Effectifs cumulés croissants. Fréquences cumulées décroissantes

1. Effectifs cumulés croissants.

Définition 1.
On considère une série statistique avec un caractère quantitatif, prenant $k$ modalités $x_1$ ; $x_2$ ; $x_3$ ;$\cdots$ ; $x_k$, rangées dans l’ordre croissant. $$x_1<x_2<x_3<\cdots<x_k$$
On appelle effectifs cumulés croissants (ECC), les effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à chaque valeur de la série.
D’une manière analogue, on définit les effectifs cumulés décroissants (ECD).

On obtient le tableau des effectifs et des effectifs cumulés croissants suivant :
$$\begin{array}{|l|5*{|c|}}\hline
\text{Valeurs }~x_i &x_1&x_2 &x_3 &\cdots&x_k &\text{Total}\\ \hline
\text{Effectifs}~n_i &n_1&n_2 &n_3 &\cdots&n_k &N\\ \hline
\text{Effectifs CC} &n_1&n_1+n_2&n_1+n_2+n_3&\cdots&N&N\\ \hline
\end{array}$$ Le dernier effectif est égal à la somme de tous les effectifs partiels. Donc : $n_1+n_2+n_3+\cdots+n_k=N$.

2. Fréquences cumulées décroissantes

Définition 2.
Dans une série statistique avec un caractère quantitatif, prenant $k$ modalités $x_1$ ; $x_2$ ; $x_3$ ;$\cdots$ ; $x_k$, rangées dans l’ordre croissant. $$x_1<x_2<x_3<\cdots<x_k$$
On appelle fréquences cumulées croissantes (FCC), les fréquences de toutes les valeurs inférieures ou égales à chaque valeur de la série.
D’une manière analogue, on définit les fréquences cumulées décroissantes (FCD).

On obtient le tableau des effectifs et des effectifs cumulés croissants suivant :
$$\begin{array}{|l|5*{|c|}}\hline
\text{Valeurs }~x_i &x_1&x_2 &x_3 &\cdots&x_k &\text{Total}\\ \hline
\text{Effectifs}~n_i &n_1&n_2 &n_3 &\cdots&n_k &N\\ \hline
\text{Effectifs CC} &n_1&n_1+n_2&n_1+n_2+n_3&\cdots&N&N\\ \hline
\text{Fréquences CC} &\dfrac{n_1}{N}&\dfrac{n_1+n_2}{N}&\dfrac{n_1+n_2+n_3}{N}&\cdots&1\\ \hline
\end{array}$$
Le dernier effectif est égal à la somme de tous les effectifs partiels. Donc : $n_1+n_2+n_3+\cdots+n_k=N$. La dernière valeur des fréquences cumulées croissantes est : $$\dfrac{n_1+n_2+n_3+\cdots+n_k}{N}=\dfrac{N}{N}=1$$

Exercice résolu n°1.
L’accueil téléphonique d’une entreprise a reçu 120 appels entre 9h et 13h, répartis comme suit : $$\begin{array}{|l|5*{|c|}} \hline
\text{Tranche horaire} &\text{9h-10h} &\text{10h-11h} &\text{11h-12h} &\text{12h-13h} &\text{Total} \\ \hline
\text{Nombre d’appels} & 25 & 45 & 30 & 20 & 120\\ \hline \end{array}$$
On suppose que les appels sont uniformément répartis dans chaque tranche horaire.
Donner les effectifs cumulés croissants et les fréquences cumulées croissantes au bout de chaque heure.

Corrigé.
Il suffit de faire un tableau des effectifs et de faire les sommes successivement pour chaque tranche horaire pour obtenir les effectifs cumulés croissants, puis en déduire les fréquences cumulées décroissantes.
$$\begin{array}{|l|5*{|c|}}\hline
\text{Heure jusqu’à} &\text{9} &\text{10h} &\text{11h} &\text{12h} &\text{13h}\\ \hline
\text{Effectifs CC des appels}&0 & 25 & 70 & 100 & 120\\ \hline
\text{Fréq. CC des appels}&0 &\dfrac{25}{120} &\dfrac{70}{120} &\dfrac{100}{120} &1\\ \hline
\text{Fréq. CC des appels}&0 &0,208 &0,583&0,833&1\\ \hline
\end{array}$$
CQFD.$\blacktriangle$

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