Apprenez les maths par compétences. Cours, exercices évolutifs résolus et fiches pratiques de mathématiques en Seconde générale.

  1. NOMBRES ET CALCULS
  2. MANIPULER LES NOMBRES RÉELS
  3. LES FONCTIONS NUMÉRIQUES
  4. VECTEURS ET GÉOMÉTRIE
  5. PROBABILITÉS ET STATISTIQUES
  6. ALGORITHMIQUE & PROGRAMMATION

Ressources pédagogiques

Mathématiques en Seconde générale. Rentrée 2025

1. NOMBRES ET CALCULS

1.1. Maîtriser les automatismes acquis au Collège

Quels sont les automatismes à développer ? Quelle stratégie d’apprentissage peut être mise en
œuvre ? Comment réguler les choix opérés ? L’objectif de rappeler ces automatismes est de pouvoir les mobiliser à immédiatement dans le cadre de la résolution de problèmes.

  1. Comparaisons des fractions simples. Quotient approché ;
  2. Effectuer des opérations sur les fractions ;
  3. Calculs avec les puissances de 10 ;
  4. Effectuer des calculs avec les puissances d’un nombre relatif ;
  5. Passer d’une écriture d’un nombre à une autre (décimale, fractionnaire, scientifique) à terminer ;
  6. Estimer un ordre de grandeur ;
  7. Effectuer des conversions d’unités.

  1. Découverte de la racine carrée d’un nombre réel positif
  2. Définition et propriétés de la racine carrée
  3. Comment simplifier ou réduire une racine carrée ?
  4. Comment calculer une expression avec des racines carrées ?
  5. Comment réduire une somme ou un produit avec les racines carrées ?
  6. Résolution d’équations de la forme $x^2=a$
  7. Applications des identités remarquables aux racines carrées.
  8. Rendre rationnel un dénominateur.
    Applications en géométrie
  9. Calcul de la diagonale du carrée en fonction de la longueur de son côté
  10. Calcul de la hauteur d’un triangle équilatéral en fonction de la longueur de son côté
  1. Calcul littéral. Expressions algébriques ;
  2. La propriété de distributivité.
  3. Reconnaitre une forme factorisée et une forme développée ou développée réduite.
  4. Les identités remarquables.
  5. Développer et réduire une expression algébrique simple.
  6. Développer et réduire une expression algébrique avec les identités remarquables.
  7. Factoriser une expression algébrique simple.
  8. Factoriser une expression algébrique avec les identités remarquables.
  9. Applications des identités remarquables aux racines carrées.
  10. Rendre rationnel un dénominateur.
  1. Population de référence
  2. Appliquer, calculer un pourcentage
  3. Appliquer, calculer une proportion
  4. Évolution d’une grandeur exprimée en pourcentage
  5. Taux d’évolution et coefficient multiplicateur
  6. Calculer, appliquer une proportion
  7. Exprimer une proportion ou une fréquence de différentes manières
  8. Calculer un effectif connaissant une proportion
  9. Comparer deux effectifs et comparer deux proportions
  10. Réunion, intersection et proportions
  11. Présentation de proportions dans un tableau croisé
  12. Sous-populations disjointes
  13. Sous-populations contraires
  14. Proportions échelonnées. Calcul d’une proportion de proportions
  1. Calculer un taux d’évolution et l’exprimer en pourcentage
  2. Coefficient multiplicateur et taux d’évolution.
    Passer d’une formule additive («augmenter de 5%» ou « diminuer de 5% ») à une formule multiplicative (« multiplier par 1,05» ou « multiplier par 0,95 »)
  3. Appliquer un taux d’évolution pour calculer une valeur finale ou une valeur initiale
  4. Calculer et interpréter un indice de base 100
  5. Calculer un indice. Calculer le taux d’évolution entre deux valeurs
  6. Calculer le taux d’évolution équivalent à deux évolutions successives
  7. Calculer le taux d’évolution équivalent à plusieurs évolutions successives
  8. Exercices sur les évolutions successives
  9. Calculer un taux d’évolution réciproque
  10. Exercices résolus sur les évolutions réciproques
  1. Résolution d’équations du 1er degré
  2. Résolution d’équations-produits
  3. Théorème du produit nul
  4. Résolution d’équations de la forme $x^2= a$
  5. Résolution d’équations-quotients. Valeurs interdites
  6. Mise en équation d’un problème.
  1. Propriétés des inégalités dans $\R$
  2. Résoudre une inéquation du premier degré
  3. Étude du signe de l’expression du premier degré $ax+b$
  4. Déterminer le signe d’une expression factorisée du second degré
  5. Isoler une variable dans une égalité ou une inégalité
  6. Effectuer une application numérique d’une formule

  1. Équations de droites dans le plan.
  2. Tracer une droite donnée par son équation réduite.
  3. Tracer une droite donnée par un point et son coefficient directeur.
  4. Lire graphiquement l’équation réduite d’une droite.
  5. Déterminer l’équation réduite d’une droite à partir des coordonnées de deux de ses points.
  6. Déterminer l’équation réduite d’une droite donnée par un point et son coefficient directeur.
  7. Équations cartésiennes d’une droite.
  1. Lire un graphique, un histogramme, un diagramme en barres ou circulaire, un diagramme en boîte ou toute autre représentation (repérer l’origine du repère, les unités de graduations ou les échelles…) ;
  2. Passer du graphique aux données et vice-versa

1.2. Arithmétique

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2. MANIPULER LES NOMBRES RÉELS

Les ensembles de nombres

Vous avez étudié différents types de nombres au Collège. Nous allons introduire des ensembles de nombres suivant leurs types. L’ensemble des nombres entiers naturels est noté $\N$, des nombres entiers relatifs est noté $\Z$, nombres décimaux relatifs est noté $\D$, des nombres rationnels (quotient de deux entiers) est noté $\Q$ et l’ensemble de tous les nombres réels comme abscisses des points d’une droite graduée est noté $\R$.

Les objectifs

  • approfondir la connaissance des divers types et ensembles de nombres ;
  • développer la pratique du calcul numérique ou algébrique ;
  • travailler sur les inégalités pour résoudre des inéquations ;
  • résoudre des problèmes modélisés par des équations ou inéquations se ramenant au premier degré.
  1. Ensemble $\N$ des nombres entiers naturels et ensemble $\Z$ des nombres des entiers relatifs.
  2. Ensemble $\D$ des nombres décimaux relatifs.
  3. Ensemble $\Q$ des nombres rationnels. Nombres irrationnels.
  4. Le nombre rationnel $\dfrac{1}{3}$ n’est pas décimal.
  5. Exemples fournis par la géométrie, par exemple $2$ et $\pi$.
  6. Ensemble $\R$ des nombres réels, droite numérique.
  7. Le nombre réel $\sqrt{2}$ est irrationnel.
  1. Comparaison de deux nombres réels.
  2. Intervalles de $\R$. Notations $+\infty$ et $+\infty$.
  3. Encadrement décimal d’un nombre réel à $10^{-n}$ près.
  4. Représentation de l’intervalle $[a – r , a+r ]$ puis par la condition $|x-a|\leqslant r$.
  1. Valeur absolue d’un nombre réel. Notation $|a|$.
  2. Distance entre deux nombres réels. Résolution d’équation du type $\abs{x-a}=r$.
  3. Représentation de l’intervalle $[a – r , a+r ]$ puis par la condition $|x-a|\leqslant r$.
  4. Encadrement décimal d’un nombre réel à $10^{-n}$ près.
  1. Découverte de la racine carrée d’un nombre réel positif
  2. Définition et propriétés de la racine carrée
  3. Comment simplifier ou réduire une racine carrée ?
  4. Comment calculer une expression avec des racines carrées ?
  5. Comment réduire une somme ou un produit avec les racines carrées ?
  6. Résolution d’équations de la forme $x^2=a$
  7. Applications des identités remarquables aux racines carrées.
  8. Rendre rationnel un dénominateur.
    Applications en géométrie
  9. Calcul de la diagonale du carrée en fonction de la longueur de son côté
  10. Calcul de la hauteur d’un triangle équilatéral en fonction de la longueur de son côté
  1. Calcul littéral. Expressions algébriques ;
  2. Développer, réduire et factoriser une expression algébrique simple.
  3. Les identités remarquables.
  4. Applications des identités remarquables aux racines carrées.
  5. Rendre rationnel un dénominateur
  1. Résolution d’équations du 1er degré
  2. Résolution d’équations-produits
  3. Théorème du produit nul
  4. Résolution d’équations de la forme $x^2= a$
  5. Résolution d’équations-quotients. Valeurs interdites
  6. Mise en équation d’un problème.
  1. Propriétés des inégalités dans $\R$
  2. Résoudre une inéquation du premier degré
  3. Étude du signe de l’expression du premier degré $ax+b$
  4. Déterminer le signe d’une expression factorisée du second degré
  5. Isoler une variable dans une égalité ou une inégalité
  6. Effectuer une application numérique d’une formule

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3. LES FONCTIONS NUMÉRIQUES

Vous avez étudié au cycle 4, les fonctions affines et linéaires qui sont représentées par des droites dans le plan. Nous allons généraliser cette notion de plusieurs manières.

  1. Fonctions numériques de la variable réelle. Ensemble de définition.
  2. Repérage d’un point dans le plan.
  3. Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.
  4. Calculer des images ou des antécédents à partir d’une expression d’une fonction.
  5. Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs. (nouvel onglet)
  6. Déterminer graphiquement des images et des antécédents.
  7. Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique.
  1. Sens de variation d’une fonction numérique de la variable réelle.
  2. Déterminer graphiquement le sens de variations d’une fonction.
  3. Tableau de variations d’une fonction.
  4. Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$.
  5. Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.
  6. Déterminer graphiquement le signe d’une fonction et dresser son tableau de signes.
  1. Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$
  2. .Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.
  3. Résoudre une équation ou une inéquation du type $f(x)=k$, $f(x)<k$, en choisissant une méthode adaptée : graphique, algébrique, logicielle.
  4. Modéliser par des fonctions des situations issues des mathématiques, des autres disciplines.
  5. Résoudre une équation, une inéquation produit ou quotient, à l’aide d’un tableau de signes.
  6. Résoudre, graphiquement ou à l’aide d’un outil numérique,une équation ou inéquation du type $f(x)=g(x)$, $f(x)<g(x)$.
  7. Déterminer graphiquement le signe d’une fonction ou son tableau de variations ;
  1. Fonctions affines. Fonctions linéaires. Définition et courbe représentative. Sens de variations. Propriétés.
  2. Fonction carrée. Définition et courbe représentative. Sens de variations. Propriétés.
  3. Fonction cube. Définition et courbe représentative. Sens de variations. Propriétés.
  4. Fonction inverse. Définition et courbe représentative. Sens de variations. Propriétés.
  5. Fonction racine-carrée. Définition et courbe représentative. Sens de variations. Propriétés.
    Capacités attendues
  6. Pour deux nombres $a$ et $b$ donnés et une fonction de référence $f$, comparer $f(a)$ et $f(b)$ numériquement ou graphiquement.
  7. Pour une fonction de référence $f$, résoudre graphiquement ou algébriquement une équation ou une inéquation du type $f(x)=k$ ou $f(x)<k$.
  8. Étudier la position relative des courbes d’équation $y=x$, $y=x^2$, $y=x^3$, pour $x\geqslant0$.

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4. VECTEURS ET GÉOMÉTRIE

Tout ce que vous avez appris en géométrie au Collège est exigible en Seconde. Vous allez étudier une nouvelle notion, les vecteurs, qui constitue un outil important pour la géométrie au programme de Mathématiques en Seconde générale.

  1. Repérage d’un point dans le plan. Coordonnées cartésiennes
  2. Coordonnées du milieu d’un segment dans le plan
  3. Distance entre deux points du plan. Longueur d’un segment. Alignement de trois points
  4. Distance entre deux points du plan. Nature d’un triangle
  5. Vecteurs et coordonnées dans le plan. Base de l’ensemble des vecteurs du plan

  1. Équations de droites dans le plan. Équations réduites
  2. Tracer une droite donnée connaissant son équation réduite.
  3. Tracer une droite donnée par un point et son coefficient directeur.
  4. Lire graphiquement l’équation réduite d’une droite.
  5. Déterminer l’équation réduite d’une droite à partir des coordonnées de deux de ses points.
  6. Déterminer l’équation réduite d’une droite donnée par un point et son coefficient directeur.
  7. Équations cartésiennes d’une droite.
  1. Droites remarquables dans le triangle
    1. Médiatrice d’un segment
    2. Les médiatrices dans un triangle sont concourantes. Cercle circonscrit au triangle
    3. Les hauteurs dans un triangle
    4. Démonstration 4ème. Les trois hauteurs sont concourantes dans un triangle
    5. Les médianes dans un triangle
    6. Démonstration 4ème. Dans un triangle les médianes sont concourantes
    7. Démonstration 4ème. Position du centre de gravité d’un triangle
    8. Bissectrice d’un angle
    9. Les bissectrices dans un triangle sont concourantes. Cercle inscrits dans le triangle
  2. Droites

  1. Notion de vecteur dans le plan. Complet.
  2. Vecteur $\overrightarrow{MM’}$ associé à la translation qui transforme $M$ en $M’$. Direction, sens et norme.
  3. Représentation géométrique des vecteurs.
  4. Égalité de deux vecteurs. Notation $\vec{u}$. Vecteur nul $\vec{0}$. Vecteurs opposés.
  5. Somme de deux vecteurs. Enchaînement de deux translations. Relation de Chasles.
  6. Règle du parallélogramme. Différence de deux vecteurs
  7. Construction géométrique de la somme et de la différence de deux vecteurs
  8. Multiplication d’un vecteur par un nombre réel. Colinéarité de deux vecteurs.
  9. Colinéarité de vecteurs. Alignement de points et parallélisme de droites.
  1. Base orthonormée. Coordonnées d’un vecteur dans un repère quelconque
  2. Norme d’un vecteur dans un repère orthonormé.
  3. Expression des coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ en fonction de celles de $A$ et de $B$.
  4. Produit d’un vecteur par un nombre réel. Colinéarité de deux vecteurs.
  5. Repérage d’un point dans le plan. Coordonnées cartésiennes
  6. Coordonnées du milieu d’un segment dans le plan
  7. Distance entre deux points du plan. Longueur d’un segment. Alignement de trois points
  8. Vecteurs et coordonnées dans le plan. Base de l’ensemble des vecteurs du plan
  9. Distance entre deux points du plan. Nature d’un triangle
  10. Déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormée, critère de colinéarité.
  11. Application de la colinéarité à l’alignement et au parallélisme, avec les coordonnées.
  12. Représenter un vecteur dont on connaît les coordonnées. Lire les coordonnées d’un vecteur.
  13. Calculer les coordonnées d’une somme et d’une différence de vecteurs, d’un produit d’un vecteur par un nombre réel.
  14. Caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité de vecteurs.
  15. Résoudre des problèmes en utilisant la représentation la plus adaptée des vecteurs.
    Démonstration.
  16. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.
  1. Repérage d’un point dans le plan. Coordonnées cartésiennes
  2. Coordonnées du milieu d’un segment dans le plan
  3. Distance entre deux points du plan. Longueur d’un segment. Alignement de trois points
  4. Vecteurs et coordonnées dans le plan. Base de l’ensemble des vecteurs du plan
  5. Distance entre deux points du plan. Nature d’un triangle
  1. Définition vectorielle d’une symétrie centrale.
  2. Définition vectorielle d’une translation.
  3. Définition vectorielle d’une homothétie.
  1. Projeté orthogonal d’un point sur une droite dans le plan.
  2. Résoudre des problèmes de géométrie plane sur des figures simples ou complexes (triangles, quadrilatères, cercles).
  3. Calculer des longueurs, des angles, des aires et des volumes.
  4. Traiter de problèmes d’optimisation.
  5. Le projeté orthogonal du point M sur une droite Δ est le point de la droite Δ le plus proche du point M.
  6. Relation trigonométrique $\cos^2(\alpha) + sin^2(\alpha) = 1$ dans un triangle rectangle.
    Approfondissement
  7. Démontrer que les hauteurs d’un triangle sont concourantes.
  8. Expression de l’aire d’un triangle : $\dfrac{1}{2}ab \sin\hat C$.
  9. Formule d’Al-Kashi.
  10. Le point de concours des médiatrices est le centre du cercle circonscrit.
  1. Équations cartésienne de droites dans le plan. Équations réduites
  2. Vecteur directeur d’une droite.
  3. Déterminer l’équation réduite d’une droite à partir d’un point et un vecteur directeur.
  4. Déterminer la pente ou un vecteur directeur d’une droite donnée par une équation ou une représentation graphique.
  5. Dire si trois points sont alignés ou non
  6. Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes connaissant deux points
  7. Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues, déterminer le point d’intersection de deux droites sécantes.

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5. PROBABILITÉS ET STATISTIQUES

A. Probabilités

Au collège, vous avez travaillé sur les notions élémentaires de probabilité : expérience
aléatoire, issue, événement, probabilité. En classe de seconde, on introduit la notion de loi (ou distribution) de probabilité dans le cas fini en s’appuyant sur le langage des ensembles et on précise les premiers éléments de calcul des probabilités.

Probabilités. Expérience aléatoire. Issues. Événements
Des statistiques aux probabilités. Loi des grands nombres. Loi de probabilité
Annexe : Simulation de lancers d’un dé équilibré. Procédure sur un tableur du professeur C. Lainé.
Calcul des probabilités. Situation d’équiprobabilité
Calcul de la probabilité d’un événement contraire
Intersection et réunion d’événements. Événements incompatibles
Arbres de dénombrement et arbres pondérés de probabilités

  1. Qu’est-ce qu’un échantillon ?
  2. Intervalle de fluctuation des fréquences
  3. Estimation d’une proportion
  4. Simulation

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B. Statistiques

Vous avez déjà étudié au cycle 4, les notions d’effectifs, de fréquences, de proportions, de pourcentages, de coefficient de proportionnalité, de taux d’évolution et de coefficient multiplicateur. L’objectif du programme de Seconde est de consolider et de prolonger ce travail par l’étude de situations multiplicatives : proportion de proportion, évolutions successives et évolutions réciproques. Les élèves doivent distinguer si un pourcentage exprime une proportion ou une évolution.

En statistique descriptive, les élèves ont étudié moyenne, médiane et étendue. On introduit
la notion de moyenne pondérée et deux indicateurs de dispersion : écart interquartile et écart-type.

  1. Vocabulaire des statistiques. Population. Caractères. Effectifs.
  2. Tableaux de données. Effectifs. Fréquences.
  3. Représentations graphique d’une série statistique.
    Nuage de points
    Diagramme en barres
    Histogramme.
    Diagramme circulaire
    Diagramme semi-circulaire
    Diagramme en boîte
  4. Fréquences cumulées croissantes. Fréquences cumulées décroissantes
  5. Passer du graphique aux données et vice-versa
  6. Moyenne arithmétique. Moyenne pondérée d’une série statistique
  7. Médiane et quartiles d’une série statistique. Diagramme en boîte.
  8. Calcul de la médiane le polygone des les effectifs cumulés croissants ou des fréquences cumulées croissantes
  9. Calcul de la médiane à l’aide du théorème de Thalès
  10. Diagramme en boîte.
  1. Population de référence
  2. Calculer, appliquer une proportion
  3. Exprimer une proportion ou une fréquence de différentes manières
  4. Calculer un effectif connaissant une proportion
  5. Comparer deux effectifs et comparer deux proportions
  6. Réunion, intersection et proportions
  7. Présentation de proportions dans un tableau croisé
  8. Sous-populations disjointes
  9. Sous-populations contraires
  10. Proportions échelonnées. Calcul d’une proportion de proportions
  1. Calculer un taux d’évolution et l’exprimer en pourcentage
  2. Coefficient multiplicateur et taux d’évolution.
    Passer d’une formule additive («augmenter de 5%» ou « diminuer de 5% ») à une formule multiplicative (« multiplier par 1,05» ou « multiplier par 0,95 »)
  3. Appliquer un taux d’évolution pour calculer une valeur finale ou une valeur initiale
  4. Calculer et interpréter un indice de base 100
  5. Calculer un indice. Calculer le taux d’évolution entre deux valeurs
  6. Calculer le taux d’évolution équivalent à deux évolutions successives
  7. Calculer le taux d’évolution équivalent à plusieurs évolutions successives
  8. Exercices sur les évolutions successives
  9. Calculer un taux d’évolution réciproque
  10. Exercices résolus sur les évolutions réciproques
  1. a) Passer des données statistiques à une représentation graphique
    b) Passer d’une représentation graphique aux données statistiques
  2. Représentations graphiques d’une série statistique.
    Nuage de points
    Diagramme en barres
    Histogramme.
    Diagramme circulaire
    Diagramme semi-circulaire
    Diagramme en boîtes.
  3. Utilisation d’un tableur
  4. Utilisation d’une calculatrice
  1. Qu’est-ce qu’un échantillon et qu’est-ce qu’un échantillon représentatif ?
  2. Intervalle de fluctuation des fréquences
  3. Estimation d’une proportion au seuil de 95%
  4. Simulation d’échantillon. Utilisation d’un tableur.
    Procédure sur un tableur du professeur C. Lainé.

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6. ALGORITHMIQUE & PROGRAMMATION

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