Distance d’un point à une droite. Projeté orthogonal d’un point sur une droite

1. Distance d’un point à une droite

Définition 1.
Soit $d$ une droite et $A$ un point quelconque du plan.
Le point $H$ de la droite $d$, le plus proche de $A$ est le pied de la perpendiculaire à $d$ passant par $A$.
On appelle distance de point $A$ à la droite $d$ la longueur $AH$ égale à la plus courte distance entre $A$ et les points de $d$. On écrit : $$\color{brown}{\boxed{\;\text{dist}(A;d)=AH\;}}$$ Cas particulier : $$\color{brown}{\boxed{\;\text{dist}(A;d)=0\quad\text{(si, et seulement si)}\quad A\in d\;}}$$

Illustration

Fig. 1. $H\in d$ et $AH<AM$ pour tout point $M\in d$ et $M\not=H$.

2. Projeté orthogonal d’un point sur une droite

Définition 2.
Soit $d$ une droite et $A$ un point quelconque du plan.
Le point $H$ de $d$ le plus proche de $A$, pied de la perpendiculaire à $d$ passant par $A$ ainsi construit, s’appelle le projeté orthogonal de $A$ sur $d$.

Propriété 1.
Soit $d$ une droite et $A$ un point quelconque du plan.
$H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $d$ si, et seulement si, $$H\in d\quad\text{et}\quad (AH)\perp d$$
Cas particulier : Si $A\in d$, alors $H=A$ ; ce qui signifie que le projeté orthogonal sur $d$ d’un point $A$ de $d$, est égal au point $A$ lui-même.

Propriété 2.
Si $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur une droite $d$, alors la droite $d$ est tangente au cercle ${\mathcal C}$ de centre $A$ et de rayon $r=AH$.


3. Distance entre deux droites.

3.1. Définition

Définition 3.
Soient $d$ et $d’$ deux droites du plan.
On appelle distance entre deux droites, la plus petite distance qui sépare deux points quelconques sur les deux droites respectivement.

Avec cette définition, la distance entre deux droites sécantes $d$ et $d’$ est nulle.

En effet, si $A$ est le point d’intersection des deux droites, alors : $AA=0$, avec $A\in d$ et $A\in d’$.

D’une manière analogue, la distance entre deux droites confondues est nulle.

Nous allons donc caractériser la distance entre deux droites strictement parallèles.

Définition 4.
Soient $d$ et $d’$ deux droites strictement parallèles du plan.
Et soit $A\in d$ et $B\in d’$. Alors, on appelle distance entre les deux droites $d$ et $d’$ la distance entre le point $A$ et la droite $d’$, qui est aussi égale à la distance entre le point $B$ et la droite $d$. $$ \text{dist}(d;d’)=\text{dist}(A;d’)=\text{dist}(B;d)$$

Illustration

Fig. 2. dist$(d;d’)=AH=BK=$ dist$(d’;d)$.

4. Projeté orthogonal d’un segment sur une droite

Propriété 2.
Soit $d$ une droite et $A$ et $B$ deux points quelconques du plan.
Soit $A’$ et $B’$ les projetés orthogonaux de $A$ et $B$ sur $d$ respectivement.
Alors le projeté orthogonal du segment $[AB]$ sur la droite $d$ est le segment $[A’B’]$ (éventuellement réduit à un point). Fig.

Illustration

Fig. 3. Le projeté orthogonal d’un segment est un segment.

5. Conservation du milieu par projection orthogonale

Théorème 1. [Théorème de conservation du milieu]
Soit $d$ une droite et $A$ et $B$ deux points quelconques du plan. On note $M$ le milieu du segment $[AB]$.
Si $A’$, $B’$ et $M’$ sont les projetés orthogonaux de ces points sur $d$ respectivement, alors $M’$ est le milieu du segment $[A’B’]$.

Illustration

6. Exercices résolus

Exercice 1.
Soit ${\mathcal C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon $r$.
Soit $[EF]$ une corde du cercle ${\mathcal C}$ qui n’est pas un diamètre et $I$ le milieu de $[EF]$. La droite $d$ passant par $I$ et perpendiculaire à $(EF)$ coupe le cercle en deux points $A$ et $B$. On construit la droite $d$ passant par $B$ et parallèle à $(EF)$.
Démontrer que la droite $d$ est tangente au cercle ${\mathcal C}$ au point $B$.