Vecteurs colinéaires dans le plan
1. Définitions
Définition 1.
Deux droites ont la même direction si et seulement si elles sont parallèles ou confondues.
On dit que deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction.
Par conséquent, deux droites qui n’ont pas la même direction sont sécantes.
Théorème 1.
Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si, il existe un nombre réel $k$, tel que : $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$, si et seulement si, il existe un nombre réel $k’$, tel que : $\overrightarrow{u}=k’ \overrightarrow{u}$
Remarques
- Dire que deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires équivaut à dire que, dans tout repère du plan, leurs coordonnées sont proportionnelles.
- Soient $\overrightarrow{u}\left(\matrix{x\\ y}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\matrix{x’\\ y’}\right)$ deux vecteurs quelconques du plan. Alors
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $k$ tel que : $x’ = k x$ et $y’ = k y$.
2. parallélisme et alignement
Théorème 2.
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan. Les deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, si et seulement si, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
Rappel
Propriété (5ème). Si deux droites sont parallèles et ont un point commun, alors elles sont confondues.
D’où la propriété importante suivante qui permet de démontrer que trois points sont alignés.
Théorème 3.
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan. $A$, $B$ et $C$ sont alignés, si et seulement si, deux des trois vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires.
3. Milieu d’un segment
Définition 2. (sans les vecteurs)
Soient $A$, $B$ et $I$ trois points du plan. Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ si et seulement si les deux conditions suivantes sont réalisées :
i) Les trois points $A$, $I$ et $B$ sont alignés et
ii) $AI = IB$.
Théorème 4.
Soient $A$, $B$ et $I$ trois points du plan. Alors le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ si et seulement si une des conditions équivalentes suivantes est réalisée :
$\quad$(1) $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$ ;
$\quad$(2) $\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ ;
$\quad$(2$’$) $\overrightarrow{AB}=2\,\overrightarrow{AI}$ ;
$\quad$(3) $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}= \overrightarrow{0}$ ;
$\quad$(4) $\overrightarrow{IB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ ;
$\quad$(4$’$) $\overrightarrow{AB}=2\,\overrightarrow{IB}$ ; …
4. Condition analytique de la colinéarité
Analytique = « qui utilise les coordonnées dans un repère donné du plan ou de l’espace ».
Théorème 4. [Critère de colinéarité]
Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de coordonnées $\left(\matrix{x\\ y}\right)$ et $\left(\matrix{x’\\ y’}\right)$ respectivement dans un repère $(O\, ; \vec{\imath}, \vec{\jmath})$. Alors : $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si, il y a égalité des produits en croix. Autrement dit :
$$\overrightarrow{u}\;\text{et}\; \overrightarrow{v}\;\text{sont colinéaires}\;\Leftrightarrow xy’ – x’y = 0$$
Élément de logique
Pour démontrer l’équivalence entre deux propositions logiques $P$ et $Q$, on dispose de deux méthodes :
1ère méthode : On peut faire un « raisonnement par équivalences ». C’est une succession de propriétés équivalentes commençant par $P$ et finissant par $Q$.
2ème méthode : On peut faire un « raisonnement par double implication », c’est-à-dire démontrer deux implications, dans un sens et dans l’autre.
Autrement dit :
$$[P \Leftrightarrow Q]\; \text{équivaut à}\; [(P \Rightarrow Q) \; \text{et}\; (Q \Rightarrow P)]$$
Ce qui veut dire : [(Si $P$ est vraie, alors $Q$ est vraie) $\color{red}{\text{et}}$ (Si $Q$ est vraie, alors $P$ est vraie)].
Démonstration du théorème 4
Ici, nous allons faire un raisonnement par double implication.
$\color{red}{(\Rightarrow)}$ Supposons que les deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.
D’après le théorème 1, il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{v} =k\overrightarrow{u}$. Donc $x’= k x$ et $y’= ky$. Il suffit de remplacer dans la formule donnée.
Mais alors, $xy’ – x’y = x\times ky\, –kx\times y =xky – kxy = 0$. D’où le résultat.
Par conséquent : [Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires, alors $xy’–x’y=0$].
Réciproquement
$\color{red}{(\Leftarrow)}$ Supposons que $xy’–x’y = 0$ (*).
1er cas : Si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$. Alors $\overrightarrow{u}=0.\overrightarrow{v}$. Donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.
2ème cas : Si $\overrightarrow{u}\neq\overrightarrow{0}$. Alors l’une au moins des deux coordonnées de $\overrightarrow{u}$ est non nulle. Par exemple, supposons que $x\neq 0$.
Mais alors, d’après l’égalité (*), on a : $xy’–x’y = 0$, donc on peut écrire : $xy’ = x’y$, et puisque $x\neq 0$, on obtient : $y’=\dfrac{x’y}{x}$.
Posons alors : $k=\dfrac{x’}{x}$. Il en résulte que :
i) d’une part : $x’ = kx$ ;
ii) et d’autre part : comme $y’=\dfrac{x’y}{x}$, donc $y’=\dfrac{x’}{x} y$ ; il en résulte que $y’ = ky$. D’où le resultat.
Par conséquent : [Si $xy’ – x’y = 0$, alors $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires]. CQFD.
5. Exemple
Déterminer toutes les valeurs du réel $m$ pour que les deux vecteurs $\overrightarrow{u} \left(\matrix{m\\ \dfrac{1}{2}}\right)$ et $\overrightarrow{v} \left(\matrix{\dfrac{3}{2}\\ \sqrt{2}}\right)$ soient colinéaires.
Ici, nous allons faire un raisonnement par équivalence (directement).
La notation (ssi) signifie « si et seulement si », c’est-àdire « équivalent à »]
Corrigé.
Soit $m\in\R$.
Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires
$\begin{array}{rcl}
\qquad &\text{(ssi)} & m\times\sqrt{2}-\dfrac{3}{2}\times\dfrac{1}{2}=0 \\
& \text{(ssi)} & m\times\sqrt{2}=\dfrac{3}{4} \\
& \text{(ssi)} & m= \dfrac{3}{4\sqrt{2}} \\
& \text{(ssi)} & m= \dfrac{3\times\sqrt{2}}{4\sqrt{2}\times\sqrt{2}} \\
& \text{(ssi)} & m= \dfrac{3\sqrt{2} }{8}\\
\end{array}$
Conclusion. Il n’y a qu’une seule valeur de $m$ vérifiant cette condition :
$$\color{red}{\boxed{\; m=\dfrac{3\sqrt{2} }{8} \;}}$$
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