Déterminer l’équation réduite d’une droite donnée par un point et son coefficient directeur

1. Point méthode

Le plan est muni d’un repère $(O;I;J)$.
Soit $d$ une droite donnée donnée par un point $A(x_A;y_A)\in d$ et son coefficient directeur $m$ dans le repère $(O;I;J)$.

$\bullet$ D’abord, une droite parallèle à l’axe des ordonnées n’a pas de coefficient directeur. Son équation réduite est de la forme « x=c ». Comme $A(x_A;y_A)\in d$, l’équation réduite de $d$ s’écrit de la forme « $\boxed{\; x=x_A\;}$ ».

$\bullet$ Si $m=0$, le coefficient directeur est nul, donc $d$ est parallèle à l’axe des abscisses. Comme $A(x_A;y_A)\in d$, l’équation réduite de $d$ s’écrit de la forme « $\boxed{\; y=y_A\;}$ ».

$\bullet$ Si $m\not=0$, la droite $d$ est oblique et son équation réduite s’écrit sous la forme : « $y=mx+p$ ». $m$ est le coefficient directeur donné et $p$ l’ordonnée à l’origine.
On connaît $m$. On calcule $p$.
Or, $A(x_A;y_A)\in d$, donc : $y_A=mx_A+p$. On en déduit que : $$\boxed{\; p=y_A-mx_A\;}$$

Conclusion. On connaît $m$. On vient de calculer $p$. L’équation réduite de $d$ s’écrit est de la forme : $$\boxed{\; y=mx+p\;}$$


2. Exercices résolus

Exercice 1.
Le plan est muni d’un repère $(O;I;J)$.
Déterminer l’équation réduite de la droite parallèle à l’axe des ordonnées et passant par le point $A(2;3)$.

D’abord, une droite parallèle à l’axe des ordonnées n’a pas de coefficient directeur. Son équation réduite est de la forme « x=c ». Comme $A(2;3)\in d$, l’équation réduite de $d$ s’écrit : $$\boxed{\; x=x_A\;}$$


Exercice 2.
Le plan est muni d’un repère $(O;I;J)$.
Déterminer l’équation réduite de coefficient directeur $m=0$ et passant par le point $B(-2;3)$.

Ici $m=0$, le coefficient directeur est nul, donc la droite $d$ est parallèle à l’axe des abscisses. Comme $B(-2;3)\in d$, l’équation réduite de $d$ s’écrit : $$\boxed{\; y=3\;}$$


Exercice 3.
Déterminer l’équation réduite de coefficient directeur $m=-2$ et passant par le point $C(-1;5)$.

Ici, $m=-2\not=0$, la droite $d$ est oblique et son équation réduite s’écrit sous la forme : « $y=mx+p$ », où $p$ est l’ordonnée à l’origine.
On connaît $m=-2$. L’équation réduite de $d$ s’écrit $y=-2x+p$. On calcule $p$.
Or, $C(-1;5)\in d$, donc : $y_C=-2x_C+p$. Donc : $-2\times(-1)+p=5$. Ce qui donne : $p=3+5$. D’où : $p=8$.

Conclusion. L’équation réduite de $d$ s’écrit est de la forme : $$\boxed{\; y=-2x+3\;}$$