Les hauteurs dans un triangle

1. Définition d’une hauteur

Définition 1.
Dans un triangle $ABC$, on appelle hauteur issue d’un sommet, la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Dans les figures ci-dessous :
$$H\in(BC)\quad\text{et}(AH)\perp(BC)$$
On dit que $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$.

$(AH)$ est la hauteur issue du sommet $A$. Avec trois angles aigus.
$(AH)$ est la hauteur issue du sommet $A$. Avec un angle obtus.

Remarque

Suivant l’énoncé et la situation, le mot « hauteur » peut désigner la droite $(AH)$ ou le segment $[AH]$ ou encore la longueur du segment $[AH]$.

2. Propriété des hauteurs dans un triangle

Rappel

Définition 2.
On dit que trois droites sont concourantes si elles se coupent en un seul point $I$, appelé le point de concours de ces trois droites.

Théorème 1. et définition.
Dans un triangle $ABC$ quelconque, les trois hauteurs sont concourantes et leur point de concours $O$ s’appelle l’orthocentre du triangle $ABC$.

Démonstration. Niveau 4ème

Démonstration. Niveau 1ère avec le produit scalaire

Constructions

Si le triangle $ABC$ a trois angles aigus, l’orthocentre est à l’intérieur du triangle.
Si le triangle $ABC$ a un angle obtus, l’orthocentre est à l’extérieur du triangle.
Si le triangle $ABC$ est rectangle, son orthocentre est situé au sommet de l’angle droit.

3. Applications

Très souvent, ce théorème très important est utilisé pour démontrer que deux droites sont perpendiculaires.
En effet, si on se trouve dans un triangle $ABC$ et on démontre ou on sait que les les 2 hauteurs issues de $A$ et de $B$ se coupent en un point $O$, on en déduit que $O$ est l’orthocentre du triangle. Et, d’après ce théorème, la troisième hauteur est la droite passant par $O$ et le troisième sommet $C$.
On peut donc conclure en disant que la droite $(CO)$ est la troisième hauteur du triangle $ABC$, donc $(CO)$ est perpendiculaire à $(AB)$.

4. Exercices résolus

Exercice 1.
On considère un parallélogramme $ABCD$ de centre $O$.
Dans le triangle $OBC$, construire les deux hauteurs $(BH)$ et $(CP)$ issues de $B$ et $C$ respectivement. Elles se coupent en $I$.
1°) Démontrer que les droites $(OI)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
2°) Construire les points $J$, $K$ et $L$ orthocentres respectifs des triangles $OCD$, $ODA$ et $OAB$.
Démontrer que les points $K$ et $I$ sont symétriques par rapport au point $O$.
3°) En déduire la nature du quadrilatère $IJKL$.

A suivre