Tableaux de données. Effectifs. Fréquences

1. Tableaux de données ou tableau des effectifs

Définition 1.
Un tableau de données statistiques contient plusieurs colonnes. Valeur, effectif, effectif cumulé, fréquence, fréquence relative, fréquence relative cumulée. Chaque ligne correspond à une valeur ou une modalité. La dernière ligne et dernière colonne sont en général réservée au totaux de chaque colonne ou chaque ligne. Ce sont ce qu’on appelle les valeurs marginales.

Exemple

Voici un tableau extrait directement du site de l’INSEE (Institut national de la statistique et des études économiques) et qui donne l’évolution de la population française de 1946 à 2020.pdf (cliquez ici fichier xlsx). Pour chaque année en 1ère colonne, on lit dans les autres colonnes La population au 1er janvier, Les naissances, les décès, les excédents (accroissement), solde migratoire évalué, ajustement, variations totales et population moyenne.

2. Effectifs et fréquences

Définitions 2.
Dans un tableau de données, on note l’ensemble des $k$ modalités (les valeurs) prises par le caractère étudié : $$\begin{array}{|l|5*{|c|}}\hline \text{Valeurs }~x_i &x_1&x_2&x_3&\cdots&x_k\\ \hline \end{array}$$
L’effectif $n_k$ de la valeur $x_k$ est le nombre d’éléments de la population satisfaisant cette valeur du caractère. $n_k$ s’appelle l’effectif partiel de la valeur $x_k$.
Il est clair que l’effectif total de la population est égal à la somme des effectifs partiels. $$\boxed{\;\;N=n_1+n_2+n_3+\cdots+n_k\;\;}$$

Définitions 3.
La fréquence $f_k$ de la valeur $x_k$ est égal au quotient de l’effectif partiel de la valeur $x_k$ par l’effectif total.
$$\boxed{\;\;f_k=\dfrac{n_k}{N}=\dfrac{\text{Effectif partiel}}{\text{Effectif total}}\;\;}$$
Les fréquence peuvent s’exprimer en pourcentage : $$\boxed{\phantom{\dfrac{n}{N}} f_k=p_k\%\;\;}~~\text{avec}~~\boxed{\;\;p_k=\dfrac{n_k}{N}\times 100\;\;}$$

Propriétés 1.
1°) Une fréquence peut s’écrire de trois manières différentes :
$\quad-$ un nombre fractionnaire compris entre $0$ et $1$ ;
$\quad-$ un nombre décimal (arrondi) compris entre $0$ et $1$ ;
$\quad-$ un pourcentage compris entre $0$ et $100\%$ ;
2°) Pour tout indice $i$ allant de $1$ à $k$, la fréquence $f_k$ est un nombre compris entre $0$ et $1$. $$\boxed{\;\;0\leqslant f_k\leqslant 1\;\;}$$
3°) La somme des fréquences toutes les modalités d’une série statistique est égale à $1$, c’est-à-dire $100\%$ en pourcentage. $$\boxed{\;\;f_1+f_2+f_3+\cdots+f_k=1\;\;}$$

3. Tableau des effectifs

On peut donc résumer la situation dans un tableau des effectifs et des fréquences comme suit : $$\begin{array}{|l|5*{|c|}}\hline \text{Valeurs }~x_i &x_1&x_2&x_3&\cdots&x_k&\text{Total}\\ \hline
\text{Fréquences }~f_i &f_1&f_2&f_3&\cdots&f_k&1\\ \hline
\text{Fréquences en $\%$ } &p_1&p_2&p_3&\cdots&p_k&100\\ \hline \end{array}$$

4. Exemple

Exercice n°1.
Voici la liste des notes des 35 élèves de 2deA au dernier contrôle de mathématiques:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
14&12& 8& 8&16&10& 9\\ \hline
11&18&14&12&16&11& 8\\ \hline
10&11&14&10& 6& 8&10\\ \hline
10&12&11&10&14&9 &10\\ \hline
10&10&12&14&14& 6&10\\ \hline \end{array}$$
1°) Organiser les valeurs de cette série statistique et dresser le tableau des effectifs et des fréquences.
2°) Calculer les fréquences arrondies au centième, puis les fréquences en pourcentages.
3°) Compléter le tableau des effectifs et des fréquences en pourcentages.

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