Équations cartésiennes d’une droite

1. Équation linéaire du premier degré à deux inconnues

Définition 1.
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels donnés.
Une équation linéaire du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$ s’écrit sous la forme réduite : $$(E)\quad\boxed{\;\; ax+by=c\;\;}$$

Définition 2.
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels donnés. on considère l’équation linéaire du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$ : $\boxed{\;\;ax+by=c\;\;}$. On dit que le couple de nombres réels $(x_0;y_0)$ est un couple solution de l’équation $(E)$ si, et seulement si, on a l’égalité : $$\boxed{\;\;ax_0+by_0=c\;\;}$$
L’ensemble des solutions, noté ${\mathcal S}$, de cette équation est l’ensemble de tous les couples $(x;y)$ pour lesquels l’égalité est vraie.

Attention, dans un couple de nombres réels $(x;y)$, l’ordre des termes est très important. Pensez aux coordonnées d’un points du plan. $M(2;3)$ est le point d’abscisse $2$ et d’ordonnée $3$, alors que $N(3;2)$ est le point d’abscisse $3$ et d’ordonnée $2$. $M\not=N$.

Propriété 1.
Deux couples $(x;y)$ et $(x’;y’)$ sont égaux si, et seulement si, $x=x’$ et $y=y’$. On écrit : $$ (x;y) = (x’;y’) \Leftrightarrow x=x’~\text{et}~y=y’$$

EXEMPLES

($E_1$) $2x-3y-5=0$ est une équation linéaire du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$. On peut la transformer comme suit : $(E_1)\Leftrightarrow 2x-3y=5$, avec $a=2$, $b=-3$ et $c=5$.
$\bullet$ Le couple $(1;-1)$ est une solution de cette équation, car : $2\times 1-3\times (-1)=2+3=5$.
$\bullet$ Le couple $(-1;1)$ n’est pas solution de cette équation, car : $2\times (-1)-3\times 1=-2-3=-5\not=5$.


2. Équation cartésienne d’une droite

Définition 3.
Le plan est muni d’un repère $(O,I,J)$.
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels donnés, non tous nuls.
L’ensemble des points $M(x;y)$ du plan pour lesquels l’égalité est vraie, est soit vide, soit une droite $d$ du plan. L’équation : $$(E)\quad\boxed{\;\;ax+by=c\;\;}$$ s’appelle une équation cartésienne de la droite $d$.
Autrement dit : $$\boxed{\;\;M(x;y)\in d~\Leftrightarrow~ax+by=c\;\;}$$

REMARQUE

Ce type d’écriture donne la forme générale d’une équation de droite dans le plan.
Cette équation peut être remplacée par plusieurs équations équivalentes, en ajoutant ou en soustrayant un même nombre à ses deux membres ; ou bien en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même nombre différent de $0$.

1. Formes réduites d’équations de droites

Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels donnés. on considère l’équation linéaire du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$ sous sa forme générale : $\boxed{\;\;ax+by=c\;\;}$.
Pour déterminer l’équation réduite de cette droite, on essaie d’écrire $y$ en fonction de $x$ réduite à sa plus simple expression.

On distingue cinq cas possibles du type : $0=0$ ; $0=7$ ; $x=-3$ ; $y=2$ ou $y=3x-5$.

Définition 4.
1er cas : Si $a=b=c=0$.
L’équation $(E)$ est équivalente à $0=0$. Tous les couples de nombres réels sont solutions. Donc, l’ensemble des solutions correspond au plan réel tout entier. Cas inutile.

2ème cas : $a=b=0$ et $c\not=0$. Par exemple l’équation $0=7$. Impossible.
L’ensemble des solutions est vide. On écrit : $${\mathcal S}=\emptyset$$

3ème cas : $a\not=0$, $b=0$ et $c\in\R$. L’équation $(E)$ est équivalente à $ax=c$, donc à $x=\dfrac{c}{a}$. On pose $k=\dfrac{c}{a}$. Alors l’équation $(E)$ s’écrit sous la forme réduite : $$(E)\quad\boxed{\;\; x=k\;\;}$$ L’équation admet une infinité de couples solutions $(k;y)$ où $y\in\R$.
Cette forme d’équation correspond à l’équation réduite d’une droite $d_1$ parallèle à l’axe des ordonnées. Tous les points $M\in d$ ont la même abscisse $x=k$.

4ème cas : $a=0$, $b\not=0$ et $c\in\R$. L’équation $(E)$ est équivalente à $by=c$, donc à $y=\dfrac{c}{b}$. On pose $p=\dfrac{c}{b}$. Alors l’équation $(E)$ s’écrit sous la forme réduite : $$(E)\quad\boxed{\;\;y=p\;\;}$$ L’équation admet une infinité de couples solutions $(x;p)$ où $x\in\R$.
Cette forme d’équation correspond à l’équation réduite d’une droite $d_2$ parallèle à l’axe des abscisses. Tous les points $M\in d$ ont la même ordonnée $y=p$.

5ème cas : $a\not=0$, $b\not=0$ et $c\in\R$. L’équation $(E)$ est équivalente à $by=-ax+c$, donc à $y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}$. On pose $m=-\dfrac{a}{b}$ et $p=\dfrac{c}{b}$. Alors l’équation $(E)$ s’écrit sous la forme réduite : $$(E)\quad\boxed{\;\;y=mx+p\;\;}$$ L’équation admet une infinité de couples solutions $(x;mx+p)$ où $x\in\R$.
Cette forme d’équation correspond à l’équation réduite d’une droite oblique.
Son coefficient directeur est : $m=-\dfrac{a}{b}$ et son ordonnée à l’origine est : $p=\dfrac{c}{b}$

Propriété 2.
Soit $d$ une droite non parallèle à l’axe des ordonnées, d’équation $ax+by=c$, $b\not=0$. Alors son coefficient directeur est : $\boxed{\;\; m=-\dfrac{a}{b} \;\;}$ et son ordonnée à l’origine est : $\boxed{\;\; p=\dfrac{c}{b} \;\;}$

3. Droites parallèles dans le plan

Définition 5.
1°) Deux droites parallèles à l’axe des ordonnées, sont parallèles entre elles.
2°) Deux droites $d$ et $d’$ non parallèles à l’axe des ordonnées, sont parallèles si, et seulement si, leurs coefficients directeurs sont égaux. $$ \boxed{\;\; d/\!/d’~\Leftrightarrow~m=m’ \;\;}$$

Propriété 3.
2°) Si $d$ et $d’$ sont deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées, d’équations $ax+by=c$, et $a’x+b’y=c’$, respectivement ; $b\not=0$ et $b’\not=0$, alors leurs coefficients directeurs sont $m=-\dfrac{a}{b}$ et $m’=-\dfrac{a’}{b’}$. Donc :
$$ \boxed{\;\; d/\!/d’~\Leftrightarrow~m=m’~\Leftrightarrow~-\dfrac{a}{b}=-\dfrac{a’}{b’}\;\;}$$ Donc, en écrivant l’égalité des produits en croix, on obtient : $$ \boxed{\;\; d/\!/d’ ~\Leftrightarrow~ ab’=ba’ \;\;}$$

Exercices résolus

Exercice 1. On considère l’équation linéaire du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$ : $4x+2y=6$ $(E)$.
1°) Le couple $(2;-1)$ est-il solution de cette équation ? Justifier votre réponse.
2°) Exprimer $y$ en fonction de $x$.

1°) Le couple $(2;-1)$ est-il solution de cette équation ?
On remplace $x$ et $y$ dans l’équation :
4\times 2+2\times(-1)=8-2=6$. Vrai.
Conclusion. Le couple $(2;-1)$ est solution de l’équation $(E)$.

2°) Exprimer $y$ en fonction de $x$.
On a alors les équivalences suivantes :
$$\begin{array}{rcll}
4x+2y&=&6 &\text{ on isole le terme en }y \\
2y&=&-4x+6 &\text{on transpose le terme en }x~\text{ à droite} \\
\dfrac{2y}{2}&=&\dfrac{-4x+6}{2} &\text{on divise les deux membres par }2\\
y&=&-2x+3 &\text{On obtient $y$ en fonction de $x$}\\ \end{array}$$
Conclusion. L’expression de $y$ en fonction de $x$ est $$\boxed{\;\; y=-2x+3 \;\;}$$

Exercice 2. Soit $d_1$ la droite d’équation cartésienne : $4x+2y=6$.
1°) Les points $M(-1;5)$ et $N(4;-3)$ appartiennent-ils à la droite $d_1$ ?
2°) Déterminer l’équation réduite de la droite $d_1$.
3°) Quelle est la nature de la droite $d_1$ ? Justifier.
4°) Déterminer les éléments caractéristiques de la droite $d_1$. [Le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine].

1°) Les points $M(-1;5)$ et $N(4;-3)$ appartiennent-ils à la droite $d_1$ ?
$\bullet$ Pour $M(1;-5)$, on remplace $x$ et $y$ dans l’équation :
$4\times (-1)+2\times5=-4+10=6$. Vrai. Donc $M\in d_1$.
$\bullet$ Pour $N(4;-3)$, on remplace $x$ et $y$ dans l’équation :
$4\times 4+2\times(-3)=16-6=10\not=6$. Faux. Donc $N\not\in d_1$.
Conclusion. $M(-1;5)\in d_1$ et $N(4;-3) \not\in d_1$.

2°) Déterminer l’équation réduite de la droite $d_1$.
L’équation cartésienne de la droite $d_1$ est : $4x+2y=6$.
On a alors les équivalences suivantes :
$$\begin{array}{rcll}
4x+2y&=&6 &\text{ on isole le terme en }y \\
2y&=&-4x+6 &\text{on transpose le terme en }x~\text{ à droite} \\
\dfrac{2y}{2}&=&\dfrac{-4x+6}{2} &\text{on divise les deux membres par }2\\
y&=&-2x+3 &\text{On obtient $y$ en fonction de $x$}\\ \end{array}$$
Conclusion. L’équation réduite de la droite $d_1$ est : $$(d_1)\quad \boxed{\;\; y=-2x+3 \;\;}$$

3°) Quelle est la nature de la droite $d$ ? Justifier.
L’équation réduite de la droite $d_1$ est de la forme : $y=mx+p$, avec $m\not=0$, donc $d_1$ est une droite oblique.

4°) Déterminer les éléments caractéristiques de la droite $d_1$. [Le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine].
L’équation réduite de la droite $d_1$ est : $y=-2x+3$, donc son coefficient directeur est $\boxed{\; m=-2\;}$ et son ordonnée à l’origine est $\boxed{\;p=+3\;}$.

Exercice 3.