Lire graphiquement l’équation réduite d’une droite

1. Points méthode

Le plan est muni d’un repère $(O;I;J)$.
Soit $d$ une droite donnée par sa représentation graphique dans le repère $(O;I;J)$.

$\bullet$ Si $d$ est une droite parallèle à l’axe des ordonnées, tous les points de la droite ont la même abscisse. Son équation réduite s’écrit sous la forme « $x=c$ », où $c$ est égal à l’abscisse de n’importe quel point $A$ de $d$. L’équation réduite de $d$ est donc : « $x=x_A$ ».

$\bullet$ Le coefficient directeur d’une droite parallèle à l’axe des abscisses est nul. Tous les points de la droite ont la même ordonnée. Donc, son équation réduite s’écrit sous la forme : « $y=0x+p$ » ou simplement $y=p$ », où $p$ est l’ordonnée de n’importe quel point $A$ de $d$. L’équation réduite de $d$ est donc : « $y=y_A$ ».

$\bullet$ L’équation réduite d’une droite oblique $d$ s’écrit sous la forme : « $y=mx+p$ ». $m$ est le coefficient directeur et $p$ l’ordonnée à l’origine.

a) Recherche de l’ordonnée à l’origine $p$
$p$ est égale à l’ordonnée du point $B$ d’intersection de $d$ avec l’axe des ordonnées.
$-$ 1er cas : le point $B$ est sur la grille. Je lis directement la valeur de $p$.
$-$ 2ème cas : le point $B$ n’est pas sur la grille. Je calcule d’abord $m$ puis j’en déduis $p$.

b) Recherche du coefficient directeur $m$.
$-$ Je repère deux points de la droite sur la grille. Je nomme $A$ le point situé à gauche et $B$ le point situé à droite. A partir de $A$, je trace un triangle rectangle en me déplaçant horizontalement, puis je remonte ou descend verticalement vers $B$. Je note les déplacements $\Delta x=$Déplacement suivant $(Ox)$ et $\Delta y=$Déplacement suivant $(Ox)$. On obtient :
$$\color{brown}{ \boxed{\; m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{Déplacement~suivant~(Oy)}{ Déplacement~suivant~(Ox)}\;}}$$
Le « sens des déplacements » donne le signe $\Delta x$ et $\Delta y$.

c) Calcul de la valeur exacte de l’ordonnée à l’origine.
Une fois on calcule $m$, on peut calculer la valeur exacte de $p$ à partir des coordonnées de n’importe quel point $A(x_A;y_A)$, en écrivant : $y_A=mx_A+p$. Ce qui donne : $$ \color{brown}{\boxed{\; p=y_A-mx_A\;}}$$

Remarque

Pour la construction d’une droite oblique, il est vivement conseillé d’écrire le coefficient directeur $m$ sous la forme fractionnaire pour visualiser le déplacement horizontal suivant l’axe des abscisses, et le déplacement vertical suivant l’axe des ordonnées.


2. Exercices résolus

Pour les quatre exercices suivants, on utilisera le graphique suivant.

Exercice 1.
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;I;J)$.
Déterminer graphiquement l’équation réduite de la droite $d_1$. Expliquer votre démarche.

Recherche graphique de l’équation réduite de la droite $d_1$.
La droite $d_1$ est parallèle à l’axe des abscisses. Tous les points de la droite ont la même ordonnée. Elle passe par le point $B(0;3)$.
Par conséquent, son équation réduite s’écrit : $$\color{brown}{d_1~:~\boxed{\; y=3\;}}$$

Exercice 2.
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;I;J)$.
Déterminer graphiquement l’équation réduite de la droite $d_2$. Expliquer votre démarche.

Recherche graphique de l’équation réduite de la droite $d_2$.
La droite $d_2$ est une droite oblique. Son équation réduite est de la forme : $$y=mx+p$$
a) Recherche de $m$.
Tout d’abord, je cherche deux points sur la grille, de coordonnées entières.
Par exemple les points $B(0;1)$ et $C(3;3)$. Je détermine les valeurs des déplacements horizontal $\Delta x$ et vertical $\Delta y$.

Ici, $\Delta x=+3$ et $\Delta y=+2$. Par conséquent :
$m=\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B}= \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{+2}{+3}$
On en déduit que : $$\color{brown}{\boxed{\;m= +\dfrac{2}{3} \;}}$$
b) Recherche de $p$.
La droite $d_2$ coupe l’axe des ordonnées au point $B(0;1)$. Par conséquent, l’ordonnée à l’origine est $$ \color{brown}{\boxed{\; p=1\;}}$$

Conclusion. L’équation réduite de la droite $d_2$ s’écrit : $$\color{brown}{d_2~:~\boxed{\; y= \dfrac{2}{3}x+1\;}}$$

Exercice 3.
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;I;J)$.
Déterminer graphiquement l’équation réduite de la droite $d_3$. Expliquer votre démarche.

Recherche graphique de l’équation réduite de la droite $d_3$.
La droite $d_1$ est parallèle à l’axe des ordonnées. Tous les points de la droite ont la même abscisse. Elle passe par le point $A(2;0)$.
Par conséquent, son équation réduite s’écrit : $$\color{brown}{d_3~:~\boxed{\; x=2\;}}$$

Exercice 4.
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;I;J)$.
Déterminer graphiquement l’équation réduite de la droite $d_4$. Expliquer votre démarche.

Recherche graphique de l’équation réduite de la droite $d_4$.
La droite $d_4$ est une droite oblique. Son équation réduite est de la forme : $$y=mx+p$$
a) Recherche de $m$.
Tout d’abord, je cherche deux points sur la grille, de coordonnées entières.
Par exemple les points $E(-3;4)$ et $F(2;1)$. Je détermine les valeurs des déplacements horizontal $\Delta x$ et vertical $\Delta y$.

Ici, $\Delta x=+5$ et $\Delta y=+2$. Par conséquent :
$m=\dfrac{y_F-y_E}{x_F-x_E}= \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{-3}{+5}$
On en déduit que : $$\color{brown}{\boxed{\;m= -\dfrac{3}{5} \;}}$$
b) Recherche de $p$.
La droite $d_2$ coupe l’axe des ordonnées au point $B(0;p)$.
Malheureusement, ici $B$ n’est pas un point de la grille. Je ne peux pas donner la valeur exacte de $p$ par lecture graphique.
Je peux en avoir une valeur approchée : $p\simeq 2,2$.

Pour trouver la valeur exacte de $p$, je dois faire un calcul en utilisant la valeur de $m$ que je viens de calculer et les coordonnées d’un point de la droite que je connais.

Par exemple : $F(2;1)$ et $m= -\dfrac{3}{5}$.
On sait que $F\in(EF)$ donc : $$\begin{array}{lrcl}
&y_F &=& mx_F+p\\
Donc & p &=&y_F-mx_F\\
& p &=& 1-\left( -\dfrac{3}{5}\right)\times 2\\
& p &=& \dfrac{5}{5} +\dfrac{6}{5}\\
& p &=& \dfrac{11}{5} \\
& p &=& 2,2\\
\end{array}$$
On garde l’écriture fractionnaire.
Par conséquent, l’ordonnée à l’origine est $$ \color{brown}{\boxed{\; p=\dfrac{11}{5}\;}}$$

Conclusion. L’équation réduite de la droite $d_4$ s’écrit : $$\color{brown}{d_4~:~\boxed{\; y= -\dfrac{3}{5}x+\dfrac{11}{5}\;}}$$