Médiatrice d’un segment

  1. Qu’est-ce que la médiatrice d’un segment ?
  2. Quelles sont ses propriétés ?
  3. Quelle est la propriété caractéristique de la médiatrice ?
  4. et enfin, comment construire une médiatrice à la règle et au compas ?

1. Définition

Définition
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu.
La médiatrice d’un segment est un axe de symétrie de ce segment.

Construction de la médiatrice à la règle et l’équerre

Construction
Je construis un segment [AB] et je place le milieu I de ce segment, puis à l’aide d’une équerre, je trace la droite Delta, perpendiculaire à [AB] et passant par son milieu comme ceci.


Maintenant, quelles sont les propriétés de la médiatrice ?

2. Propriétés

Propriété 1.
Si un point M appartient à la médiatrice d’un segment [AB], alors il est équidistant, c’est-à-dire situé à égale distance, des deux extrémités de ce segment. Ce qui s’écrit :
$$Si\; M\in \Delta,\; alors\; MA=MB$$

$M$ équidistant des deux extrémités $A$ et $B$.

Réciproquement, c’est-à-dire « dans l’autre sens » :

Propriété 2.
Si un point M est équidistant des deux extrémités d’un segment $[AB]$, alors $M$ appartient à la médiatrice de ce segment. Ce qui s’écrit :
$$Si\; MA=MB,\; alors\; M\in \Delta$$

3. Propriété caractéristique de la médiatrice

En fusionnant ces deux propriétés, on obtient la propriété caractéristique de la médiatrice, c’est-à-dire, une propriété qui permet de déterminer si un point $M$ appartient ou non à la médiatrice dun segment $[AB]$.

Propriété caractéristique de la médiatrice (1ère version)
Un point M appartient à la médiatrice d’un segment $[AB]$ si et seulement si, $M$ est équidistant des deux extrémités de ce segment. Ce qui s’écrit :
$$Si\; M\in \Delta\; équivaut\; à\; MA=MB$$

Propriété caractéristique de la médiatrice (2ème version)
La médiatrice d’un segment $[AB]$ est l’ensemble formé de tous les points $M$ du plan, équidistants des deux extrémités $A$ et $B$ de ce segment. Ce qui s’écrit :
$$Si\; M\in \Delta\;\Longleftrightarrow\; à\; MA=MB$$

4. Construction de la médiatrice à la règle et au compas

Voyons maintenant comment construire une médiatrice à la règle et au compas. D’après la propriété caractéristique, il suffit de construire deux points équidistants des deux extrémités du segment.

4.1. une première méthode rapide (2 arcs de même rayon)

Pour construire la médiatrice d’un segment, on place la pointe sèche du compas en $A$, puis on construit un arc de cercle de rayon plus grand que la moitié du segment. Puis, on trace un deuxième arc de cercle avec la même ouverture.

Les deux arcs se coupent en deux points $M$ et $N$ qui sont équidistants de $A$ et de $B$.

Par conséquent, la droite $(MN)$ est la médiatrice du segment $[AB]$.

Construction de la médiatrice à la règle et au compas avec 2 arcs

b) une méthode générale

Pour construire la médiatrice d’un segment, on construit deux points $M$ et $N$ équidistants de $A$ et de $B$, mais pas nécessairement avec la même ouverture, ni de part et d’autre du segment.

Construction de la médiatrice à la règle et au compas avec 4 arcs

On prend une première ouverture du compas et on trace deux arcs de cercle à partir des deux sommets $A$ et $B$, de rayon plus grand que la moitié du segment. Les deux arcs se coupent en un point $M$ équidistant de $A$ et de $B$.

Ensuite, on recommence de l’autre côté, avec une deuxième ouverture, on obtient un deuxième point $N$ équidistant de $A$ et de $B$.

Par conséquent, la droite $(MN)$ est la médiatrice du segment $[AB]$.