Multiplication d’un vecteur par un nombre réel

1. Multiplication d’un vecteur par un nombre réel

Définition 1.
On appelle produit du vecteur $\overrightarrow{u}$ par le nombre réel $k$, le vecteur noté $k\overrightarrow{u}$ ayant :
$\bullet$ la même direction que $\overrightarrow{u}$;
$\bullet$ le même sens si $k>0$ ; et de sens contraire si $k < 0$ ;
$\bullet$ une norme égale à $k$ fois la norme de $\overrightarrow{u}$ si $k>0$ ; et à ($-k$) fois la norme de $\overrightarrow{u}$ si $k<0$.

Produit d’un vecteur $\vec{u}$ par un nombre réel $k$.

Remarques.
1°) Nous avons l’équivalent du « théorème du “produit” nul ».
$\quad\bullet$ Si $k=0$ ou si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$, alors : $0~\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ et $k~\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$.
$\quad\bullet$ Réciproquement : Si $k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$, alors $k=0$ ou bien $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.

2°) Multiplier un vecteur par un nombre réel revient à « changer d’échelle » de coefficient $k$.
En anglais le mot « échelle » se dit « a scale ». C’est la raison pour laquelle, le coefficient $k$ s’appelle dorénavant « un scalaire ». Par conséquent, au lycée, les « scalaires » sont les nombres réels.

2. Vecteurs colinéaires

Définition 2.
On dit que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction.

Nous savons déjà que deux droites ont la même direction si et seulement si, elles sont parallèles ou confondues. On peut donc énoncer le résultat important suivant :

Théorème 1.
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si, il existe un nombre réel $k$, tel que : $\vec{v}=k\vec{u}$. Ou encore $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si, il existe un nombre réel $k’$, tel que : $\vec{u}=k’\vec{v}$.

3. parallélisme et alignement

Théorème 2.
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan. Les deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, si et seulement si, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

Les vecteurs $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires de même sens.

Propriété (5ème). Si deux droites sont parallèles et ont un point commun, alors elles sont confondues.

D’où la propriété importante suivante qui permet de démontrer que trois points sont alignés.

Théorème 3.
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan. $A$, $B$ et $C$ sont alignés, si et seulement si, deux des trois vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires.

Trois points alignés

4. Milieu d’un segment

Définition 2. (sans les vecteurs)
Soient $A$, $B$ et $I$ trois points du plan. Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ si et seulement si les deux conditions suivantes sont réalisées :
i) Les trois points $A$, $I$ et $B$ sont alignés et
ii) $AI = IB$.

Théorème 4.
Soient $A$, $B$ et $I$ trois points du plan. Alors le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ si et seulement si une des conditions équivalentes suivantes est réalisée :
$\quad$(1) $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$ ;
$\quad$(2) $\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ ;
$\quad$(2$’$) $\overrightarrow{AB}=2\,\overrightarrow{AI}$ ;
$\quad$(3) $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}= \overrightarrow{0}$ ;
$\quad$(4) $\overrightarrow{IB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ ;
$\quad$(4$’$) $\overrightarrow{AB}=2\,\overrightarrow{IB}$ ; …

5. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.

CQFD.$\blacktriangle$