Démonstration 4ème. Les trois médianes sont concourantes dans un triangle. Position du centre de gravité

Théorème 1 et définition.
Dans un triangle quelconque, les trois médianes sont concourantes et leur point de concours est le centre de gravité du triangle.

Démonstration 4ème

Soit $ABC$ un triangle.
Soient $B’$ et $C’$ les milieux des côtés $[AC]$ et $[AB]$ respectivement.
Les droites $(BB’)$ et $(CC’)$ sont les médianes issues des deux sommets $B$ et $C$.

Soit $G$ leur point d’intersection.
Montrons que la droite $(AG)$ est la troisième médiane ; c’est-à-dire que la droite $(AG)$ coupe le côté $[BC]$ en son milieu $A’$.

Soit $E$ le symétrique de $A$ par rapport au point $G$. Donc, $G$ est le milieu de $[AE]$.

Dans le triangle $ABE$, $C’$ est le milieu de $[AB]$ et $G$ est le milieu de $[AE]$.
D’après la réciproque du théorème de la droite des milieux, « si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté ». Donc : $(C’G)//(BE)$.
Et par conséquent : $$(CG)//(BE)\quad\text{(1)}$$
D’une manière analogue, en appliquant la réciproque du théorème de la droite des milieux dans le triangle $ACE$, on démontre que : $(B’G)//(CE)$.
Et par conséquent : $$(BG)//(CE)\quad\text{(2)}$$
Finalement, d’après (1) et (2), on a : $(CG)//(BE)$ et $(BG)//(CE)$.
Donc, le quadrilatère $BGCE$ a ses côtés opposés parallèles respectivement. C’est un parallélogramme. Donc ses diagonales se coupent en leurs milieux.

On en déduit que $A’$ est à la fois le milieu de $[GE]$ et de $[BC]$.
Par conséquent, $(AA’)$ est la médiane issue du sommet $A$ et elle passe par $G$.

Conclusion. $(AG)=(AA’)$ est la troisième médiane du triangle $ABC$.
Donc les trois médianes sont concourantes dans le triangle $ABC$. $\blacktriangle$


2. Position du centre de gravité dans un triangle

Théorème 2.
Dans un triangle quelconque, le centre de gravité est situé au deux tiers de chaque médiane, à partir du sommet.

Autrement dit :
Soit $ABC$ un triangle de centre de gravité $G$. Soient $A’$, $B’$ et $C’$ sont les milieux des côtés $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$ respectivement. Alors :
$$\begin{array}{|c|}\hline
AG=\dfrac{2}{3} AA’\\ \hline
BG=\dfrac{2}{3} BB’\\ \hline
CG=\dfrac{2}{3} CC’\\ \hline
\end{array}$$

Démonstration 4ème

D’après la démonstration précédente, nous avons vu que le quadrilatère $BGCE$ est un parallélogramme. Donc, en particulier $A’$ est le milieu de $[GE]$. Donc : $$GA’=\dfrac{1}{2}GE \quad\text{(3)}$$
D’autre part, on sait que $E$ est le symétrique de $A$ par rapport au point $G$. Donc, $G$ est le milieu de $[AE]$. Donc : $$AG=GE \quad\text{(4)}$$
On a alors :
$$\begin{array}{lrcl}
& GA’&=& \dfrac{1}{2}GE\\
\text{et} & AG &=& GE \\
\text{donc} & AG &=& 2\times GA’ \\
\text{donc} & GA’ &=& \dfrac{1}{3} AA’ \\
\text{donc}& AG &=& AA’- \dfrac{1}{3} AA’ \\
\text{donc}& AG &=& \dfrac{2}{3} AA’ \\
\end{array}$$

Conclusion. On obtient la première formule : $$ \boxed{\; AG=\dfrac{2}{3} AA’}$$
Les sommet jouent des rôles symétriques dans le triangle. On en déduit les deux autres :
$$\begin{array}{|c|}\hline
BG=\dfrac{2}{3} BB’\\ \hline
CG=\dfrac{2}{3} CC’\\ \hline
\end{array}$$
$\blacktriangle$