Équation cartésienne d’une droite dans le plan

1. Vecteur directeur d’une droite

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{\imath}; \vec{\jmath})$.

Définition 1.
Un vecteur directeur d’une droite $d$ est un vecteur non nul de direction $d$.

Exemple

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{\imath}; \vec{\jmath})$.
Si $A$ et $B$ sont deux points distincts de la droite $d$, alors le vecteur $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite $d$.

Théorème 1.
Soient $d$ et $d’$ deux droites de vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ respectivement. Alors :
1°) Pour tout réel $k$ non nul, $k\overrightarrow{u}$ est aussi un vecteur directeur de $d$.
2°) Les droites $d$ et $d’$ sont parallèles si et seulement si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.

2. Équation cartésienne d’une droite

Définition 1.
Une équation cartésienne d’une droite ou d’une courbe de fonction dans le plan, est une égalité reliant les coordonnées $x$ et $y$ d’un point $M$ du plan pour reconnaître si ce point appartient à cette droite ou cette courbe ou non.

Exemple

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{\imath}; \vec{\jmath})$.
L’égalité « $y=x$ » (*) est l’équation de la droite $\Delta$ passant par l’origine $O(0;0)$ et tous les points $M(x;y)$ tels que $y=x$.

Soit $M(x;y)$ un point quelconque du plan. Alors : $$\boxed{\;M(x;y)\in\Delta~~\text{(ssi)}~~y=x\;}$$
Par exemple les points $A(1;1)$; $B(-2;-2)$ et $C(\sqrt{2};\sqrt{2})$ appartiennent à $\Delta$, car $y_A=x_A$, $y_B=x_B$ et $y_C=x_C$. Leurs coordonnées satisfont l’équation (*).

Par contre les points $E(2;-5)$ et $F(2;-2)$ n’appartiennent pas à la droite $\Delta$, car $y_E\not=x_E$ et $y_F\not=x_F$. Leurs coordonnées ne satisfont pas l’équation (*).

Remarque

Il s’agit de la bissectrice du 1er cadran du repère, qu’on appelle « la première bissectrice ».
« La deuxième bissectrice » est la droite $\Delta’$, bissectrice du 2ème cadran du repère. Elle a pour équation « $y=-x$ ».


Théorème 2. Équation cartésienne d’une droite.
Soit $d$ une droite quelconque dans le plan. Alors :
1°) l’équation cartésienne de la droite $d$ (sous sa forme générale) s’écrit : $$\boxed{\; ax+by=c\;}$$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels donnés. $a$ et $b$ non tous deux nuls.
2°) Le vecteur directeur de la droite $d$ est donné par :$$\overrightarrow{u} \dbinom{-b}{a}$$


Soit $d$ une droite quelconque dans le plan. Soit $\overrightarrow{u}(\alpha;\beta)$ un vecteur directeur de $d$ et $A(x_A;y_B)$ un point de $d$.

1°) Soit $M(x;y)$ un point quelconque du plan. On a les équivalences suivantes :
$\quad\begin{array}{rcl}
M(x;y)\in d &\text{(ssi)}& \text{Les vecteurs }\overrightarrow{AM}\dbinom{x-x_A}{x-y_A}\text{ et }\overrightarrow{u} \dbinom{\alpha}{\beta}\text{ sont colinéaires}\\
&\text{(ssi)}&\text{Il y a égalité des produits en croix}\\
&\text{(ssi)}&\beta(x-x_A)=\alpha(y-y_A)\\
&\text{(ssi)}&\beta x- \beta x_A=\alpha y- \alpha y_A\\
&\text{(ssi)}&{\color{brown}{\beta x-\alpha y=\beta x_A- \alpha y_A}}\\
\end{array}$
Cette dernière équation est bien de la forme $ax+by=c$, avec $a=\beta$, $b=-\alpha$ et $c=\beta x_A- \alpha y_A$.

2°) D’après ce qui précède, un vecteur directeur de $d$ est $\overrightarrow{u} \dbinom{\alpha}{\beta}$, avec $a=\beta$ et $b=-\alpha$. Par conséquent, si l’équation de la droite $d$ est $ax+by=c$, alors un vecteur directeur de $d$ est $$\color{brown}{\boxed{\;\overrightarrow{u}\dbinom{-b}{a}\;}}$$
On peut également prendre son opposé $\overrightarrow{u’}= -\overrightarrow{u}\dbinom{b}{-a}$ ou n’importe quel vecteur qui lui est colinéaire.


Théorème 2. Équation cartésienne réduite d’une droite :
1°) Toute droite $d$ non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme :$$\boxed{\;y=mx+p\;}~~\text{ou}~~\boxed{\;y=p\;}~\text{si}~m=0$$ où $m$ et $p$ sont deux nombres réels donnés.
2°) Toute droite $d$ parallèle à l’axe des ordonnées (verticale) a une équation de la forme $$\boxed{\; x=c\;}$$ où $c$ est un nombre réel donné.
Ce qui signifie que tous les points de la droite $d$ ont la même abscisse $x = c$.

Remarque

Une droite parallèle à l’axe des abscisses (horizontale) rentre dans le premier cas. Son équation est de la forme $y=p$, c’est-à-dire $y=0x+p$, avec $m=0$ et $p$ est un nombre réel donné.
Ce qui signifie que tous les points de la droite $d$ ont la même ordonnée $y=p$.


Définition.
Les équations de la forme $y=mx+p$ (respectivement $y=p$ ou $x=c$) est appelée l’équation réduite de la droite $d$.
$m$ s’appelle le coefficient directeur et $p$ s’appelle l’ordonnée à l’origine de $d$.

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°2. Déterminer les éléments caractéristiques des droites suivantes : équation générale ; équation réduite ; coefficient directeur ; ordonnée à l’origine et vecteur directeur.
1°) $d_1$ : $-2x+3y=3$ ;
2°) $d_2$ : $y=-2x+3$ ;
3°) $d_3$ : $y=3$ ;
4°) $d_4$ : $x=2$.


$d_1$ a pour équation générale $-2x+3y =3$ ;
$a =-2$ ; $b =3$ et $c = 3$.
Équation réduite : $y =\dfrac{2}{3}x+1$ ;
Coefficient directeur : $m=\dfrac{2}{3}$ ;
Ordonnée à l’origine $p=1$.
Vecteur directeur : $\overrightarrow{u}\dbinom{3}{2}$.

$d_2$ a pour équation générale $2x+y =3$ ;
$a = 2$ ; $b = 1$ et $c = 3$.
Équation réduite : $y = – 2x + 3$ ;
Coefficient directeur : $m = –2$ ;
Ordonnée à l’origine $p = 3$.
Vecteur directeur : $\overrightarrow{u}\dbinom{1}{-2}$.

$d_3$ a pour équation $y=3$.
$a=0$ ; $b=1$ et $c=3$.
$d_3$ est parallèle à l’axe des abscisses.
Coefficient directeur $m=0$.
Ordonnée à l’origine $p=3$.
Vecteur directeur : $\overrightarrow{u}=\vec{\imath}\dbinom{1}{0}$.

$d_4$ a pour équation $x=2$.
$a=1$ ; $b=0$ et $c=2$.
$d_4$ est parallèle à l’axe des ordonnées.
$d_4$ n’a pas de coefficient directeur.
$d_4$ n’a pas d’ordonnée à l’origine.
Vecteur directeur : $\overrightarrow{u}=\vec{\jmath}\dbinom{0}{1}$.