \overrightarrow {v}+3 \overrightarrow {u}+3 \overrightarrow {v}-3 \overrightarrow {w}-4 \overrightarrow {u}+5 \overrightarrow {w}\\
&=& \color{brown}{2 \overrightarrow{u}+3\overrightarrow {u}-4 \overrightarrow {u}} \color{black}{-3 \overrightarrow {v}+3 \overrightarrow {v}} \color{blue}{-3 \overrightarrow {w}+5 \overrightarrow {w}}\\
&=& \color{brown}{(2+3-4) \overrightarrow {u}}+ \color{black}{ (-3+3) \overrightarrow {v}}+\color{blue}{(-3+5) \overrightarrow {w}}\\
\color{brown}{ \overrightarrow {V}}&\color{brown}{=}&\color{brown}{ \overrightarrow {u}+2 \overrightarrow {w}}\\
\end{array}$$
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\; \overrightarrow {V}= \overrightarrow {u}+2 \overrightarrow {w}\;}}$.


Exercices résolus

Exercice résolu n°3. (Synthèse)
$ABC$ est un triangle et $O$ est un point quelconque du plan. Le point $I$ est le milieu de $[AC]$ et $P$ est un point du plan tel que : $$ \overrightarrow {OP}= \overrightarrow {OA}-2 \overrightarrow {OB}+ \overrightarrow {OC}$$
1°) Exprimer $ \overrightarrow {OA}+ \overrightarrow {OC}$ en fonction de $ \overrightarrow {OI}$.
2°) Démontrer que les droites $(OP)$ et $(IB)$ sont parallèles.

Indication. Introduire le point $I$ et utiliser la relation de Chasles « à l’envers ».

1°) D’abord, comme $I$ est le milieu de $[AC]$, on peut écrire plusieurs égalités vectorielles (théorème7). En particulier : $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$.
D’après la relation de Chasles, on a : $$\begin {array}{rcl}
\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}&=& \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IC}\\
&=& \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\\
&=&2\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{0}\\
&=&2\overrightarrow{OI}\\
\end{array}$$

Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OI}\;}}$.

2°) $O$ est un point quelconque du plan et $P$ est un point du plan tel que : $$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$$ Pour montrer que les droites $(OP)$ et $(IB)$ sont parallèles, il suffit de démontrer que les deux vecteurs $\overrightarrow{OP}$ et $\overrightarrow{IB}$ sont colinéaires.

Nous allons partir de l’expression de $\overrightarrow{OP}$ et « couper » par le point $I$. On a : $$\begin {array}{rll}
\overrightarrow{OP}&\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC}&\text{par hypothèse.}\\
&-2\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} &\text{On peut changer l’ordre des vecteurs ;}\\
&-2\overrightarrow{OB}+(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}) &\text{On peut faire des groupements de vecteurs ;}\\
&2\overrightarrow{BO}+2\overrightarrow{OI} &\text{D’après la question 1°)}\\
&2(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OI}) &\text{On peut « factoriser »}\\
&2\overrightarrow{BI}&\text{D’après la relation de Chasles.}\\
&-2\overrightarrow{IB}&\text{Par définition des vecteurs opposés.}\\
\end{array}$$
Par conséquent : $\color{brown}{\boxed{\;\overrightarrow{OP}=-2\overrightarrow{IB}\;}}$.
Ce qui montre que les deux vecteurs $\overrightarrow{OP}$ et $\overrightarrow{IB}$ sont colinéaires.

Conclusion. Les deux vecteurs $\overrightarrow{OP}$ et $\overrightarrow{IB}$ sont colinéaires, donc les deux droites $(OP)$ et $(IB)$ sont parallèles. CQFD.$\blacktriangle$