Équation cartésienne d’un cercle dans le plan

Dans toute la suite, le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Ce qui signifie que : $$\boxed{\;|| \vec{\imath} ||=1,~|| \vec{\jmath}||=1~\text{et l’angle}~( \vec{\imath}\, ; \vec{\jmath})=+\dfrac{\pi}{2}\;}$$ On passe de $\vec{\imath}$ à $\vec{\jmath}$ par un angle droit, dans le sens positif (le sens inverse des aiguilles d’une montre). Les angles sont mesurés à partir de la demi-droite $[Ox)$ ou une demi-droite qui lui est parallèle.


1. Équation cartésienne réduite d’un cercle

Tout d’abord, donnons une caractérisation d’un cercle ${\mathcal C}(\Omega,r)$ de centre $\Omega$ et de rayon $r$ et de diamètre $d=2r$.

Soit $M$ un point quelconque du plan. Alors :
$M\in{\mathcal C}(\Omega,r)$ (ssi) $\Omega M=r$ (ssi) $\Omega M=\dfrac{d}{2}$.

Théorème 1.
Soit $\Omega(a;b)$ et $r\geqslant0$. Alors, pour tout point $M(x;y)$ du plan :
$$\boxed{\; M\in{\mathcal C}(\Omega,r)~~\text{(ssi)}~~(x-a)^2+(y-b)^2 =r^2\;}$$

« $(x-a)^2+(y-b)^2 =r^2$ » s’appelle l’équation cartésienne réduite du cercle ${\mathcal C}(\Omega,r)$.

$\begin{array}{rcl}
M\in{\mathcal C}(\Omega,r)&\text{(ssi)}&\Omega M =r\\
&\text{(ssi)}&\Omega M^2 =r^2\\
&\text{(ssi)}&(x_M-x_\Omega)^2+(y_M-y_\Omega)^2 =r^2\\
&\text{(ssi)}&(x_M-x_\Omega)^2+(y_M-y_\Omega)^2 =r^2\\
&\text{(ssi)}&{\color{brown}{(x-a)^2+(y-b)^2 =r^2}}\\
\end{array}$
CQFD.


2. Équation cartésienne développée réduite d’un cercle

Théorème 2.
Soient $\alpha$ et $\beta$ et $\gamma$ trois nombres réels. Alors l’ensemble $\mathcal E$ de tous les points $M(x;y)$ du plan vérifiant l’équation : $$x^2+y^2-2\alpha x-2\beta y =\gamma~~(*)$$
$\bullet$ Si $\gamma-\alpha^2-\beta^2<0$, alors l’ensemble $\mathcal E$ est vide.
$\bullet$ Si $\gamma-\alpha^2-\beta^2=0$, alors l’ensemble $\mathcal E$ est réduit à un seul point $\Omega(\alpha;\beta)$.
$\bullet$ Si $\gamma-\alpha^2-\beta^2>0$, alors l’ensemble $\mathcal E$ est le cercle de centre $\Omega(\alpha;\beta)$ et de rayon $r=\sqrt{\gamma-\alpha^2-\beta^2 }$.

Si $r=\gamma- \alpha^2-\beta^2\geqslant0$, l’équation (*) s’appelle l’équation cartésienne développée réduite du cercle ${\mathcal C}(\Omega,r)$.


Exercice résolu n°1.
Soient $\Omega(3;-4)$ et $r=6$. Déterminer l’équation cartésienne réduite, puis l’équation développée réduite du cercle ${\mathcal C}(\Omega,6)$.

Soient $\Omega(3;-4)$ et $r=6$. Soit $M(x;y)$ un point quelconque du plan. Alors :
$\begin{array}{rcl}
M\in {\mathcal C}(\Omega,6)&\text{(ssi)}&\Omega M=6\\
&\text{(ssi)}&\Omega M^2=6^2\\
&\text{(ssi)}&(x-3)^2+(y-(-4))^2=36\\
&\text{(ssi)}& {\color{brown}{(x-3)^2+(y+4)^2=36}}\\
\end{array}$
CQFD.
On développe et on réduit cette équation pour obtenir :
$\begin{array}{rcl}
M\in {\mathcal C}(\Omega,6)&\text{(ssi)}&x^2-2\times3x+3^2+y^2+2\times 4y+4^2=36\\
&\text{(ssi)}& {\color{brown}{x^2+y^2-6x+4y=11}}\\
\end{array}$

Conclusion. L’équation cartésienne réduite du cercle ${\mathcal C}(\Omega,6)$ est $${\color{brown}{\boxed{\;(x-3)^2+(y+4)^2=36\;}}}$$ et l’équation cartésienne développée réduite du cercle ${\mathcal C}(\Omega,6)$ est ${\color{brown}{\boxed{\; x^2+y^2-6x+4y=11\;}}}$


Exercice résolu n°2.
Déterminer l’ensemble $\mathcal E$ de tous les points $M(x;y)$ du plan vérifiant l’équation :
$\qquad x^2+y^2-4x+8y=27\quad$ (2)

Soit $M(x;y)$ un point quelconque du plan, vérifiant l’équation (2).
Nous allons utiliser la forme canonique des polynômes du second degré.
$\begin{array}{rcl}
M\in {\mathcal E}&\text{(ssi)}& x^2+y^2-4x+8y+27=0 \\
&\text{(ssi)}& (x^2-4x)+(y^2+8y)+27=0 \\
&\text{(ssi)}& (x-2)^2-4+(y+4)^2-16+27=0\\
&\text{(ssi)}& (x-2)^2+(y+4)^2=-27+20\\
&\text{(ssi)}& {\color{brown}{(x-2)^2+(y+4)^2=-7}}\\
\end{array}$
Le membre de gauche est un nombre réel positif ou nul. Le membre de droite est un nombre strictement négatif. Cette égalité est donc impossible.

Conclusion. L’ensemble $\mathcal E$ de tous les points $M(x;y)$ du plan vérifiant l’équation (2) est donc l’ensemble vide. $$\color{brown}{\boxed{\;{\mathcal E}=\emptyset\;}}$$