Les médiatrices dans un triangle sont concourantes. Cercle circonscrit au triangle

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  1. Positions relatives de trois droites dans le plan. Droites concourantes.
  2. Rappel de la propriété caractéristique de la médiatrice d’un segment
  3. Les médiatrices dans un triangle. Cercle circonscrit au triangle.
  4. Cas particulier : Cercle circonscrit au triangle rectangle.

Utilisation du logiciel de géométrie dynamique : Geogebra.

1. Positions relatives de trois droites dans le plan

Deux droites distinctes (non confondues) dans le plan, sont parallèles ou sécantes.

Trois droites distinctes (non confondues) dans le plan, peuvent se trouver dans les positions suivantes :

Trois droites parallèles
Deux droites sécantes et une parallèle
Trois droites sécantes deux à deux. Il y a trois points d’intersections
Trois droites concourantes. Elle se coupent en un point appelé le point de concours des trois droites

Définition 1.
On dit que trois droites concourantes si et seulement si elle se coupent en un unique point appelé le point de concours des trois droites

2. Rappel : propriété caractéristique de la médiatrice d’un segment

On sait que la médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu. La médiatrice d’un segment est un axe de symétrie de ce segment.

Définition 2.
Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan.
On dit qu’un point $M$ est équidistant des deux points $A$ et $B$ si et seulement si le point $M$ est situé à égale distance de $A$ et de $B$.
Autrement dit : $$MA=MB$$

Propriété caractéristique de la médiatrice (1ère version)
Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan.
Un point $M$ appartient à la médiatrice d’un segment $[AB]$, si et seulement si, $M$ est équidistant des deux extrémités de ce segment. Ce qui s’écrit : $$M\in \Delta\; équivaut\; à\; MA=MB$$

Propriété caractéristique de la médiatrice (2ème version)
La médiatrice d’un segment $[AB]$ est la droite formée de tous les points $M$ du plan, équidistants des deux extrémités $A$ et $B$ de ce segment. Ce qui s’écrit :
$$M\in \Delta\;\Longleftrightarrow\; à\; MA=MB$$

3. Les médiatrices dans un triangle. Cercle circonscrit.

Activité

  1. Construire un triangle quelconque $ABC$ à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique (Geogebra).
  2. Construire les médiatrices des trois côtés du triangle $ABC$.
  3. Les trois médiatrices se coupent en un point unique O. Émettre une conjecture sur la position relative des trois médiatrices dans un triangle.
  4. Afficher et comparer les longueurs $OA$, $OB$ et $OC$.
  5. Que peut-on en déduire.

Construction

Les médiatrices des trois côtés du triangle sont concourantes en un point $O$, centre du cercle circonscrit au triangle.
  1. Soit $ABC$ un triangle quelconque.
  2. On construit les médiatrices des trois côtés du triangle $ABC$.
  3. On constate bien que les trois médiatrices se coupent en un point unique $O$. On peut donc émettre la conjecture suivante sur la position relative des trois médiatrices dans un triangle.
    « Dans un triangle quelconque, il semble que les médiatrices des trois côtés sont concourantes en un point $O$. »
  4. On constate également que $OA=OB=OC$.
  5. On peut en déduire une deuxième conjecture : « Dans un triangle quelconque, il semble que les trois sommets $A$, $B$ et $C$ sont équidistants de $O$ ». Donc les trois sommets du triangle appartiendraient à un même cercle de centre $O$, qu’on appelle le cercle circonscrit au triangle $ABC$.

Propriété. Les médiatrices dans un triangle sont concourantes. Cercle circonscrit au triangle

Théorème 1.
Dans un triangle quelconque, les médiatrices des trois côtés sont concourantes. Leur point de concours est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Démonstration.
Soit $D_1$ et $D_2$ les mediatrices des deux côtés (consécutifs !) $[AB]$ et $[AC]$. Elles se coupent en un point $O$.

$O\in D_1$, médiatrice de $[AB]$. Donc $O$ est équidistant de $A$ et $B$. D’où : $$OA=OB\qquad{(1)}$$
$O\in D_2$, médiatrice de $[AC]$. Donc $O$ est équidistant de $A$ et $C$. D’où : $$OA=OC\qquad{(2)}$$
D’après $(1)$ et $(2)$, on peut affirmer que : $$OB=OC\qquad{(3)}$$
Ce qui montre que $O$ est équidistant de $B$ et $C$. Et par suite : $$O\in D_3$$
Conclusion. Les médiatrices des trois côtés sont (bien) concourantes en $O$.

D’autre part, d’après $(1)$ et $(2)$, on peut aussi affirmer que : $$OA=OB=OC\qquad{(4)}$$
Donc, si on pose $r=OA=OB=OC$, les trois sommets du triangle $ABC$ appartiendraient bien à un même cercle de centre $O$ et de rayon $r$, qu’on appelle le cercle circonscrit au triangle $ABC$.

Définition 3.
Dans un triangle quelconque, on appelle cercle circonscrit au triangle, le plus petit cercle qui contient la totalité du triangle. C’est donc le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.

4. Cercle circonscrit au triangle rectangle.

Regardons maintenant comment est positionné le centre du cercle circonscrit, suivant la nature du triangle $ABC$. Utilisons Géogebra.

  1. Dans la figure précédente, les trois angles du triangle $ABC$ sont aigus. Le centre du cercle circonscrit est situé à l’intérieur du triangle.
  2. On peut déplacer le point $B$ de telle sorte que l’angle $\hat C$ soit obtus. Alors le centre du cercle circonscrit est situé à l’extérieur du triangle du côté opposé à l’angle $\hat C$.
  3. Si maintenant, on déplace le point $B$ de telle sorte que les trois points $A$, $O$ et $B$ soient alignés. Alors le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ et le centre du cercle circonscrit est situé au milieu de l’hypoténuse $[AB]$.

Voir page Cercle circonscrit au triangle rectangle

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