Vecteur normal à une droite
1. Définition et premières propriétés d’un vecteur normal à une droite
Dans toute la suite, le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$.
Définition 1.
Soit $d$ une droite dans le plan est muni du repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ et $A$ et $B$ deux points de la droite $d$.
Alors, le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à la droite $d$, si et seulement si la direction du vecteur $\overrightarrow{n}$ est perpendiculaire à $d$.

Propriété 1.
Soit $d$ une droite dans le plan est muni du repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à la droite $d=(AB)$, si et seulement si : $$\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{AB}~~\text{(ssi)}~~ \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{AB}=0$$
Propriété 2.
Le plan est muni du repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Soit $d$ la droite d’équation cartésienne : $ax+by=c$.
Alors le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées : $$\boxed{\;\;\overrightarrow{n}\dbinom{a}{b}\;\;}$$ est un vecteur normal à la droite $d$.
2. Équation d’une droite connaissant un point et un vecteur normal.
Propriété 3.
Le plan est muni du repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Soient $A(x_A;y_A)$ et un point fixé du plan et $\overrightarrow{n}$ le vecteur de coordonnées $\overrightarrow{n}\dbinom{a}{b}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels donnés. Alors la droite $d$ passant par $A$ et ayant $\overrightarrow{n}$ pour vecteur normal est donnée par : $$ \boxed{\;\; ax+by=c \;\;} ~~\text{où}~~ \boxed{\;\;c=ax_A+by_A\;\;}$$
3. Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
Soit $d$ la droite d’équation : $2x-3y=5$.
1°) Déterminer un vecteur normal de la droite $d$.
2°) Déterminer un vecteur directeur de la droite $d$.
Exercice résolu n°2.
Déterminer l’équation réduite de la droite $d$ passant par le point $A(2,5)$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}\dbinom{4}{-3}$
Exercice résolu n°3.
Le plan est muni du repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Soit $d$ la droite $d$ d’équation $3x-2y=3$ et $A(6,1)$ un point du plan.
Déterminez les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $A$ sur $d$.
Vues : 1358