Déterminer l’équation réduite d’une droite à partir des coordonnées de deux de ses points
1. Points méthode
Le plan est muni d’un repère $(O;I;J)$. Soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$.
On veut déterminer l’équation réduite de la droite $(AB)$. On distingue trois cas :
$\bullet$ Si $x_B=x_A$, la droite $(AB)$ est parallèle à l’axe des ordonnées. Tous les points de la droite ont la même abscisse. Son équation réduite s’écrit sous la forme « $x=x_A$ ».
$\bullet$ Si $y_B=y_A$, la droite $(AB)$ est parallèle à l’axe des abscisses. Tous les points de la droite ont la même ordonnée . Son équation réduite s’écrit sous la forme « $y=y_A$ ».
$\bullet$ Si $x_B\not=x_A$ et $y_B\not=y_A$, alors la droite $(AB)$ est oblique. Son équation réduite s’écrit sous la forme « $y=mx+p$ ».
Nous disposons de deux méthodes pour déterminer le coefficient directeur $m$ et l’ordonnée à l’origine $p$.
1ère méthode. On résout un système (facile) de deux équations à deux inconnues $m$ et $p$. On connaît les coordonnées des deux points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$. On écrit :
$A( x_A;y_A )\in(AB)$, donc $y_A=mx_A+p$. On obtient une première équation (*).
De même, $ B(x_B;y_B) \in(AB)$, donc $y_B=mx_B+p$. On obtient une première équation (**).
On obtient alors un système de deux équations à deux inconnues $m$ et $p$ comme suit :
$$\color{brown}{\begin{array}{rcll}
mx_A+p &=&y_A &(*)\\
mx_B+p &=&y_B&(**)\\ \hline
\end{array}}$$
On soustrait membre à membre les deux équations et on obtient :
(**)$-$(*) donne : $ (mx_B+p)-( mx_B+p)=y_B-y_A$.
Donc, on obtient : $ mx_B+\color{brown}{\not}p-mx_A-\color{brown}{\not}p= y_B-y_A$.
On factorise : par $m$ à gauche et on obtient :
$m(x_B-x_A)= (y_B-y_A)$. Or $x_A\not=x_B$ donc : $x_B-x_A\not=0$.
Ce qui donne : $$\color{brown}{\boxed{\;m=\dfrac{ y_B-y_A }{x_B-x_A}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\;}}$$
2ème méthode. On utilise directement les formules apprises en cours.
On sait que : $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ sont deux points de la droite $(AB)$.
Comme $x_B-x_A\not=0$, on a :
$$\color{brown}{
\begin{array}{|c|} \hline
m=\dfrac{ y_B-y_A }{x_B-x_A}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\\ \hline
\text{et}~p=y_A-mx_A\\ \hline
\end{array}
}$$
2. Exercices résolus
Exercice 1.
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan de coordonnées : $A(-1;1)$, $B(2;1)$ et $C(2;7)$.
Déterminer les équations des droites $(AB)$, $(BC)$ et $(AC)$ en justifiant vos réponses.
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