Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan. Vecteurs orthogonaux. Caractérisation de l’orthogonalité

  1. Produit-scalaire-de-deux-vecteurs-dans-le-plan
    1.1. Qu-est-ce-qu-un-scalaire ?
    1.2. Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel
  2. Vecteurs-orthogonaux-caracterisation-de-l-orthogonalite
    2.1. Le produit scalaire est commutatif
    2-1. Vecteurs orthogonaux
    2.3. Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires
    2.4. Carré scalaire d’un vecteur
    2.5. Calcul de la mesure de l’angle $(\vec{u},\vec{v})$

Dans toute la suite, le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Ce qui signifie que : $$\boxed{\;|| \vec{\imath} ||=1,~|| \vec{\jmath}||=1~\text{et l’angle}~( \vec{\imath}\, ; \vec{\jmath})=+\dfrac{\pi}{2}\;}$$ On passe de $\vec{\imath}$ à $\vec{\jmath}$ par un angle droit, dans le sens positif (le sens inverse des aiguilles d’une montre). Les angles sont mesurés à partir de la demi-droite $[Ox)$.

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan. Alors il existe deux points uniques $A$ et $B$ tels que : $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}~~\text{et}~~\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OB}$$

Il y a essentiellement quatre manières de définir le produit scalaire de deux vecteurs.

  1. A l’aide des normes et de l’angle formé par les deux vecteurs ;
  2. A l’aide des normes uniquement ;
  3. A l’aide de la projection orthogonale de l’un des vecteurs sur la direction de l’autre ;
  4. A l’aide des coordonnées dans un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$.

1. Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan

1.1. Qu’est-ce qu’un scalaire ?

Tout d’abord, on appelle « scalaire » tout nombre réel.

En anglais, le verbe « to scale » signifie « mettre à l’échelle ».
De même, le nom commun « a scale » signifie « une échelle ».

Un scalaire est donc un coefficient $k\in\R$ d’homothétie.
Un scalaire est un coefficient d’agrandissement si $|~k~|>1$, ou de réduction si $0<|~k~|<1$ ou encore de symétrie centrale si $k<0$.

Par conséquent, les scalaires sont les nombres réels sans unité.


1.2. Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel

Définition 1.
On appelle produit scalaire des deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre réel noté $\vec{u}\cdot\vec{v}$ (lire « $\vec{u}$ scalaire $\vec{v}$ »), défini par : $$
\begin{array}{|l|}\hline
~\color{brown}{\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\cos(\theta)}~~~~\text{(Déf.1)}\\ \hline
~\color{brown}{\vec{u}\cdot\vec{v}=|| \overrightarrow{OA}||\times || \overrightarrow{OB} ||\cos( \widehat{AOB})}\\ \hline
\end{array}$$ où $\theta=(\vec{u},\vec{v})=\widehat{AOB}$, désigne l’angle orienté des deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

On peut en déduire que :

$\bullet$ Le produit scalaire est positif si et seulement si l’angle $(\vec{u},\vec{v})$ est aigu. $$ \vec{u}\cdot\vec{v}>0\quad\text{(ssi)}\quad -\dfrac{\pi}{2} < (\vec{u},\vec{v})<\dfrac{\pi}{2}~~(\text{modulo}~2\pi)$$

$\bullet$ Le produit scalaire est négatif si et seulement si l’angle $(\vec{u},\vec{v})$ est obtus. $$ \vec{u}\cdot\vec{v}<0\quad\text{(ssi)}\quad \dfrac{\pi}{2} < (\vec{u},\vec{v})<\dfrac{3\pi}{2}~~(\text{modulo}~2\pi)$$

Fig. 1.

1.3. Le produit scalaire est commutatif

Propriété 1.
Le produit scalaire est commutatif.
(PS1) : $\quad$ $\boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}\;}$

EXEMPLES

Exercice résolu n°1.
Avec les notations de la figure 1 ci-dessus, on donne $OA=6$, $OB=4\sqrt{2}$, $OC=5$, $ \theta=\widehat{AOB}=\dfrac{\pi}{4}=45°$ et $\theta’\widehat{AOC}=\dfrac{2\pi}{3}=120°$.
1°) Calculer les produits scalaires des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
2°) Même question pour les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$.

1°) Calculer les produits scalaires des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
$$\begin{array}{rcl}
\vec{u}\cdot\vec{v}&=&\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} \\ &=& || \overrightarrow{OA}||\times || \overrightarrow{OB} ||\cos( \widehat{AOB}) \\
&=& OA\times OB\times \cos(\dfrac{\pi}{4}) \\
&=& 6\times 4\sqrt{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\
&=& 24\\ \end{array}$$
Conclusion. On en déduit que $$ \boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{v}=24\;}$$

1°) Calculer les produits scalaires des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$.
$$\begin{array}{rcl}
\vec{u}\cdot\vec{w}&=&\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC} \\ &=& || \overrightarrow{OA}||\times || \overrightarrow{OC} ||\cos( \widehat{AOC}) \\
&=& OA\times OC\times \cos(\dfrac{2\pi}{3}) \\
&=& 6\times 5\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)\\
&=& -15\\ \end{array}$$
Conclusion. On en déduit que $$ \boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{w}= -15\;}$$


2. Vecteurs orthogonaux. Caractérisation de l’orthogonalité

Immédiat. On sait que la fonction cosinus est une fonction paire. Donc : $\cos( \vec{u};\vec{v})=\cos(\vec{v};\vec{u})$.

2.2. Vecteurs orthogonaux

Définition 2.
Deux vecteurs $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{OB}$ sont dit orthogonaux si, et seulement si, ils ont des directions perpendiculaires. On note : $$\vec{u}\perp\vec{v}~~\text{si, et seulement si,}~~(OA)\perp(OB)$$

Propriété 2. Orthogonalité et produit scalaire.
Deux vecteurs sont orthogonaux, si et seulement si, leur produit scalaire est égal à $0$.
(PS2) : $\quad$ $\boxed{\;\vec{u}\perp\vec{v}~\text{si, et seulement si}~\vec{u}\cdot\vec{v}=0\;}$

En effet : $\vec{u}\perp\vec{v}$ si, et seulement si, $(\vec{u},\vec{v})=\pm\dfrac{\pi}{2}$ si, et seulement si, $\cos(\vec{u},\vec{v})=0$ si, et seulement si, $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.


2.3. Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires

Propriétés 3.
$\bullet$ Si deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de même sens, alors :
(PS3) : $\quad$ $\boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\times||\vec{v}|| \;}$
$\bullet$ Si deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de sens contraires, alors :
(PS3bis) : $~~\boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{v}=-||\vec{u}||\times||\vec{v}|| \;}$

En effet, deux vecteurs colinéaires de même sens $\vec{u}$ et $\vec{v}$, forment un angle égal à $0$ (modulo $2\pi$), donc $\cos(0)=1$.

Et deux vecteurs colinéaires de sens contraires $\vec{u}$ et $\vec{v}$, forment un angle égal à $\pi$ ou $-\pi$ (modulo $2\pi$), donc $\cos(\pi)=-1$.

2.4. Carré scalaire d’un vecteur

Définition 3.
Soit $\vec{u}$ un vecteur du plan. On appelle carré scalaire de $\vec{u}$ et on note $\vec{u}^2$ le nombre réel : $$\boxed{\;\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}\;}$$

Donc, d’après la propriété (PS3) on peut énoncer :

Propriété 4.
(PS4) : $\quad$ $\boxed{\;\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}=||\vec{u}||^2\;}$

2.5. Calcul de la mesure de l’angle $(\vec{u},\vec{v})$

Si les deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls, on peut calculer le cosinus de l’angle qui les sépare. Donc, on on peut en déduire la mesure géométrique de l’angle qui les sépare.

Propriétés 5.
(PS5) : Si $\vec{u}\not=\vec{0}$ et $\vec{v}\not=\vec{0}$, alors : $$\boxed{\;\cos(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{||\vec{u}||\times||\vec{v}||}\;}$$

3. Symétrie et bilinéarité du produit scalaire

3.1. Rappel. Fonction linéaire

Définition 1.
Une fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ est dite linéaire si elle vérifie les deux conditions suivantes :
1°) Pour tous nombres réels $x$ et $x’$ : $\boxed{\;f(x+x’)=f(x)+f(x’)\;}$.
2°) Pour tous $x$ et tout $\alpha\in\R$ : $\boxed{\;f(\alpha x)=\alpha f(x)\;}$.
En particulier : une condition nécessaire pour qu’une fonction soit linéaire est que : $$\boxed{\;f(0)=0\;}$$

Définition 2.
Une fonction $f$ à deux variable est dite bilinéaire si et seulement si elle est linéaire par rapport à chacune des deux variables.

3.2. Symétrie du produit scalaire

Propriété 1. Le produit scalaire est symétrique
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan. Alors
(PS1) : $\quad\boxed{\; \vec{v}\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot\vec{v}\;}$

On dit que le produit scalaire est symétrique ou encore que le produit scalaire est commutatif.

3.3. Bilinéarité du produit scalaire

Propriété 2.
La fonction qui à tout couple de vecteurs $(\vec{u},\vec{v})$, fait correspondre leur produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$, est une fonction bilinéaire. C’est-à-dire, linéaire par rapport au premier vecteur et linéaire par rapport au deuxième vecteur :
Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ du plan et $\alpha\in\R$, on a les propriétés suivantes :
$\bullet$ Linéarité par rapport au premier vecteur :
(PS6a) : $\quad\boxed{\; \vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\;}$
(PS6b) : $\quad \boxed{\; (\alpha\vec{u})\cdot\vec{v}=\alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})\;}$
$\bullet$ Linéarité par rapport au deuxième vecteur :
(PS7a) : $\quad\boxed{\; (\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}\;}$
(PS7b) : $\quad \boxed{\; \vec{u}\cdot(\alpha\vec{v})=\alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})\;}$

Ces propriétés $P_6$ et $P_7$ expriment que le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition et par rapport à la soustraction.

Étant donné que le produit scalaire est commutatif, il suffit d’exprimer la linéarité par rapport au premier vecteur ou au deuxième vecteur. On peut regrouper les propriétés $P_6$ et $P_7$ en une seule de la manière suivante :

Propriété 3.
Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ du plan et tous réels $\alpha$ et $\beta\in\R$, on a les propriétés suivantes :
(PS8) : $\quad\boxed{\; \vec{u}\cdot(\alpha\vec{v}+\beta\vec{w})=\alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})+\beta(\vec{u}\cdot\vec{w})\;}$

Ces propriétés nous permettent d’utiliser les propriétés de distributivité, comme « une multiplication ordinaire ».

4. Application aux identités remarquables

On peut appliquer le calcul algébrique défini par les propriétés ci-dessus aux identités remarquables vues en 3ème puis en Seconde pour les nombres et en calcul littéral.

Propriétés des identités remarquables et produit scalaire.
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs dans l’espace. Alors :
(I.R.n°1) $\boxed{\;(\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}^2+2\vec{u}\vec{v}+\vec{v}^2\;}$
$\qquad\quad$ On rappelle que $\vec{u}^2= \vec{u}\cdot\vec{u}=||\vec{u}||^2$
(I.R.n°2) $\boxed{\;(\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}^2-2\vec{u}\vec{v}+\vec{v}^2\;}$
(I.R.n°3) $\boxed{\; (\vec{u}+\vec{v})(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}^2-\vec{v}^2\;}$

D’après les propriétés algébriques du produit scalaire, on a bien :
$\bullet$ Pour l’IRn°1, on sait que : $ \vec{v}\cdot\vec{u}= \vec{u}\cdot\vec{v}$. Donc :
$$\begin{array}{rcl}
(\vec{u}+\vec{v})^2&=&(\vec{u}+ \vec{v}) (\vec{u}+\vec{v}) \\
&=&\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u} + \vec{v}\cdot\vec{v} \\
&=& \vec{u}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v} +\vec{v}^2\\ \end{array}$$

$\bullet$ Pour l’IRn°2 :
$$\begin{array}{rcl}
(\vec{u}- \vec{v})^2&=&(\vec{u}- \vec{v}) (\vec{u}- \vec{v}) \\
&=& \vec{u}\cdot\vec{u} – \vec{u}\cdot\vec{v} – \vec{v}\cdot\vec{u} + \vec{v}\cdot\vec{v} \\
&=& \vec{u}^2-2\vec{u}\cdot\vec{v} +\vec{v}^2\\ \end{array}$$

$\bullet$ Pour l’IRn°3 :
$$\begin{array}{rcl}
(\vec{u}- \vec{v}) (\vec{u}+ \vec{v}) &=&\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v} \\
&=& \vec{u}^2-\vec{v}^2\\ \end{array}$$

4.1. Définition 2 du produit scalaire uniquement avec les normes

Dans toute la suite, le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Ce qui signifie que : $$\boxed{\;|| \vec{\imath} ||=1,~|| \vec{\jmath}||=1~\text{et l’angle}~( \vec{\imath}\, ; \vec{\jmath})=+\dfrac{\pi}{2}\;}$$ On passe de $\vec{\imath}$ à $\vec{\jmath}$ par un angle droit, dans le sens positif (le sens inverse des aiguilles d’une montre). Les angles sont mesurés à partir de la demi-droite $[Ox)$.

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan. Alors il existe deux points uniques $A$ et $B$ tels que : $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}~~\text{et}~~\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OB}$$

Le troisième côté du triangle correspond
à la différence des deux vecteurs.
$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$
donc : $\overrightarrow{BA}= \vec{u}-\vec{v}$

Définition 2
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O, \vec{\imath},\vec{\jmath})$. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs quelconques de l’espace. Alors le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre réel défini par : $$\boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(||\vec{u}||^2+ ||\vec{v}||^2-||\vec{u}-\vec{v}||^2\right)\;}~~\quad\text{(Déf.2)}$$

D’après l’identité remarquable n°2, on a bien : $$(\vec{u}- \vec{v})^2= \vec{u}^2-2 \vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2$$ Ce qui donne : $$||\vec{u}- \vec{v}||^2= ||\vec{u}||^2-2 \vec{u}\cdot\vec{v}+||\vec{v}||^2$$ ou encore : $$2 \vec{u}\cdot\vec{v}= ||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-||\vec{u}- \vec{v}||^2$$ Et, par conséquent : $$\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(||\vec{u}||^2+ ||\vec{v}||^2-||\vec{u}-\vec{v}||^2\right)$$
CQFD.

En fait cette définition du produit scalaire uniquement avec les normes se généralise facilement pour donner les produits scalaires de deux vecteurs formés par deux côtés d’un triangle, connaissant les longueurs des trois côtés (ou les normes des trois vecteurs). C’est le grand théoème d’AlKashi qui lui-même donne une généralisation du théoème de Pythagore à un triangle quelconque !

Théorème d’AlKashi
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$.
Soit $ABC$ un triangle quelconque. On note $AB=c$, $AC=b$ et $BC=a$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels strictement positifs. De même, on note les angles géométriques : $\widehat{A}=\widehat{BAC}$, $\widehat{B}=\widehat{ABC}$ et $\widehat{C}=\widehat{BCA}$. Alors :
(AK1) : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{A})$
(AK2) : $b^2=a^2+c^2-2ac\cos(\widehat{B})$
(AK3) : $c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\widehat{C})$.

La démonstration est analogue au calcul de l’exemple précédent.

D’après les propriétés algébriques du produit scalaire, on a bien :
$\bullet$ D’après la relation de Chasles et l’IRn°2, on sait que : $ \vec{v}\cdot\vec{u}= \vec{u}\cdot\vec{v}$. Donc :
$$\begin{array}{rcl}
a^2&=&\lVert\overrightarrow{BC}\rVert^2\\
&=&\overrightarrow{BC}^2 \\
&=&\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)^2\\
&=&\overrightarrow{AC}^2-2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}^2\\
&=&||\overrightarrow{AC}||^2-2\lVert\overrightarrow{AC}\rVert\times\lVert\overrightarrow{AB}\rVert\times\cos(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})+||\overrightarrow{AB}||^2\\
&=&b^2-2bc\cos(\widehat{BAC})+c^2\\
&=& b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{A})\\
\\ \end{array}$$ Par conséquent : $\qquad\boxed{~a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{A})~}$
D’une manière analogue, on démontre les deux autres égalités.
CQFD. $\blacktriangle$