Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan

Dans toute la suite, le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Ce qui signifie que : $$\boxed{\;|| \vec{\imath} ||=1,~|| \vec{\jmath}||=1~\text{et l’angle}~( \vec{\imath}\, ; \vec{\jmath})=+\dfrac{\pi}{2}\;}$$ On passe de $\vec{\imath}$ à $\vec{\jmath}$ par un angle droit, dans le sens positif (le sens inverse des aiguilles d’une montre). Les angles sont mesurés à partir de la demi-droite $[Ox)$.

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan. Alors il existe deux points uniques $A$ et $B$ tels que : $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}~~\text{et}~~\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OB}$$

Il y a essentiellement quatre manières de définir le produit scalaire de deux vecteurs.

  1. A l’aide des normes et de l’angle formé par les deux vecteurs ;
  2. A l’aide des normes uniquement ;
  3. A l’aide de la projection orthogonale de l’un des vecteurs sur la direction de l’autre ;
  4. A l’aide des coordonnées dans un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$.

1. Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan

1.1. Qu’est-ce qu’un scalaire ?

Tout d’abord, on appelle « scalaire » tout nombre réel.

En effet, en anglais, le verbe « to scale » signifie « mettre à l’échelle ». De même, le nom commun « a scale » signifie « une échelle ».

Un scalaire est donc un coefficient $k\in\R$ d’homothétie. C’est un coefficient d’agrandissement si $|~k~|>1$, ou de réduction si $0<|~k~|<1$ ou encore de symétrie centrale si $k<0$.

Par conséquent, les scalaires sont les nombres réels sans unité.

1.2. Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel

Définition 1.
On appelle produit scalaire des deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre réel noté $\vec{u}\cdot\vec{v}$ (lire « $\vec{u}$ scalaire $\vec{v}$ »), défini par : $$
\begin{array}{|l|}\hline
~\color{brown}{\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\cos(\theta)}~~~~\text{(Déf.1)}\\ \hline
~\color{brown}{\vec{u}\cdot\vec{v}=|| \overrightarrow{OA}||\times || \overrightarrow{OB} ||\cos( \widehat{AOB})}\\ \hline
\end{array}$$ où $\theta=(\vec{u},\vec{v})=\widehat{AOB}$, désigne l’angle orienté des deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

On peut en déduire que :

$\bullet$ Le produit scalaire est positif si et seulement si l’angle $(\vec{u},\vec{v})$ est aigu. $$ \vec{u}\cdot\vec{v}>0\quad\text{(ssi)}\quad -\dfrac{\pi}{2} < (\vec{u},\vec{v})<\dfrac{\pi}{2}~~(\text{modulo}~2\pi)$$

$\bullet$ Le produit scalaire est négatif si et seulement si l’angle $(\vec{u},\vec{v})$ est obtus. $$ \vec{u}\cdot\vec{v}<0\quad\text{(ssi)}\quad \dfrac{\pi}{2} < (\vec{u},\vec{v})<\dfrac{3\pi}{2}~~(\text{modulo}~2\pi)$$

Fig. 1.

EXEMPLES

Exercice résolu n°1.
Avec les notations de la figure 1 ci-dessus, on donne $OA=6$, $OB=4\sqrt{2}$, $OC=5$, $ \theta=\widehat{AOB}=\dfrac{\pi}{4}=45°$ et $\theta’\widehat{AOC}=\dfrac{2\pi}{3}=120°$.
1°) Calculer les produits scalaires des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
2°) Même question pour les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$.

1°) Calculer les produits scalaires des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
$$\begin{array}{rcl}
\vec{u}\cdot\vec{v}&=&\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} \\ &=& || \overrightarrow{OA}||\times || \overrightarrow{OB} ||\cos( \widehat{AOB}) \\
&=& OA\times OB\times \cos(\dfrac{\pi}{4}) \\
&=& 6\times 4\sqrt{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\
&=& 24\\ \end{array}$$
Conclusion. On en déduit que $$ \boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{v}=24\;}$$

1°) Calculer les produits scalaires des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$.
$$\begin{array}{rcl}
\vec{u}\cdot\vec{w}&=&\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC} \\ &=& || \overrightarrow{OA}||\times || \overrightarrow{OC} ||\cos( \widehat{AOC}) \\
&=& OA\times OC\times \cos(\dfrac{2\pi}{3}) \\
&=& 6\times 5\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)\\
&=& -15\\ \end{array}$$
Conclusion. On en déduit que $$ \boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{w}= -15\;}$$

2. Conséquences immédiates

2.1. Le produit scalaire est commutatif

Propriété 1.
Le produit scalaire est commutatif.
(PS1) : $\quad$ $\boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}\;}$

Immédiat. On sait que la fonction cosinus est une fonction paire. Donc : $\cos( \vec{u};\vec{v})=\cos(\vec{v};\vec{u})$.

2.2. Vecteurs orthogonaux. Caractérisation de l’orthogonalité

Définition 2.
Deux vecteurs $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{OB}$ sont dit orthogonaux si, et seulement si, ils ont des directions perpendiculaires. On note : $$\vec{u}\perp\vec{v}~~\text{si, et seulement si,}~~(OA)\perp(OB)$$

Propriété 2. Orthogonalité et produit scalaire.
Deux vecteurs sont orthogonaux, si et seulement si, leur produit scalaire est égal à $0$.
(PS2) : $\quad$ $\boxed{\;\vec{u}\perp\vec{v}~\text{si, et seulement si}~\vec{u}\cdot\vec{v}=0\;}$

En effet : $\vec{u}\perp\vec{v}$ si, et seulement si, $(\vec{u},\vec{v})=\pm\dfrac{\pi}{2}$ si, et seulement si, $\cos(\vec{u},\vec{v})=0$ si, et seulement si, $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.

2.3. Vecteurs colinéaires

Propriétés 3.
$\bullet$ Si deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de même sens, alors :
(PS3) : $\quad$ $\boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\times||\vec{v}|| \;}$
$\bullet$ Si deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de sens contraires, alors :
(PS3bis) : $~~\boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{v}=-||\vec{u}||\times||\vec{v}|| \;}$

En effet, deux vecteurs colinéaires de même sens $\vec{u}$ et $\vec{v}$, forment un angle égal à $0$ (modulo $2\pi$), donc $\cos(0)=1$.

Et deux vecteurs colinéaires de sens contraires $\vec{u}$ et $\vec{v}$, forment un angle égal à $\pi$ ou $-\pi$ (modulo $2\pi$), donc $\cos(\pi)=-1$.

2.4. Carré scalaire d’un vecteur

Définition 3.
Soit $\vec{u}$ un vecteur du plan. On appelle carré scalaire de $\vec{u}$ et on note $\vec{u}^2$ le nombre réel : $$\boxed{\;\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}\;}$$

Donc, d’après la propriété (PS3) on peut énoncer :

Propriété 4.
(PS4) : $\quad$ $\boxed{\;\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}=||\vec{u}||^2\;}$

2.5. Calcul de la mesure de l’angle $(\vec{u},\vec{v})$

Si les deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls, on peut calculer le cosinus de l’angle qui les sépare. Donc, on on peut en déduire la mesure géométrique de l’angle qui les sépare.

Propriétés 5.
(PS5) : Si $\vec{u}\not=\vec{0}$ et $\vec{v}\not=\vec{0}$, alors : $$\boxed{\;\cos(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{||\vec{u}||\times||\vec{v}||}\;}$$

2.6. Symétrie et bilinéarité du produit scalaire

Propriétés algébriques.
Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs du plan et $\alpha$ un réel. On a les propriétés suivantes :
Commutativité du p.s. :
(PS1) : $\quad\boxed{\; \vec{v}\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot\vec{v}\;}$
Distributivité du p.s. par rapport à l’addition et la soustraction :
(PS6) : $\quad\boxed{\; \vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\;}$
(PS6bis) : $~\boxed{\; \vec{u}\cdot(\vec{v}-\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{u}\cdot\vec{w}\;}$
Propriété importante :
(PS7) : $\quad \boxed{\; (\alpha\vec{u})\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot(\alpha\vec{v})=\alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})\;}$

2.7. Application aux identités remarquables

On peut appliquer le calcul algébrique défini par les propriétés ci-dessus aux identités remarquables vues en 3ème puis en Seconde pour les nombres et en calcul littéral.

Propriétés des identités remarquables et produit scalaire.
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs dans l’espace. Alors :
(I.R.n°1) $\boxed{\;(\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}^2+2\vec{u}\vec{v}+\vec{v}^2\;}$
$\qquad\quad$ On rappelle que $\vec{u}^2= \vec{u}\cdot\vec{u}=||\vec{u}||^2$
(I.R.n°2) $\boxed{\;(\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}^2-2\vec{u}\vec{v}+\vec{v}^2\;}$
(I.R.n°3) $\boxed{\; (\vec{u}+\vec{v})(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}^2-\vec{v}^2\;}$

D’après les propriétés algébriques du produit scalaire, on a bien :
$\bullet$ Pour l’IRn°1, on sait que : $ \vec{v}\cdot\vec{u}= \vec{u}\cdot\vec{v}$. Donc :
$$\begin{array}{rcl}
(\vec{u}+\vec{v})^2&=&(\vec{u}+ \vec{v}) (\vec{u}+\vec{v}) \\
&=&\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u} + \vec{v}\cdot\vec{v} \\
&=& \vec{u}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v} +\vec{v}^2\\ \end{array}$$

$\bullet$ Pour l’IRn°2 :
$$\begin{array}{rcl}
(\vec{u}- \vec{v})^2&=&(\vec{u}- \vec{v}) (\vec{u}- \vec{v}) \\
&=& \vec{u}\cdot\vec{u} – \vec{u}\cdot\vec{v} – \vec{v}\cdot\vec{u} + \vec{v}\cdot\vec{v} \\
&=& \vec{u}^2-2\vec{u}\cdot\vec{v} +\vec{v}^2\\ \end{array}$$

$\bullet$ Pour l’IRn°3 :
$$\begin{array}{rcl}
(\vec{u}- \vec{v}) (\vec{u}+ \vec{v}) &=&\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v} \\
&=& \vec{u}^2-\vec{v}^2\\ \end{array}$$

4.1. Définition 2 du produit scalaire uniquement avec les normes

Dans toute la suite, le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Ce qui signifie que : $$\boxed{\;|| \vec{\imath} ||=1,~|| \vec{\jmath}||=1~\text{et l’angle}~( \vec{\imath}\, ; \vec{\jmath})=+\dfrac{\pi}{2}\;}$$ On passe de $\vec{\imath}$ à $\vec{\jmath}$ par un angle droit, dans le sens positif (le sens inverse des aiguilles d’une montre). Les angles sont mesurés à partir de la demi-droite $[Ox)$.

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan. Alors il existe deux points uniques $A$ et $B$ tels que : $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}~~\text{et}~~\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OB}$$

Le troisième côté du triangle correspond
à la différence des deux vecteurs.
$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$
donc : $\overrightarrow{BA}= \vec{u}-\vec{v}$

Définition 2
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O, \vec{\imath},\vec{\jmath})$. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs quelconques de l’espace. Alors le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre réel défini par : $$\boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(||\vec{u}||^2+ ||\vec{v}||^2-||\vec{u}-\vec{v}||^2\right)\;}~~\quad\text{(Déf.2)}$$

D’après l’identité remarquable n°2, on a bien : $$(\vec{u}- \vec{v})^2= \vec{u}^2-2 \vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2$$ Ce qui donne : $$||\vec{u}- \vec{v}||^2= ||\vec{u}||^2-2 \vec{u}\cdot\vec{v}+||\vec{v}||^2$$ ou encore : $$2 \vec{u}\cdot\vec{v}= ||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-||\vec{u}- \vec{v}||^2$$ Et, par conséquent : $$\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(||\vec{u}||^2+ ||\vec{v}||^2-||\vec{u}-\vec{v}||^2\right)$$
CQFD.

En fait cette définition du produit scalaire uniquement avec les normes se généralise facilement pour donner les produits scalaires de deux vecteurs formés par deux côtés d’un triangle, connaissant les longueurs des trois côtés (ou les normes des trois vecteurs). C’est le grand théoème d’AlKashi qui lui-même donne une généralisation du théoème de Pythagore à un triangle quelconque !

Théorème d’AlKashi
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$.
Soit $ABC$ un triangle quelconque. On note $AB=c$, $AC=b$ et $BC=a$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels strictement positifs. De même, on note les angles géométriques : $\widehat{A}=\widehat{BAC}$, $\widehat{B}=\widehat{ABC}$ et $\widehat{C}=\widehat{BCA}$. Alors :
(AK1) : $c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\widehat{A})$
(AK2) : $b^2=a^2+c^2-2ac\cos(\widehat{B})$
(AK3) : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{C})$.

La démonstration est analogue au calcul de l’exemple précédent.

D’après les propriétés algébriques du produit scalaire, on a bien :
$\bullet$ Pour l’IRn°1, on sait que : $ \vec{v}\cdot\vec{u}= \vec{u}\cdot\vec{v}$. Donc :
$$\begin{array}{rcl}
(\vec{u}+\vec{v})^2&=&(\vec{u}+ \vec{v}) (\vec{u}+\vec{v}) \\
&=&\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u} + \vec{v}\cdot\vec{v} \\
&=& \vec{u}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v} +\vec{v}^2\\ \end{array}$$

$\bullet$ Pour l’IRn°2 :
$$\begin{array}{rcl}
(\vec{u}- \vec{v})^2&=&(\vec{u}- \vec{v}) (\vec{u}- \vec{v}) \\
&=& \vec{u}\cdot\vec{u} – \vec{u}\cdot\vec{v} – \vec{v}\cdot\vec{u} + \vec{v}\cdot\vec{v} \\
&=& \vec{u}^2-2\vec{u}\cdot\vec{v} +\vec{v}^2\\ \end{array}$$

$\bullet$ Pour l’IRn°3 :
$$\begin{array}{rcl}
(\vec{u}- \vec{v}) (\vec{u}+ \vec{v}) &=&\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v} \\
&=& \vec{u}^2-\vec{v}^2\\ \end{array}$$