Norme d’un vecteur dans un repère orthonormé

  1. Base orthonormée. Coordonnées d’un vecteur dans un repère quelconque
  2. Norme d’un vecteur dans un repère orthonormé.
  3. Expression des coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ en fonction de celles de $A$ et de $B$.
  4. Produit d’un vecteur par un nombre réel. Colinéarité de deux vecteurs.
  5. Déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormée, critère de colinéarité.
  6. Application de la colinéarité à l’alignement et au parallélisme, avec les coordonnées.
    Représenter un vecteur dont on connaît les coordonnées. Lire les coordonnées d’un vecteur.
  7. Calculer les coordonnées d’une somme et d’une différence de vecteurs, d’un produit d’un vecteur par un nombre réel.
  8. Calculer la distance entre deux points. Calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
  9. Caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité de vecteurs.
  10. Résoudre des problèmes en utilisant la représentation la plus adaptée des vecteurs.
    Démonstration.
  11. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.
  1. Définition vectorielle d’une symétrie centrale.
  2. Définition vectorielle d’une translation.
  3. Définition vectorielle d’une homothétie.

1. Pourquoi choisir un repère orthonormé pour calculer les longueurs

Rappelez vous nos cours de CM2 et 6ème. On nous donnait un rectangle $ABCD$, avec $AB=28$mm et $AD=2$cm. On nous demandait de calculer le périmètre. (Le piège). Quelques élèves nous font remarquer qu’il faut convertir les cm en mm ou les mm en cm. Autrement dit, il faut choisir la même unité sur les deux axes perpendiculaires.

Pour calculer la longueur d’un segment joignant deux points $A$ et $B$ dans le plan, nous allons construire un rectangle dont $[AB]$ est la diagonale et utiliser le théorème de Pythagore.

2. Norme d’un vecteur $\overrightarrow{AB}$

$\lVert \overrightarrow{AB}\rVert =d(A;B)= AB$

Théorème 1.
Soit $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère orthonormé du plan.
Soit $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ deux points quelconques du plan. Alors : $$\boxed{\;\lVert \overrightarrow{AB}\rVert = AB =\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\;}$$


Avec les données de la figure 1. ci-dessus, on construit le point $C (x_B;y_A)$ de telle sorte que le triangle $ABC$ soit un triangle rectangle en $C$.
D’après le théorème de Pythagore, on a : $$AB^2=AC^2+BC^2$$
Ce qui donne : $$AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 $$ Et par suite : $$AB =\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
Or la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est égale à la longueur du segment $[AB]$.
Par conséquent : $$\boxed{\;\lVert \overrightarrow{AB}\rVert = AB =\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\;}$$

3. Norme d’un vecteur $\overrightarrow{u}$


Théorème 2.
Soit $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère orthonormé du plan. Soient $\overrightarrow{u}\dbinom{x}{y}$ un vecteur quelconque et $M$ le point du plan tel que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OM}$. Alors : $$ \boxed{\; M(x;y)\;}\quad\text{et}\quad\boxed{\;\lVert \overrightarrow{u}\rVert= \lVert \overrightarrow{OM}\rVert =\sqrt{x^2+y^2}\;}$$


$\lVert \overrightarrow{u}\rVert=\lVert \overrightarrow{OM}\rVert$

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Soit $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$ une base orthonormée des vecteurs du plan.
On donne les vecteurs suivants avec leurs coordonnées : $\overrightarrow{u}\dbinom{-3}{4}$ ; $\overrightarrow{v}\dbinom{-6}{0}$ et $\overrightarrow{w}\dbinom{5}{-7}$.
Calculer : $\lVert \overrightarrow{u}\rVert$ ; $\lVert \overrightarrow{v}\rVert$ et $\lVert \overrightarrow{w}\rVert$.

1°) Calcul de la norme du vecteur $\overrightarrow{u}\dbinom{-3}{4}$ : $$\begin{array}{rcl}
\lVert\overrightarrow{u}\rVert&=&\sqrt{x^2+y^2} \\
&=&\sqrt{(-3)^2+(4)^2}\\
&=& \sqrt{9+16}\\
&=& \sqrt{25}\\
\lVert\overrightarrow{u}\rVert&=& 5\\ \end{array}$$
Conclusion. $ \lVert\overrightarrow{u}\rVert =5$

2°) Calcul de la norme du vecteur $\overrightarrow{v}\dbinom{-6}{0}$ : $$\begin{array}{rcl}
\lVert\overrightarrow{v}\rVert&=&\sqrt{x^2+y^2} \\
&=&\sqrt{(-6)^2+0^2}\\
&=& \sqrt{36+0}\\
&=& \sqrt{36}\\
\lVert\overrightarrow{v}\rVert&=& 6\\ \end{array}$$
Conclusion. $ \lVert\overrightarrow{v}\rVert =6$

3°) Calcul de la norme du vecteur $\overrightarrow{w}\dbinom{5}{-7}$ : $$\begin{array}{rcl}
\lVert\overrightarrow{w}\rVert&=&\sqrt{x^2+y^2} \\
&=&\sqrt{5^2+(-7)^2}\\
&=& \sqrt{25+49}\\
\lVert\overrightarrow{w}\rVert&=&\sqrt{74}\\ \end{array}$$
Conclusion. $\lVert\overrightarrow{w}\rVert = \sqrt{74}$

Exercice résolu n°2.
Soit $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère orthonormé du plan.
On donne les trois points $A$, $B$ et $C$ avec leurs coordonnées : $A(-3;-1)$, $B(1;1)$ et $C(3;2$.
1°) Calculer : $\lVert \overrightarrow{AB}\rVert$ ; $\lVert \overrightarrow{AC}\rVert$ et $\lVert \overrightarrow{BC}\rVert$.
2°) Montrer que les trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.