Équations de droites dans le plan

Dans toute la suite, le plan est muni d’un repère orthogonal $(O;I;J)$.

1. Trois types de droites

Définition 1.
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan. On trace les trois droite passant par deux de ces points. On distingue trois cas :
1°) La droite $(AC)$ est parallèle à l’axe des abscisses. $(AC)$ est une droite horizontale.
2°) La droite $(BC)$ est parallèle à l’axe des ordonnées. $(BC)$ est une droite verticale.
3°) La droite $(AB)$ n’est pas parallèle aux axes. $(AB)$ est une droite oblique.

2. Équations réduites de droites

2.1. Droite parallèle à l’axe des ordonnées

Théorème 1.
Soient $B(x_B, y_B)$ et $C(x_C, y_C)$ deux points distincts du plan.
Si la droite $(BC)$ est parallèle à l’axe des ordonnées, alors $A$ $C$ ont la même abscisse, donc $x_A=x_B=c$. Donc, pour tout point $M(x;y)$ du plan :
$$\boxed{\; M\in(BC)\;\text{(ssi)}\; x=c\;}$$
On dit que l’équation réduite de la droite $(BC)$ parallèle à l’axe des ordonnées est : $$\boxed{\; x=c \;}$$

Ici, l’équation de la droite de $(BC)//(Oy)$ est $\boxed{\;x=5\;}$

2.1. Droite parallèle à l’axe des abscisses

Théorème 2.
Soient $A(x_A, y_A)$ et $C(x_C, y_C)$ deux points distincts du plan.
Si la droite $(AC)$ est parallèle à l’axe des abscisses, alors $A$ et $C$ ont la même ordonnée, donc $y_A=y_C=p$. Donc, pour tout point $M(x;y)$ du plan :
$$\boxed{\; M\in(AC)\;\text{(ssi)}\; y=p\;}$$
On dit que l’équation réduite de la droite $(AC)$ parallèle à l’axe des abscisses est : $$\boxed{\; y=p \;}$$

Ici, l’équation réduite de $(AC)//(Ox)$ est $\boxed{\;y=2\;}$

2.1. Droite non parallèle aux axes

Théorème 3.
Soient $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ deux points distincts du plan.
La droite $(AB)$ n’est pas parallèle aux axes. Donc $x_A\not= x_B$ et $y_A\not= y_B$. Alors $(AB)$ est une droite oblique. Donc, $(AB)$ est la représentation graphique d’une fonction affine $f$. Donc, il existe deux nombres réels $m$ et $p$ tels que pour tout point $M(x;y)$ du plan :
$$\boxed{\; M\in(AB)\;\text{(ssi)}\; y=mx+p\;}$$
On dit que l’équation réduite de la droite oblique $(AB)$ est : $$\boxed{\; y=mx+p \;}$$

Ici, l’équation réduite de la droite oblique $(AB)$ est $\boxed{\;=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}\;}$

3. Coefficient directeur ; ordonnée à l’origine

Définition 2.
Soient $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ deux points distincts du plan, muni d’un repère orthogonal $(O,I,J)$.
Si la droite $(AB)$ est oblique ou parallèle à l’axe des abscisses, alors l’équation réduite de la droite oblique ou horizontale $(AB)$ s’écrit : $$\boxed{\; y=mx+p \;}$$
avec $m=0$ si, et seulement si $(AB)//(Ox)$.
$ \color{brown}{m}$ s’appelle le coefficient directeur de la droite $(AB)$ et
$ \color{brown}{p}$ s’appelle l’ordonnée à l’origine de la droite $(AB)$.
$ \color{brown}{p=f(0)}$ est aussi le terme constant de la fonction affine associée $f$.


Remarques

L’ordonnée à l’origine est l’ordonnée du point d’abscisse $0$ se note $p$ et correspond au point d’intersection de la droite $D$ avec l’axe des ordonnées.

Dans un repère orthonormé $(O;I;J)$, le nombre coefficient directeur $m$ désigne la pente ou l’inclinaison de la droite $D$ par rapport à l’axe des abscisses.

  • Pour une droite $D$ parallèle à l’axe des abscisses, le coefficient directeur $m=0$, donc $D$ est de pente nulle.
  • Une droite $D’$ parallèle à l’axe des ordonnées n’a pas de coefficient directeur. On dit qu’elle est de « pente infinie ».

4. Exercices résolus

Exercice 1.
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan de coordonnées : $A(-1;1)$, $B(2;1)$ et $C(2;7)$.
Déterminer les équations des droites $(AB)$, $(BC)$ et $(AC)$ en justifiant vos réponses.

1°) Équation de la droite $(AB)$
$A(-1;1)$ et $B(2;1)$.
$y_A= y_B=1$. Donc, les points $A$ et $B$ ont la même ordonnée $y=1$. $(AB)$ est une droite parallèle à l’axe des abscisses.
Par conséquent, l’équation réduite de la droite $(AB)$ est : $$\color{brown}{\boxed{\;y=1\;}}$$

2°) Équation de la droite $(BC)$
$B(2;1)$ et $C(2;7)$.
$x_B= x_C=2$. Donc, les points $B$ et $C$ ont la même abscisse $x=2$. $(AB)$ est une droite parallèle à l’axe des abscisses.
Par conséquent, l’équation réduite de la droite $(AB)$ est : $$ \color{brown}{ \boxed{\;x=2\;}}$$

3°) Équation de la droite $(AC)$
$A(-1;1)$ et $C(2;7)$.
$x_A\not= x_C$ et $y_A\not=y_C$. Donc, la droite $(AC)$ n’est pas parallèle aux axes. C’est une droite oblique. Son équation réduite est de la forme : $$y=mx+p$$

a) Calcul du coefficient directeur $m$.
$A(-1;1)\in(AC)$ donc $y_A=mx_A+p$. Ce qui donne : $1=m\times (-1)+p$ (*)
De même, $C(2;7)\in(AC)$ donc $y_C=mx_C+p$. Ce qui donne : $7=m\times 2+p$ (**) .
On obtient donc deux équations à deux inconnues $m$ et $p$ comme suit :
$$\begin{array}{rcll}
-m+p &=&1&(*)\\
2m+p &=&7&(**)\\ \hline
\end{array}$$
On soustrait membre à membre les deux équations et on obtient :
(**)$-$(*) donne : $(2m+p)-(-m+p)=7-1$
donc : $2m+p+m-p=6$ ou encore $3m=6$.
Finalement, on obtient : $$\color{brown}{\boxed{\;m=2\;}}$$

b) Calcul de l’ordonnée à l’origine
On connaît maintenant $m=2$. Il suffit d’utiliser l’une des deux équations (*) ou (**) pour calculer $p$.
D’après (*), on sait que : $-m+p=1$, avec $m=2$.
Donc : $-2+p=1$. Ce qui donne : $p=1+2$
Par conséquent, on obtient : $$\color{brown}{\boxed{\;p=3\;}}$$
Conclusion. L’équation réduite de la droite oblique $(AC)$ est : $$ \color{brown}{\boxed{\; y=2x+3\;}}$$