Vecteurs et translations

1. Direction et sens

Définition 1.
Une droite définit une direction. On dit que deux droites $d$ et $d’$ ont la même direction ou sont de même direction, lorsque $d$ et $d’$ sont parallèles ou confondues.
En fait, une direction $d$ est l’ensemble de toutes les droites parallèles à $d$.
Par conséquent, si deux droites sont sécantes, alors elles n’ont pas la même direction.

Exemple

Soient $d$ et $d’$ deux droites parallèles et $\Delta$ une droite sécante à $d$, donc à $d’$.

Fig. 1. $d$ et $d’$ ont la même direction.
$d$ et $\Delta n’ont pas la même direction.

Les droites $d$ et $d’$ sont parallèles donc elles ont la même direction. $\Delta$ et $d$ sont sécantes, donc elles n’ont pas la même direction.

Définition 2.
Soit $d$ une droite donnée. On peut définir deux sens possibles sur cette droite. Le sens $1$, de $A$ vers $B$ et le sens $2$ : de $B$ vers $A$.

Attention : Le mot « direction » dans le langage courant se confond avec le mot « sens ».
En mathématiques, on choisit d’abord une direction (une droite) puis on choisit un des deux sens sur cette droite.

Par conséquent, si deux droites sont sécantes, elles n’ont pas la même direction. Donc, on ne peut pas parler de « même sens » ni de « sens différents » pour ces droites.


2. Translation – déplacement rectiligne

Définition 3.
Soient $A$ et $A’$ deux points donnés du plan.
La translation qui transforme $A$ et $B$, est un déplacement ou un glissement rectiligne d’un point ou d’une figure géométrique suivant la direction de la droite $(AB)$, dans le sens de $A$ vers $B$ et d’une longueur égale à $AB$.

Illustration graphique

La figure $\cal F$ se déplace d’une manière rectiligne du point $A$ au point $B$.
On constate que les points se déplacent sur des chemins parallèles, dans la même direction $(AB)$, le même sens de $A$ vers $B$, et de la même longueur égale à $AB$..

Définition 3.
Lorsqu’on fait glisser une figure $\cal F$ d’un point $A$ à un point $B$ sur une ligne droite sans la tourner, on déplace tous ses points sur des droites parallèles : dans la même direction, le même sens et de la même longueur.
On dit que la figure $\cal F’$ est l’image de la figure $\cal F$ par la translation qui transforme le point $A$ en $B$.

3. Notion de vecteur

17% des maladies infectieuses sont à transmission vectorielle et provoquent plus d’un million de décès chaque année. Les vecteurs de ces maladies sont des organismes vivants (en général des moustiques) capables de transmettre des maladies infectieuses d’un hôte $A$ (animal ou humain) à un autre $A’$.
Le paludisme est une infection parasitaire transmise par les moustiques anophèles.
La dengue est l’infection virale la plus répandue et est transmise par les moustiques du genre Aedes ou Zika.

OMS Organisation mondiale de la santé.

En mathématiques

Dans la figure du paragraphe précédent, le point $D$ est l’image du point $C$ par la translation qui transforme $A$ en $B$. De même, le point $M’$ est l’image du point $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$.

Définition 4.
Les couples formés des points et de leurs images par cette translation : $(A;B)$, $(C;D)$, $(M;M’)$,… définissent un vecteur par la donnée :
$\quad\bullet$ d’une direction : la droite $(AB)$ ;
$\quad\bullet$ d’un sens : de $A$ vers $B$ ;
$\quad\bullet$ et d’une longueur  = $AB$.

On note $\vec{u}$ ce vecteur associé à la translation et on écrit : $\boxed{\;\vec{u}=\overrightarrow{AB}\;}$
La longueur d’un vecteur $\vec{u}$ s’appelle aussi la norme du vecteur $\vec{u}$. et se note $\Vert{\vec{u}}\Vert$. On écrit : $$\boxed{\;\Vert{\vec{u}}\Vert= AB\;}$$

On revient donc à la définition de la translation.

Définition 5.
Soient $A$, $B$, $M$ et $M’$ des points du plan. On note $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$.
La translation qui transforme $A$ en $B$ s’appelle aussi la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ et se note $t_{\vec{u}}$ ou $t_{\overrightarrow{AB}}$.
On écrit :
$M’$ est l’image de $M$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ si, et seulement si :
$$\color{brown}{\boxed{\; t_{\overrightarrow{AB}}(M)=M’\Longleftrightarrow\overrightarrow{MM’} = \overrightarrow{AB}\;}}$$


4. Vecteurs égaux

Définition 6.
Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. On écrit : $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$$


Théorème 1.
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points deux à deux distincts. Les trois propositions suivantes sont équivalentes :
1°) Le point $D$ est l’image de $C$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ ;
2°) Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux ;
3°) le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Attention : $ABDC$ et non $ABCD$ : il faut faire le tour du quadrilatère, dans un sens ou dans l’autre.

Conséquence : Si on a une égalité vectorielle, on peut écrire trois autres égalités vectorielles (les deux autres s’obtiennent en changeant de sens) :

Théorème 2.
$\begin{array}{c} [ABDC~\text{est un parallélogramme}]\\
\text{(ssi)} [\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}] \\
\text{(ssi)} [\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}]\\
\end{array}$

On peut également en déduire deux autres égalités vectorielles en prenant les opposés des vecteurs précédents :
$\begin{array}{c} [ABDC~\text{est un parallélogramme}]\\
\text{(ssi)} [\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}] &[\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DC}]\\
\text{(ssi)} [\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}]&[\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DB}]\\
\end{array}$

A partir de l’une de ces quatre égalités vectorielles, on peut déduire toutes les propriétés du parallélogramme, sur les diagonales, le centre de symétrie, le parallélisme et l’égalité des longueurs des côtés opposés, vues en classe de 5ème.

5. Vecteur nul

Définition 7.
Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est nul si et seulement si $A=B$. On a alors :

Propriété 1. $$\begin{array}{rl}
&\overrightarrow{AA}=\vec{0}\\
\text{Donc :} &[\overrightarrow{AB}=\vec{0}]~\text{si, et seulement si}~[A=B]\\ \end{array}$$

Remarque

Le vecteur nul est le seul vecteur de norme égale à $0$ et qui n’a pas de direction ni de sens !


6. Vecteurs opposés

Définition 8.
Deux vecteurs sont dits opposés lorsqu’ils ont la même direction, la même norme et des sens contraires.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ sont des vecteurs opposés. On écrit alors : $$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$$


7. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.