Expression du produit scalaire dans un repère orthonormé direct dans l’espace
1. Expression du produit scalaire dans une base orthonormée directe
Théorème 1.
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$.
Soient $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z \\ \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} x’\\ y’\\ z’ \\ \end{array}\right)$ deux vecteurs non nuls de l’espace. Alors le produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ peut s’écrire : $$\boxed{~~\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=xx’ + yy’ + zz’~~}$$
Exercice résolu n°1. $ABCDEFGH$ est un cube de côté $a>0$. $I$ est le milieu de $[AH]$.
Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{BI}$ sont orthogonaux.
2. Expression de la norme d’un vecteur dans l’espace
Théorème 2.
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$.
Soient $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z \\ \end{array}\right)$ un vecteur de l’espace. Alors :
La norme du vecteur $\overrightarrow{u}$ est donnée par : $$\boxed{~~||\,\overrightarrow{u}\,||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}~~}$$
3. Expression de la distance entre deux points dans l’espace
Théorème 3.
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$.
Soient $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ deux points de l’espace. Alors :
La distance entre les deux points $A$ et $B$ est égale à la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \\ \end{array}\right)$. Donc : $$\boxed{~~AB=||\,\overrightarrow{AB}\,||=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}~~}$$
4. Exercices résolus
Exercice résolu n°2. Les vecteurs suivants sont-ils orthogonaux deux à deux ? Justifier votre réponse. $$\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 5 \\ \end{array}\right)~;~\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 3\\ 1\\ -1 \\ \end{array}\right)~~\text{et}~~\overrightarrow{w}\left(\begin{array}{c} -2\\ 1\\ 0 \\ \end{array}\right)$$
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