Égalité de deux vecteurs. Notations. Vecteur nul. Vecteurs opposés

4. Vecteurs égaux

Définition 6.
Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. On écrit : $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$$


Théorème 1.
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points deux à deux distincts. Les trois propositions suivantes sont équivalentes :
1°) Le point $D$ est l’image de $C$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ ;
2°) Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux ;
3°) le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Attention : $ABDC$ et non $ABCD$ : il faut faire le tour du quadrilatère, dans un sens ou dans l’autre.

Conséquence : Si on a une égalité vectorielle, on peut écrire trois autres égalités vectorielles (les deux autres s’obtiennent en changeant de sens) :

Théorème 2. $$\begin{array}{rcl} [ABDC~\text{est un parallélogramme}]
&\text{(ssi)}& [\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}] \\
&\text{(ssi)} &[\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}]\\
\end{array}$$

On peut également en déduire deux autres égalités vectorielles en prenant les opposés des vecteurs précédents :
$$\begin{array}{rcl} [ABDC~\text{est un parallélogramme}]
&\text{(ssi)}& [\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}] &[\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DC}]\\
&\text{(ssi)} &[\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}]&[\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DB}]\\
\end{array}$$

A partir de l’une de ces quatre égalités vectorielles, on peut déduire toutes les propriétés du parallélogramme, sur les diagonales, le centre de symétrie, le parallélisme et l’égalité des longueurs des côtés opposés, vues en classe de 5ème.

5. Vecteur nul

Définition 7.
Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est nul si et seulement si $A=B$. On a alors :

Propriété 1. $$\begin{array}{rl}
&\overrightarrow{AA}=\vec{0}\\
\text{Donc :} &[\overrightarrow{AB}=\vec{0}]~\text{si, et seulement si}~[A=B]\\ \end{array}$$

Remarque

Le vecteur nul est le seul vecteur de norme égale à $0$ et qui n’a pas de direction ni de sens !


6. Vecteurs opposés

Définition 8.
Deux vecteurs sont dits opposés lorsqu’ils ont la même direction, la même norme et des sens contraires.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ sont des vecteurs opposés. On écrit alors : $$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$$


7. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.