Déterminer l’équation réduite d’une droite donnée par un point et son coefficient directeur

  1. Équations de droites dans le plan.
  2. Tracer une droite donnée par son équation réduite.
  3. Tracer une droite donnée par un point et son coefficient directeur.
  4. Lire graphiquement l’équation réduite d’une droite.
  5. Déterminer l’équation réduite d’une droite à partir des coordonnées de deux de ses points.
  6. Déterminer l’équation réduite d’une droite donnée par un point et son coefficient directeur.
  7. Équations cartésiennes d’une droite.

1. Point méthode

Le plan est muni d’un repère $(O;I;J)$.
Soit $d$ une droite donnée donnée par un point $A(x_A;y_A)\in d$ et son coefficient directeur $m$ dans le repère $(O;I;J)$.

$\bullet$ D’abord, une droite parallèle à l’axe des ordonnées n’a pas de coefficient directeur. Son équation réduite est de la forme « x=c ». Comme $A(x_A;y_A)\in d$, l’équation réduite de $d$ s’écrit de la forme « $\boxed{\; x=x_A\;}$ ».

$\bullet$ Si $m=0$, le coefficient directeur est nul, donc $d$ est parallèle à l’axe des abscisses. Comme $A(x_A;y_A)\in d$, l’équation réduite de $d$ s’écrit de la forme « $\boxed{\; y=y_A\;}$ ».

$\bullet$ Si $m\not=0$, la droite $d$ est oblique et son équation réduite s’écrit sous la forme : « $y=mx+p$ ». $m$ est le coefficient directeur donné et $p$ l’ordonnée à l’origine.
On connaît $m$. On calcule $p$.
Or, $A(x_A;y_A)\in d$, donc : $y_A=mx_A+p$. On en déduit que : $$\boxed{\; p=y_A-mx_A\;}$$

Conclusion. On connaît $m$. On vient de calculer $p$. L’équation réduite de $d$ s’écrit est de la forme : $$\boxed{\; y=mx+p\;}$$

2. Exercices résolus

Exercice 1.
Le plan est muni d’un repère $(O;I;J)$.
Déterminer l’équation réduite de la droite parallèle à l’axe des ordonnées et passant par le point $A(2;3)$.

D’abord, une droite parallèle à l’axe des ordonnées n’a pas de coefficient directeur. Son équation réduite est de la forme « x=c ». Comme $A(2;3)\in d$, l’équation réduite de $d$ s’écrit : $$\boxed{\; x=x_A\;}$$

Exercice 2.
Le plan est muni d’un repère $(O;I;J)$.
Déterminer l’équation réduite de coefficient directeur $m=0$ et passant par le point $B(-2;3)$.

Ici $m=0$, le coefficient directeur est nul, donc la droite $d$ est parallèle à l’axe des abscisses. Comme $B(-2;3)\in d$, l’équation réduite de $d$ s’écrit : $$\boxed{\; y=3\;}$$

Exercice 3.
Déterminer l’équation réduite de coefficient directeur $m=-2$ et passant par le point $C(-1;5)$.

Ici, $m=-2\not=0$, la droite $d$ est oblique et son équation réduite s’écrit sous la forme : « $y=mx+p$ », où $p$ est l’ordonnée à l’origine.
On connaît $m=-2$. L’équation réduite de $d$ s’écrit $y=-2x+p$. On calcule $p$.
Or, $C(-1;5)\in d$, donc : $y_C=-2x_C+p$. Donc : $-2\times(-1)+p=5$. Ce qui donne : $p=3+5$. D’où : $p=8$.

Conclusion. L’équation réduite de $d$ s’écrit est de la forme : $$\boxed{\; y=-2x+3\;}$$

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