Vecteur normal à une droite

1. Définition et premières propriétés d’un vecteur normal à une droite

Dans toute la suite, le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$.

Définition 1.
Soit $d$ une droite dans le plan est muni du repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ et $A$ et $B$ deux points de la droite $d$.
Alors, le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à la droite $d$, si et seulement si la direction du vecteur $\overrightarrow{n}$ est perpendiculaire à $d$.

Propriété 1.
Soit $d$ une droite dans le plan est muni du repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à la droite $d=(AB)$, si et seulement si : $$\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{AB}~~\text{(ssi)}~~ \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{AB}=0$$

Propriété 2.
Le plan est muni du repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Soit $d$ la droite d’équation cartésienne : $ax+by=c$.
Alors le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées : $$\boxed{\;\;\overrightarrow{n}\dbinom{a}{b}\;\;}$$ est un vecteur normal à la droite $d$.

Soit $d$ la droite d’équation cartésienne : $ax+by=c$.
On sait que le vecteur $\overrightarrow{u}\dbinom{-b}{a}$ est un vecteur directeur de la droite $d$. Soit $\overrightarrow{n}\dbinom{a}{b}$. On a alors :
$$\begin{array}{rcl}
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n}&=&(-b)\times a+a\times b\\
&=&-ba+ab = 0\\ \end{array}$$ Par conséquent, $$\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{AB}$$
Ce qui montre que le vecteur $\overrightarrow{n}\dbinom{a}{b}$ est bien un vecteur normal à la droite $d$ d’équation cartésienne : $ax+by=c$.
CQFD.


2. Équation d’une droite connaissant un point et un vecteur normal.

Propriété 3.
Le plan est muni du repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Soient $A(x_A;y_A)$ et un point fixé du plan et $\overrightarrow{n}$ le vecteur de coordonnées $\overrightarrow{n}\dbinom{a}{b}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels donnés. Alors la droite $d$ passant par $A$ et ayant $\overrightarrow{n}$ pour vecteur normal est donnée par : $$ \boxed{\;\; ax+by=c \;\;} ~~\text{où}~~ \boxed{\;\;c=ax_A+by_A\;\;}$$

Le plan est muni du repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Soient $A(x_A;y_A)$ un point fixé du plan et $\overrightarrow{n}$ le vecteur de coordonnées $\overrightarrow{n}\dbinom{a}{b}$.

Soit $M(x;y)$ un point quelconque du plan. Alors, on a : $$\overrightarrow{n}\dbinom{x-x_A}{y-y_A}~~\text{et}~~ \overrightarrow{n}\dbinom{a}{b}$$
$$\begin{array}{rcl}
M\in d &\text{(ssi)}&\text{Les vecteurs}~\overrightarrow{AM}~\text{et}~\overrightarrow{n}~\text{sont orthogonaux}\\
&\text{(ssi)}& \overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{AM}\\
&\text{(ssi)}& a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\\
&\text{(ssi)}& ax-ax_A+by-by_A=0\\
&\text{(ssi)}& ax+by=ax_A+by_A\\
&\text{(ssi)}& ax+by=c~~\text{avec}~~c=ax_A+by_A~~\text{(forme générale)}\\ \end{array}$$
Conclusion. L’équation générale de la droite $d$ passant par $A$ et ayant $\overrightarrow{n}\dbinom{a}{b}$ pour vecteur normal est : $$\boxed{\; ax+by=c\;}~~\text{avec}~~\boxed{\; c=ax_A+by_A\;}$$ CQFD.

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Soit $d$ la droite d’équation : $2x-3y=5$.
1°) Déterminer un vecteur normal de la droite $d$.
2°) Déterminer un vecteur directeur de la droite $d$.

1°) Recherche d’un vecteur normal de la droite $d$.
La droite $d$ a pour équation : $2x-3y=5$, avec $a=2$, $b=-3$ et $c=5$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ ayant pour coordonnées « les coefficients de $x$ et de $y$ respectivement » dans l’équation générale, est un vecteur normal à la droite $d$.
Par conséquent, $\overrightarrow{n}\dbinom{2}{-3}$ est un vecteur normal de la droite $d$


2°) Recherche d’un vecteur directeur de la droite $d$.
La droite $d$ a pour équation : $2x-3y=5$, avec $a=2$, $b=-3$ et $c=5$.
Le vecteur $\overrightarrow{u}\dbinom{-b}{a}$ est un vecteur directeur de la droite $d$.
Par conséquent, $\overrightarrow{u}\dbinom{3}{2}$ est un vecteur normal de la droite $d$

Vérification.
Les deux vecteurs $\overrightarrow{n}\dbinom{2}{-3}$ et $\overrightarrow{u}\dbinom{3}{2}$ sont bien orthogonaux. En effet : $$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{n}=2\times3+(-3)\times2=6-6=0$$.
Donc : $$\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{u}$$


Exercice résolu n°2.
Déterminer l’équation réduite de la droite $d$ passant par le point $A(2,5)$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}\dbinom{4}{-3}$

Nous disposons de deux méthodes pour répondre à cette question.

1ère méthode. On sait que l’équation de la droite $d$ est de la forme $ax+by=c$, où $a$ et $b$ sont l’abscisse et l’ordonnée du vecteur normal $\overrightarrow{n}$. Donc $a=4$ et $b=-3$. Donc l’équation de $d$ est de la forme $4x-3y=c$.

Pour déterminer $c$, on sait que $A(2;5)\in d$.
Donc : $4x_A-3y_A=c$, ou encore $4\times2-3\times5=c$. Ce qui donne : $c=-7$.

Par conséquent, l’équation générale de la droite $d$ est $$\boxed{\;\;4x-3y=-7\;\;}$$
Cherchons maintenant l’équation réduite de $d$. Il faut isoler $y$. On a alors : $-3y=-4x-7$. Donc : $3y=4x+7$. Puis on divise par $3$ pour trouver $y$. Ce qui donne : $y= \dfrac{4}{3}x+\dfrac{7}{3}$.
Conclusion. L’équation réduite de la droite $d$ est : $$\boxed{\;y= \dfrac{4}{3}x+\dfrac{7}{3} \;}$$ CQFD.

2ème méthode. On utilise la méthode générale.
Soit $M$ un point quelconque du plan. On a alors : $$\overrightarrow{AM}\dbinom{x-2}{y-5}~~\text{et}~~\overrightarrow{n}\dbinom{4}{-3}$$
On a les équivalences suivantes :
$$\begin{array}{rcl}
M\in d &\text{(ssi)}&\text{Les vecteurs}~\overrightarrow{AM}~\text{et}~\overrightarrow{n}~\text{sont orthogonaux}\\
&\text{(ssi)}& \overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{n}\\
&\text{(ssi)}& \overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{n}=0\\
&\text{(ssi)}& 4(x-2)-3(y-5)=0\\
&\text{(ssi)}& 4x-8-3y+15=0\\
&\text{(ssi)}& 4x-3y+7=0\\
&\text{(ssi)}& 4x-3y=-7~~\text{(forme générale)}\\
&\text{(ssi)}& -3y=-4x-7 ~~\text{on isole }y\\
&\text{(ssi)}& y=\dfrac{-4}{-3}x-\dfrac{7}{-3} ~~\text{on divise par }-3\\
&\text{(ssi)}& y= \dfrac{4}{3}x+\dfrac{7}{3} ~~\text{(forme réduite)} \\
\end{array}$$
Conclusion. L’équation réduite de la droite $d$ est : $$\boxed{\;y= \dfrac{4}{3}x+\dfrac{7}{3} \;}$$ CQFD.


Exercice résolu n°3.
Le plan est muni du repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Soit $d$ la droite $d$ d’équation $3x-2y=3$ et $A(6,1)$ un point du plan.
Déterminez les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $A$ sur $d$.

Tout d’abord, $A\not\in d$, puisque $3\times6-2\times 1=18-2=16\not=3$.
Soit $H(x;y)$ le projeté orthogonal de $A$ sur $d$. On a donc :
$$\overrightarrow{AH}\dbinom{x-6}{y-1}$$ De plus, un vecteur directeur de la droite $d$ a pour coordonnées : $\overrightarrow{u}\binom{-b}{a}$. Donc : $$\overrightarrow{n}\dbinom{2}{3}$$
On a les équivalences suivantes :

$\begin{array}{l}
H~\text{est le projeté orthogonal de A sur }~d\\
\text{(ssi)}~~ H \in d~~\text{et}~~\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{u} \\
\text{(ssi)}~~\left\lbrace\begin{array}{rcl}
3x-2y=3\\ \overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{u}=0 \\
\end{array}\right. \\
\text{(ssi)}~~\left\lbrace\begin{array}{l}
3x-2y=3\\ 2(x-6)+3(y-1)=0 \\
\end{array}\right. \\
\text{(ssi)}~~\left\lbrace\begin{array}{l}
3x-2y=3\\ 2x-12+3y-3=0 \\
\end{array}\right. \\
\text{(ssi)}~~\left\lbrace\begin{array}{l}
3x-2y=3\\ 2x+3y=15 \\
\end{array}\right. \\
\end{array}$
On résout ce système par combinaison. On multiplie la première équation par $3$ et la deuxième par $2$.
On obtient : $\left\lbrace\begin{array}{l}
9x-6y=9\\ 4x+6y=30 \\
\end{array}\right.$
Donc : $\left\lbrace\begin{array}{l}
3x-2y=3\\ 13x+0y=39 \\
\end{array}\right.$
Donc : $\left\lbrace\begin{array}{l}
3x-2y=3\\ x=3 \\
\end{array}\right.$
Donc : $\left\lbrace\begin{array}{l}
x=3\\ y=3 \\
\end{array}\right.$

Conclusion. Les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $A$ sur $d$ sont : $$\boxed{\;\; H(3;3)\;\;}$$