Démonstration 4ème. Les trois hauteurs sont concourantes dans un triangle

Remarque

Suivant l’énoncé, le mot « hauteur » peut désigner la droite $(AH)$ ou le segment $[AH]$ ou encore la longueur du segment $[AH]$.

2. Les hauteurs dans un triangle

Rappel

Définition 2.
On dit que trois droites sont concourantes si elles se coupent en un seul point $I$, appelé le point de concours de ces trois droites.

Théorème et définition.
Dans un triangle $ABC$ quelconque, les trois hauteurs sont concourantes et leur point de concours $O$ s’appelle l’orthocentre du triangle $ABC$.

Démonstration

Soit $ABC$ un triangle quelconque (non aplati).
$(AH)$ est la hauteur issue de $A$ ; $(BK)$ est la hauteur issue de $B$ et $(CP)$ est la hauteur issue de $C$.

Par le point $A$, on trace la droite $d_1$ parallèle à $(BC)$.
Par le point $B$, on trace la droite $d_2$ parallèle à $(AC)$.
Et par le point $C$, on trace la droite $d_3$ parallèle à $(AB)$.

$d_1$ et $d_2$ se coupent en $K$,
$d_1$ et $d_3$ se coupent en $J$
et $d_2$ et $d_3$ se coupent en $I$.

On obtient alors un triangle $IJK$ tel que :
$$(AB)//(IJ)~;~(AC)//(IK)~\text{et}~(BC)//(JK)$$
Ce qui montre que :
$$(AB)//(JC)~\text{et}~(AJ)//(BC)$$
Par suite, le quadrilatère $ABCJ$ est un parallélogramme.
Donc, en particulier, que : $AK=BC=AJ$, donc : $AK=AJ$
Par conséquent, $A$ est le milieu du segment $[JK]$.

On en déduit que la hauteur $(AH)$ est aussi la médiatrice du côté $[JK]$ dans le triangle $IJK$.

D’une manière analogue, on démontre que les hauteurs $(BK)$ et $(CP)$ sont aussi les médiatrice des côtés $[IK]$ et $[IJ]$ respectivement, dans le triangle $IJK$.

Or on sait que dans le triangle $IJK$, les trois médiatrices sont concourantes en un point $O$, centre du cercle circonscrit au triangle $IJK$.
Par conséquent, dans le triangle $ABC$, les trois hauteurs sont concourantes au point $O$, orthocentre de $ABC$.
CQFD. $\blacktriangle$