Base orthonormée. Coordonnées d’un vecteur dans un repère quelconque
1. Base de l’ensemble des vecteurs du plan
Théorème 1.
Soient $O$, $I$ et $J$ trois points du plan.
Le triplet $(O;I,J)$ définit un repère du plan si, et seulement si, les trois points $O$, $I$ et $J$ ne sont pas alignés.
Autrement dit. Si on pose : $\vec{\imath}=\overrightarrow{OI}$ et $\vec{\jmath}=\overrightarrow{OJ}$, alors le triplet $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ définit un repère du plan si, et seulement si, les deux vecteurs $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ sont non colinéaires.
Définition 1.
Soient $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ deux vecteurs quelconques du plan.
1°) Si $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ sont non colinéaires, alors $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère du plan. On dit que le couple $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$ forme une base de l’ensemble des vecteurs du plan.
2°) Si $\left\lVert\vec{\imath}\right\rVert=1$ et $ \left\lVert \vec{\jmath} \right\rVert =1$, on dit que la base est normée.
3°) Si $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ ont des directions perpendiculaires, on dit que la base est orthogonale.
4°) Si la base est normée et orthogonale, on dit que c’est une base orthonormée.
Théorème 2.
Soit $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un base des vecteurs du plan.
Alors, quel que soit le vecteur $\overrightarrow{u}$ du plan, il existe un unique couple de nombres réels $(x;y)$ tel que : $$\boxed{\;\overrightarrow{u} =x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}\;}$$ Le couple $(x;y)$ forme les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}$.
$x$ est l’abscisse et $y$ est l’ordonnée du vecteur $\overrightarrow{u}$.
On note en colonne les coordonnées d’un vecteur : $$ \boxed{\;\overrightarrow{u} \dbinom{x}{y}\;}$$
2. Explication : Écrire un vecteur $\overrightarrow{u}$ avec les coordonnées

Soit $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère quelconque du plan.
Soit $M(x;y)$ un point du plan tel que $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{u}$.
On projette le point $M$ parallèlement aux deux axes $(Ox)$ et $(Oy)$.
Le point $A$ est le projeté de $M$ sur $(Ox)$ parallèlement à $(Oy)$.
Le point $B$ est le projeté de $M$ sur $(Oy)$ parallèlement à $(Ox)$.
Le quadrilatère $OAMB$ obtenu est un parallélogramme.
Donc : $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BM}$ et $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AM}$ et : $$\boxed{\;\overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\;}$$ Or, le vecteur $\overrightarrow{OA}$ est colinéaire à $\vec{\imath}$ et le vecteur $\overrightarrow{OB}$ est colinéaire à $\vec{\jmath}$. Donc, il existe un réel $x$ et un réel $y$ tels que : $$\overrightarrow{OA}=x\vec{\imath}\quad\text{et}\quad \overrightarrow{OB}=y\vec{\jmath}$$ On obtient donc : $\overrightarrow{u}= \overrightarrow{OM} =\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}=x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}$.
Conclusion. Quel que soit le vecteur $\overrightarrow{u}$ du plan, il existe un unique couple de nombres réels $(x;y)$ tel que : $$\boxed{\;\overrightarrow{u}=x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}\;}$$
3. Lecture des coordonnées d’un vecteur dans un repère.
Imaginons une tortue nommée « Logo » qui se déplace sur la grille d’un repère, mais comme elle est intelligente, elle se déplace par ordre alphabétique; horizontalement pour donner l’abscisse puis verticalement pour aller de l’origine à l’extrémité d’un vecteur.
Elle se déplace suivant les 4 points cardinaux. Le sens du déplacement détermine le signe des coordonnées.
Horizontalement : AV = Avancer ($+$) et RE = Reculer ($-$).
Verticalement : MO = Monter ($+$) et DE = Descendre ($-$).
Exercice résolu n°1.
Par lecture graphique, déterminer les coordonnées des vecteurs suivants :
$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{GH}$, $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{KL}$.

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