Comment déterminer l’équation d’une droite ?

1. On connaît les coordonnées de deux points de la droite

Théorème 1.
Soient $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère du plan et $d$ une droite du plan.
Soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ deux points distincts de $d$. On distingue trois cas :
1°) Si $x_A=x_B=c$, alors la droite $(AB)$ est parallèle à l’axe des ordonnées et a pour équation : $$\boxed{\;x=c\;}$$ 2°) Si $y_A=y_B=p$, alors la droite $(AB)$ est parallèle à l’axe des abscisses et a pour équation : $$\boxed{\;y=p\;}$$ 3°) Si $x_A\not= x_B$ et $y_A\not= y_B$, alors la droite $(AB)$ n’est pas parallèle aux axes ; elle est oblique. Son équation générale est de la forme $\boxed{\;ax+by=c\;}$ et son équation réduite est de la forme $$\boxed{\;y=mx+p\;}$$

Pour déterminer l’équation d’une droite $d$ connaissant les coordonnées deux points distincts, on distingue trois cas :

1°) Si $x_A=x_B=c$, alors les deux points $A$ et $B$ ont la même abscisse. La droite $(AB)$ est donc parallèle à l’axe des ordonnées. Son équation est $$\boxed{\;x=c\;}$$
2°) Si $y_A=y_B=p$, alors les deux points $A$ et $B$ ont la même ordonnée. La droite $(AB)$ est donc parallèle à l’axe des abscisses. Son équation est $$\boxed{\;y=p\;}$$ 3°) Si $x_A\not= x_B$ et $y_A\not= y_B$, la droite $(AB)$ n’est pas parallèle aux axes. Donc, elle es oblique. On dispose de deux méthodes pour trouver l’équation réduite ou l’équation générale de la droite $(AB)$.

1ère méthode (classe de 3ème) : On cherche le coefficient directeur, puis l’ordonnée à l’origine. On écrit les coordonnées des deux points les uns en dessous des autres :
$$ \boxed{\;\begin{array}{c}
A(x_A;y_A)\\ B(x_B;y_B)\\ \end{array}\;}$$
Puis on calcule $m$ et $p$ à l’aide des formules :
$$\qquad\begin{array}{c}
\boxed{\; m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\;}\\
\boxed{\; p=y_A-mx_A\;}~~\text{ou}~~\boxed{\; p=y_B-mx_B\;} \\ \end{array}$$
2ème méthode : à l’aide du vecteur directeur et un des deux points
Voir le paragraphe suivant sur cette page.

Exercice résolu n°1.
Soient $A(2;3)$, $B(2;7)$ et $C(4;7)$
Déterminer les équations réduites des trois droites suivantes : $(AB)$, $(BC)$ et $(AC)$.

1°) Équation réduite de la droite $(AB)$.
On sait que : $A(2;3)$ et $B(2;7)$.
Comme $x_A=x_B=2$, les deux points $A$ et $B$ ont la même abscisse. La droite $(AB)$ est donc parallèle à l’axe des ordonnées. Son équation est $$\boxed{\;x=2\;}$$ CQFD.

2°) Équation réduite de la droite $(BC)$.
On sait que : $B(2;7)$ et $C(4;7)$.
Comme $y_B=y_C=7$, les deux points $B$ et $C$ ont la même ordonnée. La droite $(BC)$ est donc parallèle à l’axe des abscisses. Son équation est $$\boxed{\;y=7\;}$$ CQFD.

3°) Équation réduite de la droite $(AC)$.
On sait que : $A(2;3)$ et $C(4;7)$.
Si $x_A\not= x_C$ et $y_A\not= y_C$, la droite $(AC)$ n’est pas parallèle aux axes. Donc, elle es oblique. On calcule le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine.

a) Calcul du coefficient directeur
On écrit les coordonnées des deux points l’un en dessous de l’autre :
$$ \boxed{\;\begin{array}{c}
A(2;3)\\ C(4;7)\\ \end{array}\;}$$
Puis on calcule $m$ à l’aide de la formule suivante : $$\boxed{\;m=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}\;}$$
On a alors : $$\begin{array}{l} m=\dfrac{7-3}{4-2}\\ m=\dfrac{4}{2}\\ m=2\\ \end{array}$$
Conclusion. Le coefficient directeur de la droite $d$ est : $$ \boxed{\; m=2\;}$$

b) Calcul de l’ordonnée à l’origine
On a alors : $$\begin{array}{l} p=y_A-mx_A\\ p=3-2\times2\\ p=-1\end{array}$$
Par conséquent, l’ordonnée à l’origine de la droite $d$ est : $$ \boxed{\; p=-1\;}$$ :
Conclusion. L’équation de la droite $d$ est : $$\boxed{\;\; y=2x-1\;\;}$$

2. On connaît un vecteur directeur et les coordonnées d’un point

Déterminer l’équation de la droite $d$ de vecteur directeur (non nul) $\overrightarrow{u}\dbinom{\alpha}{\beta}$ et passant par le point $A(x_A;y_A)$. On distingue trois situations :

1°) $\alpha=0$ et $\beta\not=0$
Le vecteur $\overrightarrow{u}\dbinom{0}{\beta} =\beta \vec{\jmath}$.
La droite $d$ est parallèle à l’axe des ordonnées (verticale).
Elle passe par $A$. Donc, son équation est $$\boxed{\;x=x_A\;}$$

2°) $\alpha\not=0$ et $\beta=0$
Le vecteur $\overrightarrow{u} \dbinom{\alpha}{0} =\alpha \vec{\imath}$.
La droite $D$ est parallèle à l’axe des abscisses (horizontale).
Elle passe par $A$. Donc, son équation est $$\boxed{\;y=y_A\;}$$

3°) $\alpha\not=0$ et $\beta\not=0$
La droite $d$ n’est pas parallèle aux axes. Elle est oblique.
Dans tous les cas, pour trouver l’équation de $d$, on raisonne par équivalences successives :

Soit $M(x;y)$ un point quelconque du plan. On écrit les coordonnées des vecteurs
$$ \boxed{\;\overrightarrow{AM} \dbinom{ x-x_A}{ y-y_A}~~\text{et}~~
\overrightarrow{u}\dbinom{\alpha}{\beta}\;}$$ Puis, on écrit l’égalité des produits en croix de leurs coordonnées pour en déduire l’équation générale puis l’équation réduite de la droite $d$.

Exemples

Exercice résolu n°2.
Déterminer l’équation d’une droite $d$ de vecteur directeur :et $\overrightarrow{u}\dbinom{-1}{2}$ passant par le point $A(2;5)$.

Le vecteur $\overrightarrow{u}$ n’est colinéaire ni à $\vec{\imath}$ ni à $\vec{\jmath}$. Donc, la droite $d$ n’est pas parallèle aux axes. Elle est oblique. On raisonne par équivalences successives :

Soit $M(x;y)$ un point quelconque du plan.
On écrit d’abord les coordonnées des vecteurs $$ \boxed{\;\overrightarrow{AM}\dbinom{x-2}{y-5}~~\text{et}~~\overrightarrow{u}\dbinom{-1}{2}\;}$$ On a les équivalences suivantes:
$$\begin{array}{rcl}
M\in D &\text{(ssi)}&\text{Les vecteurs}~\overrightarrow{AM}~\text{et}~\overrightarrow{u}~\text{sont colinéaires}\\
&\text{(ssi)}& (x-2)\times2-(y-5)\times(-1)=0\\
&\text{(ssi)}& 2x-4+y-5=0\\
&\text{(ssi)}& 2x+y-9=0~ \text{(forme générale)}\\
&\text{(ssi)}& y=-2x+9 \text{(forme réduite)}\\ \end{array}$$
Conclusion. L’équation générale de la droite $d$ est $$\boxed{\;2x+y-9=0\;}$$ et l’équation réduite de la droite $d$ est : $$\boxed{\; y=-2x+9}$$

Exercice résolu n°3.
Soient $A(4;1)$ et $B(-2;4)$
1°) Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ de la droite $(AB)$.
2°) Déterminer de deux manières l’équation réduite de la droite $(AB)$.

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