Produit scalaire et projection orthogonale


Tout ce paragraphe peut être interprété dans le plan ou dans l’espace.

Dans toute la suite, le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$.
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$.


Théorème 1.
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs dans l’espace.
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points tels que $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$. Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la direction $(AB)$ et $K$ le projeté orthogonal de $C$ sur la direction orthogonale à $(AB)$. Alors le vecteur $\vec{v_1}=\overrightarrow{AH}$ est le projeté orthogonal du vecteur $\vec{v}$ sur la direction de $\vec{u}$ et on a : $$\begin{array}{c}
\boxed{~\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{v_1}~}\\
\boxed{~\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}~}\\
\end{array}$$

Figure 1.

$H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la direction $(AB)$. Donc, le projeté orthogonal de $\vec{v}$ sur $(AB)$ est le vecteur $\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{AH}$.
De même, $K$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la perpendiculaire $\Delta$ à $(AB)$ passant par $A$. Donc, le projeté orthogonal de $\vec{v}$ sur $\Delta$ est le vecteur $\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{AK}$.
D’après la règle du parallélogramme, on a alors : $$\vec{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$$ Or, les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v_2}$ sont orthogonaux, donc : $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v_2}=0$. Par conséquent : $$\begin{array}{rcl}
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}&=&\overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2})\\
&=&\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v_2}\\
&=& \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v_1}+0\\
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}&=&\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v_1}\\
\end{array}$$
Conclusion. $\boxed{~\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{v_1}~}$. CQFD.$\blacktriangle$


Exercice résolu n°1. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan comme indiqué dans la figure 1 ci-dessus. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$, puis $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$.

1°) Calcul de $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$
Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la direction $(AB)$. Donc, le projeté orthogonal du vecteur $\overrightarrow{AC}$ sur $(AB)$ est le vecteur $\overrightarrow{AH}$.
$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$$ Or les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont colinéaires de même sens. Donc leur produit scalaire est égal au produit de leurs normes.
Comme $AB=6$ et $AH=4$, on a : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}=||\overrightarrow{AB}||\times||\overrightarrow{AC}||=6\times 4=24$.
Conclusion. $\boxed{~\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=24~}$.

1°) Calcul de $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$
Soit $P$ le projeté orthogonal de $D$ sur la direction $(AB)$. Donc, le projeté orthogonal du vecteur $\overrightarrow{AD}$ sur $(AB)$ est le vecteur $\overrightarrow{AP}$.
$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}$$ Or les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AP}$ sont colinéaires de sens contraires. Donc leur produit scalaire est égal à l’opposé du produit de leurs normes.
Comme $AB=6$ et $AP=3$, on a : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}=-||\overrightarrow{AB}||\times||\overrightarrow{AP}||=-6\times3 =-18$.
Conclusion. $\boxed{~\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=-18~}$.


Remarque importante

Comme le produit scalaire est commutatif, il est clair que pour calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$, on peut projeter $\overrightarrow{AC}$ sur $\overrightarrow{AB}$ ou bien $\overrightarrow{AB}$ sur $\overrightarrow{AC}$. On a alors, si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ et $M$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$, alors :

$\boxed{~\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}~}~$ et $~\boxed{~\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AC}~}$

Exercices résolus

Le but de ce 1er exercice est de démontrer la propriété (classique) des hauteurs dans un triangle.

Théorème. « Dans un triangle quelconque, les trois hauteurs sont concourantes ».

Exercice résolu n°2.
$ABC$ est un triangle quelconque. Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ et $K$ le pied de la hauteur issue de $B$. Les hauteurs $(AH)$ et $(BK)$ se coupent en $O$.
1°a) Calculer $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CO}$ en fonction de $AC$.
$~~$b) Calculer $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{OA}$ en fonction de $AC$.
2°) Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OC}$. (Pensez à décomposer astucieusement les vecteurs !)
3°) En déduire que $(CO)$ est la 3ème hauteur du triangle $ABC$. Conclure.

1°a) Calcul de $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CO}$ en fonction de $AC$.
$K$ le pied de la hauteur issue de $B$, donc $K$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$ . Donc : $$\begin{array}{rcl}
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CO}&=&\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CK}\\
&=&-||\overrightarrow{AC}||\times||\overrightarrow{CK}||\\
&=&\color{brown}{-AC\times CK}\\ \end{array}$$ Conclusion. $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CO}=-AC\times CK$.

1°b) Calcul de $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{OA}$ en fonction de $AC$.
$K$ le pied de la hauteur issue de $B$, donc $K$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$ . Donc : $$\begin{array}{rcl}
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{OA}&=&\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AK}\\
&=&-||\overrightarrow{AC}||\times||\overrightarrow{AK}||\\
&=&\color{brown}{-AC\times AK}\\ \end{array}$$ Conclusion. $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{OA}=-AC\times AK$.

2°) Calcul de $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OC}$.
D’après les questions précédentes, nous allons découper chacun de ces deux vecteurs à l’aide du vecteur $\overrightarrow{AC}$.
$$\begin{array}{rcl}
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OC}&=&(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})\cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC})\\
&=& \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{AC}\\
&=& -AC\times AK+AC^2+0-AC\times CK\\
&=&AC^2-AC(AK+CK)\\
&=&AC^2-AC\times AC\\
&=&\color{brown}{0}\\ \end{array}$$ Conclusion. $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OC}=0$.

3°) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OC}=0$. Donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{OC}$ sont orthogonaux. Donc les droites $(CO)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires.
Par conséquent, $(CO)$ est bien la troisième hauteur du triangle $ABC$. Donc les trois hauteurs sont concourantes en $O$.
CQFD. $\blacktriangle$