Équations de droites dans le plan

  1. Équations de droites dans le plan.
  2. Tracer une droite donnée par son équation réduite.
  3. Tracer une droite donnée par un point et son coefficient directeur.
  4. Lire graphiquement l’équation réduite d’une droite.
  5. Déterminer l’équation réduite d’une droite à partir des coordonnées de deux de ses points.
  6. Déterminer l’équation réduite d’une droite donnée par un point et son coefficient directeur.
  7. Équations cartésiennes d’une droite.

Dans toute la suite, le plan est muni d’un repère orthogonal $(O;I;J)$.

1. Trois types de droites

Définition 1.
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan. On trace les trois droite passant par deux de ces points. On distingue trois cas :
1°) La droite $(AC)$ est parallèle à l’axe des abscisses. $(AC)$ est une droite horizontale.
2°) La droite $(BC)$ est parallèle à l’axe des ordonnées. $(BC)$ est une droite verticale.
3°) La droite $(AB)$ n’est pas parallèle aux axes. $(AB)$ est une droite oblique.

2. Équations réduites de droites

2.1. Droite parallèle à l’axe des ordonnées

Théorème 1.
Soient $B(x_B, y_B)$ et $C(x_C, y_C)$ deux points distincts du plan.
Si la droite $(BC)$ est parallèle à l’axe des ordonnées, alors $A$ $C$ ont la même abscisse, donc $x_A=x_B=c$. Donc, pour tout point $M(x;y)$ du plan :
$$\boxed{\; M\in(BC)\;\text{(ssi)}\; x=c\;}$$
On dit que l’équation réduite de la droite $(BC)$ parallèle à l’axe des ordonnées est : $$\boxed{\; x=c \;}$$

Ici, l’équation de la droite de $(BC)//(Oy)$ est $\boxed{\;x=5\;}$

2.1. Droite parallèle à l’axe des abscisses

Théorème 2.
Soient $A(x_A, y_A)$ et $C(x_C, y_C)$ deux points distincts du plan.
Si la droite $(AC)$ est parallèle à l’axe des abscisses, alors $A$ et $C$ ont la même ordonnée, donc $y_A=y_C=p$. Donc, pour tout point $M(x;y)$ du plan :
$$\boxed{\; M\in(AC)\;\text{(ssi)}\; y=p\;}$$
On dit que l’équation réduite de la droite $(AC)$ parallèle à l’axe des abscisses est : $$\boxed{\; y=p \;}$$

Ici, l’équation réduite de $(AC)//(Ox)$ est $\boxed{\;y=2\;}$

2.1. Droite non parallèle aux axes

Théorème 3.
Soient $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ deux points distincts du plan.
La droite $(AB)$ n’est pas parallèle aux axes. Donc $x_A\not= x_B$ et $y_A\not= y_B$. Alors $(AB)$ est une droite oblique. Donc, $(AB)$ est la représentation graphique d’une fonction affine $f$. Donc, il existe deux nombres réels $m$ et $p$ tels que pour tout point $M(x;y)$ du plan :
$$\boxed{\; M\in(AB)\;\text{(ssi)}\; y=mx+p\;}$$
On dit que l’équation réduite de la droite oblique $(AB)$ est : $$\boxed{\; y=mx+p \;}$$

Ici, l’équation réduite de la droite oblique $(AB)$ est $\boxed{\;=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}\;}$

3. Coefficient directeur ; ordonnée à l’origine

Définition 2.
Soient $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ deux points distincts du plan, muni d’un repère orthogonal $(O,I,J)$.
Si la droite $(AB)$ est oblique ou parallèle à l’axe des abscisses, alors l’équation réduite de la droite oblique ou horizontale $(AB)$ s’écrit : $$\boxed{\; y=mx+p \;}$$
avec $m=0$ si, et seulement si $(AB)//(Ox)$.
$ \color{brown}{m}$ s’appelle le coefficient directeur de la droite $(AB)$ et
$ \color{brown}{p}$ s’appelle l’ordonnée à l’origine de la droite $(AB)$.
$ \color{brown}{p=f(0)}$ est aussi le terme constant de la fonction affine associée $f$.

Remarques

L’ordonnée à l’origine est l’ordonnée du point d’abscisse $0$ se note $p$ et correspond au point d’intersection de la droite $D$ avec l’axe des ordonnées.

Dans un repère orthonormé $(O;I;J)$, le nombre coefficient directeur $m$ désigne la pente ou l’inclinaison de la droite $D$ par rapport à l’axe des abscisses.

  • Pour une droite $D$ parallèle à l’axe des abscisses, le coefficient directeur $m=0$, donc $D$ est de pente nulle.
  • Une droite $D’$ parallèle à l’axe des ordonnées n’a pas de coefficient directeur. On dit qu’elle est de « pente infinie ».

4. Exercices résolus

Exercice 1.
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan de coordonnées : $A(-1;1)$, $B(2;1)$ et $C(2;7)$.
Déterminer les équations des droites $(AB)$, $(BC)$ et $(AC)$ en justifiant vos réponses.

1°) Équation de la droite $(AB)$
$A(-1;1)$ et $B(2;1)$.
$y_A= y_B=1$. Donc, les points $A$ et $B$ ont la même ordonnée $y=1$. $(AB)$ est une droite parallèle à l’axe des abscisses.
Par conséquent, l’équation réduite de la droite $(AB)$ est : $$\color{brown}{\boxed{\;y=1\;}}$$

2°) Équation de la droite $(BC)$
$B(2;1)$ et $C(2;7)$.
$x_B= x_C=2$. Donc, les points $B$ et $C$ ont la même abscisse $x=2$. $(AB)$ est une droite parallèle à l’axe des abscisses.
Par conséquent, l’équation réduite de la droite $(AB)$ est : $$ \color{brown}{ \boxed{\;x=2\;}}$$

3°) Équation de la droite $(AC)$
$A(-1;1)$ et $C(2;7)$.
$x_A\not= x_C$ et $y_A\not=y_C$. Donc, la droite $(AC)$ n’est pas parallèle aux axes. C’est une droite oblique. Son équation réduite est de la forme : $$y=mx+p$$

a) Calcul du coefficient directeur $m$.
D’après le cours, on sait que : $$\begin{array}{rl}
m=&\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}\\
=&\dfrac{7-1}{2-(-1)}=\dfrac{6}{3}=2\\
\end{array}$$

Conclusion. Le coefficient directeur de $(AC)$ est $\color{brown}{\boxed{\;m=2\;}}$.

b) Calcul de l’ordonnée à l’origine $p$.
$A(-1;1)\in (AC)$, donc $y_A=mx_A p$. Donc : $\color{brown}{\boxed{\; p=y_A-mx_A \;}}$. Donc :
$$\begin{array}{rcl}
p&=&y_A-mx_A\\
&=& 1-2\times(-1)\\
p&=&3\\
\end{array}$$
Par conséquent, on obtient : $$\color{brown}{\boxed{\;p=3\;}}$$
Conclusion. L’équation réduite de la droite oblique $(AC)$ est : $$ \color{brown}{\boxed{\; y=2x+3\;}}$$

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