Effectifs cumulés croissants. Fréquences cumulées décroissantes

1. Effectifs cumulés croissants.

Définition 1.
On considère une série statistique avec un caractère quantitatif, prenant $k$ modalités $x_1$ ; $x_2$ ; $x_3$ ;$\cdots$ ; $x_k$, rangées dans l’ordre croissant. $$x_1<x_2<x_3<\cdots<x_k$$
On appelle effectifs cumulés croissants (ECC), les effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à chaque valeur de la série.
D’une manière analogue, on définit les effectifs cumulés décroissants (ECD).

On obtient le tableau des effectifs et des effectifs cumulés croissants suivant :
$$\begin{array}{|l|5*{|c|}}\hline
\text{Valeurs }~x_i &x_1&x_2 &x_3 &\cdots&x_k &\text{Total}\\ \hline
\text{Effectifs}~n_i &n_1&n_2 &n_3 &\cdots&n_k &N\\ \hline
\text{Effectifs CC} &n_1&n_1+n_2&n_1+n_2+n_3&\cdots&N&N\\ \hline
\end{array}$$ Le dernier effectif est égal à la somme de tous les effectifs partiels. Donc : $n_1+n_2+n_3+\cdots+n_k=N$.

2. Fréquences cumulées décroissantes

Définition 2.
Dans une série statistique avec un caractère quantitatif, prenant $k$ modalités $x_1$ ; $x_2$ ; $x_3$ ;$\cdots$ ; $x_k$, rangées dans l’ordre croissant. $$x_1<x_2<x_3<\cdots<x_k$$
On appelle fréquences cumulées croissantes (FCC), les fréquences de toutes les valeurs inférieures ou égales à chaque valeur de la série.
D’une manière analogue, on définit les fréquences cumulées décroissantes (FCD).

On obtient le tableau des effectifs et des effectifs cumulés croissants suivant :
$$\begin{array}{|l|5*{|c|}}\hline
\text{Valeurs }~x_i &x_1&x_2 &x_3 &\cdots&x_k &\text{Total}\\ \hline
\text{Effectifs}~n_i &n_1&n_2 &n_3 &\cdots&n_k &N\\ \hline
\text{Effectifs CC} &n_1&n_1+n_2&n_1+n_2+n_3&\cdots&N&N\\ \hline
\text{Fréquences CC} &\dfrac{n_1}{N}&\dfrac{n_1+n_2}{N}&\dfrac{n_1+n_2+n_3}{N}&\cdots&1\\ \hline
\end{array}$$
Le dernier effectif est égal à la somme de tous les effectifs partiels. Donc : $n_1+n_2+n_3+\cdots+n_k=N$. La dernière valeur des fréquences cumulées croissantes est : $$\dfrac{n_1+n_2+n_3+\cdots+n_k}{N}=\dfrac{N}{N}=1$$

Exercice résolu n°1.
L’accueil téléphonique d’une entreprise a reçu 120 appels entre 9h et 13h, répartis comme suit : $$\begin{array}{|l|5*{|c|}} \hline
\text{Tranche horaire} &\text{9h-10h} &\text{10h-11h} &\text{11h-12h} &\text{12h-13h} &\text{Total} \\ \hline
\text{Nombre d’appels} & 25 & 45 & 30 & 20 & 120\\ \hline \end{array}$$
On suppose que les appels sont uniformément répartis dans chaque tranche horaire.
Donner les effectifs cumulés croissants et les fréquences cumulées croissantes au bout de chaque heure.

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