Norme d’un vecteur dans un repère orthonormé
1. Pourquoi choisir un repère orthonormé pour calculer les longueurs
Rappelez vous nos cours de CM2 et 6ème. On nous donnait un rectangle $ABCD$, avec $AB=28$mm et $AD=2$cm. On nous demandait de calculer le périmètre. (Le piège). Quelques élèves nous font remarquer qu’il faut convertir les cm en mm ou les mm en cm. Autrement dit, il faut choisir la même unité sur les deux axes perpendiculaires.
Pour calculer la longueur d’un segment joignant deux points $A$ et $B$ dans le plan, nous allons construire un rectangle dont $[AB]$ est la diagonale et utiliser le théorème de Pythagore.
2. Norme d’un vecteur $\overrightarrow{AB}$

Théorème 1.
Soit $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère orthonormé du plan.
Soit $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ deux points quelconques du plan. Alors : $$\boxed{\;\lVert \overrightarrow{AB}\rVert = AB =\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\;}$$
3. Norme d’un vecteur $\overrightarrow{u}$
Théorème 2.
Soit $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère orthonormé du plan. Soient $\overrightarrow{u}\dbinom{x}{y}$ un vecteur quelconque et $M$ le point du plan tel que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OM}$. Alors : $$ \boxed{\; M(x;y)\;}\quad\text{et}\quad\boxed{\;\lVert \overrightarrow{u}\rVert= \lVert \overrightarrow{OM}\rVert =\sqrt{x^2+y^2}\;}$$

4. Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
Soit $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$ une base orthonormée des vecteurs du plan.
On donne les vecteurs suivants avec leurs coordonnées : $\overrightarrow{u}\dbinom{-3}{4}$ ; $\overrightarrow{v}\dbinom{-6}{0}$ et $\overrightarrow{w}\dbinom{5}{-7}$.
Calculer : $\lVert \overrightarrow{u}\rVert$ ; $\lVert \overrightarrow{v}\rVert$ et $\lVert \overrightarrow{w}\rVert$.
Exercice résolu n°2.
Soit $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère orthonormé du plan.
On donne les trois points $A$, $B$ et $C$ avec leurs coordonnées : $A(-3;-1)$, $B(1;1)$ et $C(3;2$.
1°) Calculer : $\lVert \overrightarrow{AB}\rVert$ ; $\lVert \overrightarrow{AC}\rVert$ et $\lVert \overrightarrow{BC}\rVert$.
2°) Montrer que les trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
Vues : 346