Produit scalaire et projection orthogonale

  1. Cours et exercices en pdf. Fiche BAC n°8.
  2. Produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace. Vecteurs orthogonaux. Caractérisation de l’orthogonalité
  3. Bilinéarité, symétrie du produit scalaire. Propriétés algébriques
  4. Produit scalaire et normes de vecteurs. Formules de polarisation. Théorème d’AlKashi
  5. Produit scalaire et projection orthogonale
  6. Expressions du produit scalaire dans une base orthonormée directe
  7. Vecteur normal à un plan. Équations cartésiennes dans l’espace

Tout ce paragraphe peut être interprété dans le plan ou dans l’espace.

Dans toute la suite, le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$.
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$.

  1. Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan. Formule avec le cosinus. Vecteurs-orthogonaux. Caractérisation de l’orthogonalité
  2. Bilinéarité, symétrie du produit scalaire. Propriétés algébriques
  3. Produit scalaire et normes de vecteurs. Formules de polarisation. Théorème d’AlKashi
  4. Produit scalaire à partir de la projection orthogonale
  5. Forme analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé direct
  6. Vecteurs orthogonaux. Caractérisation de l’orthogonalité
  7. Transformation de l’expression $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MA}$. Théorème de la médiane. Caractérisation d’un cercle par le produit scalaire
  8. Équation cartésienne d’un cercle dans le plan
  9. Équation cartésienne d’une droite dans le plan
    a) Comment déterminer un vecteur directeur d’une droite ?
    b) Comment déterminer l’équation d’une droite ?
  10. Vecteur normal à une droite

Théorème 1.
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs dans l’espace.
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points tels que $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$. Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la direction $(AB)$ et $K$ le projeté orthogonal de $C$ sur la direction orthogonale à $(AB)$. Alors le vecteur $\vec{v_1}=\overrightarrow{AH}$ est le projeté orthogonal du vecteur $\vec{v}$ sur la direction de $\vec{u}$ et on a : $$\begin{array}{c}
\boxed{~\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{v_1}~}\\
\boxed{~\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}~}\\
\end{array}$$

Figure 1.

$H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la direction $(AB)$. Donc, le projeté orthogonal de $\vec{v}$ sur $(AB)$ est le vecteur $\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{AH}$.
De même, $K$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la perpendiculaire $\Delta$ à $(AB)$ passant par $A$. Donc, le projeté orthogonal de $\vec{v}$ sur $\Delta$ est le vecteur $\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{AK}$.
D’après la règle du parallélogramme, on a alors : $$\vec{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$$ Or, les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v_2}$ sont orthogonaux, donc : $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v_2}=0$. Par conséquent : $$\begin{array}{rcl}
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}&=&\overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2})\\
&=&\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v_2}\\
&=& \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v_1}+0\\
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}&=&\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v_1}\\
\end{array}$$
Conclusion. $\boxed{~\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{v_1}~}$. CQFD.$\blacktriangle$

Exercice résolu n°1. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan comme indiqué dans la figure 1 ci-dessus. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$, puis $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$.

1°) Calcul de $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$
Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la direction $(AB)$. Donc, le projeté orthogonal du vecteur $\overrightarrow{AC}$ sur $(AB)$ est le vecteur $\overrightarrow{AH}$.
$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$$ Or les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont colinéaires de même sens. Donc leur produit scalaire est égal au produit de leurs normes.
Comme $AB=6$ et $AH=4$, on a : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}=||\overrightarrow{AB}||\times||\overrightarrow{AC}||=6\times 4=24$.
Conclusion. $\boxed{~\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=24~}$.

1°) Calcul de $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$
Soit $P$ le projeté orthogonal de $D$ sur la direction $(AB)$. Donc, le projeté orthogonal du vecteur $\overrightarrow{AD}$ sur $(AB)$ est le vecteur $\overrightarrow{AP}$.
$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}$$ Or les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AP}$ sont colinéaires de sens contraires. Donc leur produit scalaire est égal à l’opposé du produit de leurs normes.
Comme $AB=6$ et $AP=3$, on a : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}=-||\overrightarrow{AB}||\times||\overrightarrow{AP}||=-6\times3 =-18$.
Conclusion. $\boxed{~\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=-18~}$.

Remarque importante

Comme le produit scalaire est commutatif, il est clair que pour calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$, on peut projeter $\overrightarrow{AC}$ sur $\overrightarrow{AB}$ ou bien $\overrightarrow{AB}$ sur $\overrightarrow{AC}$. On a alors, si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ et $M$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$, alors :

$\boxed{~\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}~}~$ et $~\boxed{~\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AC}~}$

Exercices résolus

Le but de ce 1er exercice est de démontrer la propriété (classique) des hauteurs dans un triangle.

Théorème. « Dans un triangle quelconque, les trois hauteurs sont concourantes ».

Exercice résolu n°2.
$ABC$ est un triangle quelconque. Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ et $K$ le pied de la hauteur issue de $B$. Les hauteurs $(AH)$ et $(BK)$ se coupent en $O$.
1°a) Calculer $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CO}$ en fonction de $AC$.
$~~$b) Calculer $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{OA}$ en fonction de $AC$.
2°) Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OC}$. (Pensez à décomposer astucieusement les vecteurs !)
3°) En déduire que $(CO)$ est la 3ème hauteur du triangle $ABC$. Conclure.

1°a) Calcul de $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CO}$ en fonction de $AC$.
$K$ le pied de la hauteur issue de $B$, donc $K$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$ . Donc : $$\begin{array}{rcl}
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CO}&=&\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CK}\\
&=&-||\overrightarrow{AC}||\times||\overrightarrow{CK}||\\
&=&\color{brown}{-AC\times CK}\\ \end{array}$$ Conclusion. $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CO}=-AC\times CK$.

1°b) Calcul de $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{OA}$ en fonction de $AC$.
$K$ le pied de la hauteur issue de $B$, donc $K$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$ . Donc : $$\begin{array}{rcl}
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{OA}&=&\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AK}\\
&=&-||\overrightarrow{AC}||\times||\overrightarrow{AK}||\\
&=&\color{brown}{-AC\times AK}\\ \end{array}$$ Conclusion. $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{OA}=-AC\times AK$.

2°) Calcul de $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OC}$.
D’après les questions précédentes, nous allons découper chacun de ces deux vecteurs à l’aide du vecteur $\overrightarrow{AC}$.
$$\begin{array}{rcl}
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OC}&=&(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})\cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC})\\
&=& \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{AC}\\
&=& -AC\times AK+AC^2+0-AC\times CK\\
&=&AC^2-AC(AK+CK)\\
&=&AC^2-AC\times AC\\
&=&\color{brown}{0}\\ \end{array}$$ Conclusion. $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OC}=0$.

3°) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OC}=0$. Donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{OC}$ sont orthogonaux. Donc les droites $(CO)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires.
Par conséquent, $(CO)$ est bien la troisième hauteur du triangle $ABC$. Donc les trois hauteurs sont concourantes en $O$.
CQFD. $\blacktriangle$

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