Représentation géométrique des vecteurs


1. Placer un point dans le plan

Un point est un objet fixe dans le plan. Par exemple un point se nomme $A$ est matérialisé par une croix $\times$ ou un signe $+$ ou encore un point rond $\bullet$.

On préfèrera le $+$ pour placer un point dans le plan. Le $+$ matérialise le point d’intersection des parallèles aux axes du repère.

Un autre point, différent de $A$, ne peut pas être nommé $A$. On peut le nommer $A’$, $A_1$, $A_2$, $B$, $C$ ou $M$, mais pas $A$.

On peut placer un point dans le plan de façon arbitraire (quelconque) , ou bien un point connaissant ses coordonnées. Dans les deux cas il occupe une seule place dans le plan.

Fig. 1. Cette figure est fausse car un point $A$ est placé à deux endroits différents.

2. Un vecteur est un objet libre dans le plan

2.1. Rappel de la définition d’un vecteur

Définition. Rappel.
Soient $A$ et $B$ deux points du plan. On définit un vecteur par la donnée de trois éléments caractéristiques :
$\quad\bullet$ une direction : la droite $(AB)$ ;
$\quad\bullet$ un sens : de $A$ vers $B$ ;
$\quad\bullet$ et une longueur  = $AB$.
On note $\color{brown}{\vec{u}}$ ce vecteur et on écrit : $\color{brown}{\boxed{\;\vec{u}=\overrightarrow{AB}\;}}$
La longueur du vecteur $\vec{u}$ s’appelle aussi la norme du vecteur $\vec{u}$ et se note $\color{brown}{\Vert{\vec{u}}\Vert}$. On écrit : $$\color{brown}{\boxed{\;\Vert{\vec{u}}\Vert= AB\;}}$$

2.2. Représentation géométrique d’un vecteur

Un vecteur $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ est représenté par une flèche. Le point initial $A$ s’appelle l‘origine du vecteur. Le point final $B$ s’appelle l’extrémité du vecteur. Le nom du vecteur $\vec{u}$ est noté (ou non) au dessus de la flèche qui représente le vecteur.

Fig. 2. Le vecteur $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{EF}$, mais $\vec{v}\not=\vec{u}$

Propriété.
Un vecteur est un objet libre dans le plan. On peut le placer n’importe où dans le plan. Chacune des copies du vecteur $\vec{u}$ s’appelle un représentant du vecteur $\vec{u}$. On peut construire autant de représentants d’un vecteur $\vec{u}$ que l’on veut.
Chacun des représentants du vecteur $\vec{u}$ peut porter le même nom $\vec{u}$, mais être localisé en des points différents.

Exemple

Avec les notations de la figure 2 ci-dessus, $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{EF}$, donc tous ces vecteurs sont égaux à $\vec{u}$ :
$\quad\bullet$ $\overrightarrow{AB}$ est égal au vecteur $\vec{u}$, localisé en $A$ ;
$\quad\bullet$ $\overrightarrow{CD}$ est égal au vecteur $\vec{u}$, localisé en $C$ ;
$\quad\bullet$ et $\overrightarrow{EF}$ est égal au vecteur $\vec{u}$, localisé en $E$.


3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Parmi les vecteurs suivants, lesquels sont égaux ?