Les médianes dans un triangle

1. Définition d’une médiane

Définition 1.
Dans un triangle, on appelle médiane issue d’un sommet la droite passant par ce sommet et le milieu du côté opposé.

Constructions

Fig. 1. $A’$ milieu de $[BC]$. Donc $(AA’)$ médiane issue du sommet $A$.

2. Dans un triangle, les trois médianes sont concourantes

Définition 2.
Le centre de gravité d’un corps est le point de concentration des différentes forces qui permet au corps de se tenir en équilibre.
Cela permet de considérer, en particulier, le poids comme une force qui s’applique en un point unique $G$ qu’on appelle le centre de gravité de ce corps.

Théorème 1 et définition.
Dans un triangle quelconque, les trois médianes sont concourantes et leur point de concours est le centre de gravité du triangle.

Démonstration 4ème

  • La démonstration est laissée à titre d’exercice.
    Démonstration 4ème. Les trois médianes sont concourantes dans un triangle
    Soit $ABC$ un triangle.
    1. Construire les médianes $(BB’)$ et $(CC’)$ issues de $B$ et $C$ respectivement et appeler $G$ leur point d’intersection.
    2. Construire le point $E$ symétrique de $A$ par rapport au point $G$. La droite $(AE)$ coupe $[BC]$ en $A’$.
    3. Construire les médianes $(BB’)$ et $(CC’)$ issues de $B$ et $C$ respectivement et appeler $G$ leur point d’intersection.
    4. Construire le point $E$ symétrique de $A$ par rapport au point $G$. La droite $(AE)$ coupe $[BC]$ en $A’$.
    5. Démontrer que $(C’G)//(BE)$. On pourra utiliser la réciproque du théorème de la droite des milieux dans le triangle $ABE$.
    6. Démontrer que $(B’G)//(BC)$.
    7. En déduire la nature du quadrilatère $BGCE$.
    8. En déduire que $A’$ est le milieu de $[BC]$, puis conclure.

2. Position du centre de gravité dans un triangle

Démonstration 4ème

Théorème 2.
Dans un triangle quelconque, le centre de gravité est situé au deux tiers de chaque médiane, à partir du sommet.

Autrement dit :
Soit $ABC$ un triangle de centre de gravité $G$. Soient $A’$, $B’$ et $C’$ sont les milieux des côtés $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$ respectivement. Alors :
$$\begin{array}{|c|}\hline
AG=\dfrac{2}{3} AA’\\ \hline
BG=\dfrac{2}{3} BB’\\ \hline
CG=\dfrac{2}{3} CC’\\ \hline
\end{array}$$

  • La démonstration est laissée à titre d’exercice.
    Démonstration 4ème. Les trois médianes sont concourantes dans un triangle
    Soit $ABC$ un triangle.
    1. Construire les médianes $(BB’)$ et $(CC’)$ issues de $B$ et $C$ respectivement et appeler $G$ leur point d’intersection.
    2. Construire le point $E$ symétrique de $A$ par rapport au point $G$. La droite $(AE)$ coupe $[BC]$ en $A’$.
    3. Démontrer que le quadrilatère $BGCE$ est un parallélogramme.
    4. En déduire que $AG=2\times GA’$ puis que $AA’=3 GA$.
    5. Conclure.