Base orthonormée. Coordonnées d’un vecteur dans un repère quelconque

  1. Base orthonormée. Coordonnées d’un vecteur dans un repère quelconque
  2. Norme d’un vecteur dans un repère orthonormé.
  3. Expression des coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ en fonction de celles de $A$ et de $B$.
  4. Produit d’un vecteur par un nombre réel. Colinéarité de deux vecteurs.
  5. Déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormée, critère de colinéarité.
  6. Application de la colinéarité à l’alignement et au parallélisme, avec les coordonnées.
    Représenter un vecteur dont on connaît les coordonnées. Lire les coordonnées d’un vecteur.
  7. Calculer les coordonnées d’une somme et d’une différence de vecteurs, d’un produit d’un vecteur par un nombre réel.
  8. Calculer la distance entre deux points. Calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
  9. Caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité de vecteurs.
  10. Résoudre des problèmes en utilisant la représentation la plus adaptée des vecteurs.
    Démonstration.
  11. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.
  1. Définition vectorielle d’une symétrie centrale.
  2. Définition vectorielle d’une translation.
  3. Définition vectorielle d’une homothétie.

1. Base de l’ensemble des vecteurs du plan

Théorème 1.
Soient $O$, $I$ et $J$ trois points du plan.
Le triplet $(O;I,J)$ définit un repère du plan si, et seulement si, les trois points $O$, $I$ et $J$ ne sont pas alignés.
Autrement dit. Si on pose : $\vec{\imath}=\overrightarrow{OI}$ et $\vec{\jmath}=\overrightarrow{OJ}$, alors le triplet $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ définit un repère du plan si, et seulement si, les deux vecteurs $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ sont non colinéaires.

Définition 1.
Soient $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ deux vecteurs quelconques du plan.
1°) Si $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ sont non colinéaires, alors $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère du plan. On dit que le couple $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$ forme une base de l’ensemble des vecteurs du plan.
2°) Si $\left\lVert\vec{\imath}\right\rVert=1$ et $ \left\lVert \vec{\jmath} \right\rVert =1$, on dit que la base est normée.
3°) Si $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ ont des directions perpendiculaires, on dit que la base est orthogonale.
4°) Si la base est normée et orthogonale, on dit que c’est une base orthonormée.

Théorème 2.
Soit $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un base des vecteurs du plan.
Alors, quel que soit le vecteur $\overrightarrow{u}$ du plan, il existe un unique couple de nombres réels $(x;y)$ tel que : $$\boxed{\;\overrightarrow{u} =x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}\;}$$ Le couple $(x;y)$ forme les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}$.
$x$ est l’abscisse et $y$ est l’ordonnée du vecteur $\overrightarrow{u}$.
On note en colonne les coordonnées d’un vecteur : $$ \boxed{\;\overrightarrow{u} \dbinom{x}{y}\;}$$

2. Explication : Écrire un vecteur $\overrightarrow{u}$ avec les coordonnées

Soit $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère quelconque du plan.
Soit $M(x;y)$ un point du plan tel que $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{u}$.
On projette le point $M$ parallèlement aux deux axes $(Ox)$ et $(Oy)$.
Le point $A$ est le projeté de $M$ sur $(Ox)$ parallèlement à $(Oy)$.
Le point $B$ est le projeté de $M$ sur $(Oy)$ parallèlement à $(Ox)$.
Le quadrilatère $OAMB$ obtenu est un parallélogramme.
Donc : $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BM}$ et $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AM}$ et : $$\boxed{\;\overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\;}$$ Or, le vecteur $\overrightarrow{OA}$ est colinéaire à $\vec{\imath}$ et le vecteur $\overrightarrow{OB}$ est colinéaire à $\vec{\jmath}$. Donc, il existe un réel $x$ et un réel $y$ tels que : $$\overrightarrow{OA}=x\vec{\imath}\quad\text{et}\quad \overrightarrow{OB}=y\vec{\jmath}$$ On obtient donc : $\overrightarrow{u}= \overrightarrow{OM} =\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}=x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}$.
Conclusion. Quel que soit le vecteur $\overrightarrow{u}$ du plan, il existe un unique couple de nombres réels $(x;y)$ tel que : $$\boxed{\;\overrightarrow{u}=x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}\;}$$

3. Lecture des coordonnées d’un vecteur dans un repère.

Imaginons une tortue nommée « Logo » qui se déplace sur la grille d’un repère, mais comme elle est intelligente, elle se déplace par ordre alphabétique; horizontalement pour donner l’abscisse puis verticalement pour aller de l’origine à l’extrémité d’un vecteur.

Elle se déplace suivant les 4 points cardinaux. Le sens du déplacement détermine le signe des coordonnées.
Horizontalement : AV = Avancer ($+$) et RE = Reculer ($-$).
Verticalement : MO = Monter ($+$) et DE = Descendre ($-$).

Exercice résolu n°1.
Par lecture graphique, déterminer les coordonnées des vecteurs suivants :
$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{GH}$, $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{KL}$.

Pour déterminer les coordonnées d’un vecteur par lecture graphique, on par de l’origine, on se déplace sur la grille à partir de l’origine du vecteur pour Avancer ($+$) ou Reculer ($-$) de $x$ puis, Monter ($+$) ou descendre ($-$) de $y$.
$x$ = déplacement horizontal.
$y$ = déplacement vertical.
Le signe = sens du déplacement.

1°) Pour le vecteur $\overrightarrow{AB}$, On avance de $5$ donc $x=5$, puis on monte de $3$, donc $y=3$. Donc : $$\boxed{\;\overrightarrow{AB} \dbinom{5}{3}\;}$$
2°) Pour le vecteur $\overrightarrow{CD}$, On avance de $5$ donc $x=5$, puis on ne monte pas, on ne descend pas, donc $y=0$. Donc : $$\boxed{\;\overrightarrow{CD} \dbinom{5}{0}\;}$$
3°) Pour le vecteur $\overrightarrow{EF}$, On recule de $4$ donc $x=-4$, puis on monte de $2$, donc $y=2$. Donc : $$\boxed{\;\overrightarrow{EF} \dbinom{-4}{2}\;}$$
4°) Pour le vecteur $\overrightarrow{GH}$, On n’avance pas, on ne recule pas, donc $x=0$, puis on monte de $2$, donc $y=2$. Donc : $$\boxed{\;\overrightarrow{GH} \dbinom{0}{2}\;}$$
5°) Pour le vecteur $\overrightarrow{IJ}$, On recule de $3$ donc $x=-3$, puis on descend de $2$, donc $y=-2$. Donc : $$\boxed{\;\overrightarrow{IJ} \dbinom{-3}{-2}\;}$$
6°) Pour le vecteur $\overrightarrow{KL}$, On avance de $3$ donc $x=3$, puis on descend de $4$, donc $y=-4$. Donc : $$\boxed{\;\overrightarrow{KL} \dbinom{3}{-4}\;}$$