Déterminer l’équation réduite d’une droite à partir des coordonnées de deux de ses points

1. Points méthode

Le plan est muni d’un repère $(O;I;J)$. Soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$.
On veut déterminer l’équation réduite de la droite $(AB)$. On distingue trois cas :

$\bullet$ Si $x_B=x_A$, la droite $(AB)$ est parallèle à l’axe des ordonnées. Tous les points de la droite ont la même abscisse. Son équation réduite s’écrit sous la forme « $x=x_A$ ».

$\bullet$ Si $y_B=y_A$, la droite $(AB)$ est parallèle à l’axe des abscisses. Tous les points de la droite ont la même ordonnée . Son équation réduite s’écrit sous la forme « $y=y_A$ ».

$\bullet$ Si $x_B\not=x_A$ et $y_B\not=y_A$, alors la droite $(AB)$ est oblique. Son équation réduite s’écrit sous la forme « $y=mx+p$ ».

Nous disposons de deux méthodes pour déterminer le coefficient directeur $m$ et l’ordonnée à l’origine $p$.

1ère méthode. On résout un système (facile) de deux équations à deux inconnues $m$ et $p$. On connaît les coordonnées des deux points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$. On écrit :
$A( x_A;y_A )\in(AB)$, donc $y_A=mx_A+p$. On obtient une première équation (*).
De même, $ B(x_B;y_B) \in(AB)$, donc $y_B=mx_B+p$. On obtient une première équation (**).
On obtient alors un système de deux équations à deux inconnues $m$ et $p$ comme suit :
$$\color{brown}{\begin{array}{rcll}
mx_A+p &=&y_A &(*)\\
mx_B+p &=&y_B&(**)\\ \hline
\end{array}}$$
On soustrait membre à membre les deux équations et on obtient :
(**)$-$(*) donne : $ (mx_B+p)-( mx_B+p)=y_B-y_A$.
Donc, on obtient : $ mx_B+\color{brown}{\not}p-mx_A-\color{brown}{\not}p= y_B-y_A$.
On factorise : par $m$ à gauche et on obtient :
$m(x_B-x_A)= (y_B-y_A)$. Or $x_A\not=x_B$ donc : $x_B-x_A\not=0$.
Ce qui donne : $$\color{brown}{\boxed{\;m=\dfrac{ y_B-y_A }{x_B-x_A}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\;}}$$

2ème méthode. On utilise directement les formules apprises en cours.
On sait que : $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ sont deux points de la droite $(AB)$.
Comme $x_B-x_A\not=0$, on a :
$$\color{brown}{
\begin{array}{|c|} \hline
m=\dfrac{ y_B-y_A }{x_B-x_A}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\\ \hline
\text{et}~p=y_A-mx_A\\ \hline
\end{array}
}$$

2. Exercices résolus

Exercice 1.
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan de coordonnées : $A(-1;1)$, $B(2;1)$ et $C(2;7)$.
Déterminer les équations des droites $(AB)$, $(BC)$ et $(AC)$ en justifiant vos réponses.

1°) Équation de la droite $(AB)$
$A(-1;1)$ et $B(2;1)$.
$y_A= y_B=1$. Donc, les points $A$ et $B$ ont la même ordonnée $y=1$. $(AB)$ est une droite parallèle à l’axe des abscisses.
Par conséquent, l’équation réduite de la droite $(AB)$ est : $$\color{brown}{\boxed{\;y=1\;}}$$

2°) Équation de la droite $(BC)$
$B(2;1)$ et $C(2;7)$.
$x_B= x_C=2$. Donc, les points $B$ et $C$ ont la même abscisse $x=2$. $(AB)$ est une droite parallèle à l’axe des abscisses.
Par conséquent, l’équation réduite de la droite $(AB)$ est : $$ \color{brown}{ \boxed{\;x=2\;}}$$

3°) Équation de la droite $(AC)$
$A(-1;1)$ et $C(2;7)$.
$x_A\not= x_C$ et $y_A\not=y_C$. Donc, la droite $(AC)$ n’est pas parallèle aux axes. C’est une droite oblique. Son équation réduite est de la forme : $$y=mx+p$$

a) Calcul du coefficient directeur $m$.
1ère méthode
$A(-1;1)\in(AC)$ donc $y_A=mx_A+p$. Ce qui donne : $1=m\times (-1)+p$ (*)
De même, $C(2;7)\in(AC)$ donc $y_C=mx_C+p$. Ce qui donne : $7=m\times 2+p$ (**) .
On obtient donc deux équations à deux inconnues $m$ et $p$ comme suit :
$$\begin{array}{rcll}
-m+p &=&1&(*)\\
2m+p &=&7&(**)\\ \hline
\end{array}$$
On soustrait membre à membre les deux équations et on obtient :
(**)$-$(*) donne : $(2m+p)-(-m+p)=7-1$
donc : $2m+p+m-p=6$ ou encore $3m=6$.
Finalement, on obtient : $$\color{brown}{\boxed{\;m=2\;}}$$

2ème méthode
On sait que $A(-1;1)\in(AC)$ et $C(2;7)\in(AC)$. Donc :
$$\begin{array}{rl}
m&=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\\
m&=\dfrac{ y_C-y_A }{x_C-x_A}\\
m&= \dfrac{7-1}{2-(-1)}\\
m&= \dfrac{6}{3}\\
m&=2\\ \end{array}$$

b) Calcul de l’ordonnée à l’origine $p$.
1ère méthode
On connaît maintenant $m=2$. Il suffit d’utiliser l’une des deux équations (*) ou (**) pour calculer $p$.
D’après (*), on sait que : $-m+p=1$, avec $m=2$.
Donc : $-2+p=1$. Ce qui donne : $p=1+2$
Par conséquent, on obtient : $$\color{brown}{\boxed{\;p=3\;}}$$

2ème méthode
\begin{array}{rl}
p&= y_A-mx_A\\
p&=1-2\times(-1)\\
p&=3\\ \end{array}

Conclusion. L’équation réduite de la droite oblique $(AC)$ est : $$\color{brown}{\boxed{\; y=2x+3\;}}$$