Déterminer l’équation réduite d’une droite à partir des coordonnées de deux de ses points

  1. Équations de droites dans le plan.
  2. Tracer une droite donnée par son équation réduite.
  3. Tracer une droite donnée par un point et son coefficient directeur.
  4. Lire graphiquement l’équation réduite d’une droite.
  5. Déterminer l’équation réduite d’une droite à partir des coordonnées de deux de ses points.
  6. Déterminer l’équation réduite d’une droite donnée par un point et son coefficient directeur.
  7. Équations cartésiennes d’une droite.

1. Points méthode

Le plan est muni d’un repère $(O;I;J)$. Soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$.
On veut déterminer l’équation réduite de la droite $(AB)$. On distingue trois cas :

$\bullet$ Si $x_B=x_A$, la droite $(AB)$ est parallèle à l’axe des ordonnées. Tous les points de la droite ont la même abscisse. Son équation réduite s’écrit sous la forme « $x=x_A$ ».

$\bullet$ Si $y_B=y_A$, la droite $(AB)$ est parallèle à l’axe des abscisses. Tous les points de la droite ont la même ordonnée . Son équation réduite s’écrit sous la forme « $y=y_A$ ».

$\bullet$ Si $x_B\not=x_A$ et $y_B\not=y_A$, alors la droite $(AB)$ est oblique. Son équation réduite s’écrit sous la forme « $y=mx+p$ ».

Nous disposons de deux méthodes pour déterminer le coefficient directeur $m$ et l’ordonnée à l’origine $p$.

1ère méthode. On résout un système (facile) de deux équations à deux inconnues $m$ et $p$. On connaît les coordonnées des deux points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$. On écrit :
$A( x_A;y_A )\in(AB)$, donc $y_A=mx_A+p$. On obtient une première équation (*).
De même, $ B(x_B;y_B) \in(AB)$, donc $y_B=mx_B+p$. On obtient une première équation (**).
On obtient alors un système de deux équations à deux inconnues $m$ et $p$ comme suit :
$$\color{brown}{\begin{array}{rcll}
mx_A+p &=&y_A &(*)\\
mx_B+p &=&y_B&(**)\\ \hline
\end{array}}$$
On soustrait membre à membre les deux équations et on obtient :
(**)$-$(*) donne : $ (mx_B+p)-( mx_B+p)=y_B-y_A$.
Donc, on obtient : $ mx_B+\color{brown}{\not}p-mx_A-\color{brown}{\not}p= y_B-y_A$.
On factorise : par $m$ à gauche et on obtient :
$m(x_B-x_A)= (y_B-y_A)$. Or $x_A\not=x_B$ donc : $x_B-x_A\not=0$.
Ce qui donne : $$\color{brown}{\boxed{\;m=\dfrac{ y_B-y_A }{x_B-x_A}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\;}}$$

2ème méthode. On utilise directement les formules apprises en cours.
On sait que : $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ sont deux points de la droite $(AB)$.
Comme $x_B-x_A\not=0$, on a :
$$\color{brown}{
\begin{array}{|c|} \hline
m=\dfrac{ y_B-y_A }{x_B-x_A}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\\ \hline
\text{et}~p=y_A-mx_A\\ \hline
\end{array}
}$$

2. Exercices résolus

Exercice 1.
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan de coordonnées : $A(-1;1)$, $B(2;1)$ et $C(2;7)$.
Déterminer les équations des droites $(AB)$, $(BC)$ et $(AC)$ en justifiant vos réponses.

1°) Équation de la droite $(AB)$
$A(-1;1)$ et $B(2;1)$.
$y_A= y_B=1$. Donc, les points $A$ et $B$ ont la même ordonnée $y=1$. $(AB)$ est une droite parallèle à l’axe des abscisses.
Par conséquent, l’équation réduite de la droite $(AB)$ est : $$\color{brown}{\boxed{\;y=1\;}}$$

2°) Équation de la droite $(BC)$
$B(2;1)$ et $C(2;7)$.
$x_B= x_C=2$. Donc, les points $B$ et $C$ ont la même abscisse $x=2$. $(AB)$ est une droite parallèle à l’axe des abscisses.
Par conséquent, l’équation réduite de la droite $(AB)$ est : $$ \color{brown}{ \boxed{\;x=2\;}}$$

3°) Équation de la droite $(AC)$
$A(-1;1)$ et $C(2;7)$.
$x_A\not= x_C$ et $y_A\not=y_C$. Donc, la droite $(AC)$ n’est pas parallèle aux axes. C’est une droite oblique. Son équation réduite est de la forme : $$y=mx+p$$

a) Calcul du coefficient directeur $m$.
1ère méthode
$A(-1;1)\in(AC)$ donc $y_A=mx_A+p$. Ce qui donne : $1=m\times (-1)+p$ (*)
De même, $C(2;7)\in(AC)$ donc $y_C=mx_C+p$. Ce qui donne : $7=m\times 2+p$ (**) .
On obtient donc deux équations à deux inconnues $m$ et $p$ comme suit :
$$\begin{array}{rcll}
-m+p &=&1&(*)\\
2m+p &=&7&(**)\\ \hline
\end{array}$$
On soustrait membre à membre les deux équations et on obtient :
(**)$-$(*) donne : $(2m+p)-(-m+p)=7-1$
donc : $2m+p+m-p=6$ ou encore $3m=6$.
Finalement, on obtient : $$\color{brown}{\boxed{\;m=2\;}}$$

2ème méthode
On sait que $A(-1;1)\in(AC)$ et $C(2;7)\in(AC)$. Donc :
$$\begin{array}{rl}
m&=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\\
m&=\dfrac{ y_C-y_A }{x_C-x_A}\\
m&= \dfrac{7-1}{2-(-1)}\\
m&= \dfrac{6}{3}\\
m&=2\\ \end{array}$$

b) Calcul de l’ordonnée à l’origine $p$.
1ère méthode
On connaît maintenant $m=2$. Il suffit d’utiliser l’une des deux équations (*) ou (**) pour calculer $p$.
D’après (*), on sait que : $-m+p=1$, avec $m=2$.
Donc : $-2+p=1$. Ce qui donne : $p=1+2$
Par conséquent, on obtient : $$\color{brown}{\boxed{\;p=3\;}}$$

2ème méthode
\begin{array}{rl}
p&= y_A-mx_A\\
p&=1-2\times(-1)\\
p&=3\\ \end{array}

Conclusion. L’équation réduite de la droite oblique $(AC)$ est : $$\color{brown}{\boxed{\; y=2x+3\;}}$$

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