Symétrie et bilinéarité du produit scalaire. Propriétés algébriques

  1. Cours et exercices en pdf. Fiche BAC n°8.
  2. Produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace. Vecteurs orthogonaux. Caractérisation de l’orthogonalité
  3. Bilinéarité, symétrie du produit scalaire. Propriétés algébriques
  4. Produit scalaire et normes de vecteurs. Formules de polarisation. Théorème d’AlKashi
  5. Produit scalaire et projection orthogonale
  6. Expressions du produit scalaire dans une base orthonormée directe
  7. Vecteur normal à un plan. Équations cartésiennes dans l’espace

3.1. Symétrie du produit scalaire

Propriété 1. Le produit scalaire est symétrique
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan ou de l’espace. Alors
(PS1) : $\quad\boxed{\; \vec{v}\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot\vec{v}\;}$

On dit que le produit scalaire est symétrique ou encore que le produit scalaire est commutatif.

La fonction cosinus étant paire, pour tout angle $\theta\in\R$ : $\cos(-\theta)=\cos\theta$. Donc :
$$\begin{array}{rcl}
\vec{u}\cdot\vec{v}&=&||\vec{u}||\times||\vec{v}||\times\cos\theta\\
&=&||\vec{v}||\times||\vec{u}||\times\cos(-\theta)\\
&=& \vec{v}\cdot\vec{u}\end{array}$$ CQFD.$\blacktriangle$

3.2. Rappel. Fonctions linéaires

Définition 1.
Une fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ est dite linéaire si elle vérifie les deux conditions suivantes :
1°) Pour tous nombres réels $x$ et $x’$ : $\boxed{\;f(x+x’)=f(x)+f(x’)\;}$.
2°) Pour tous $x$ et tout $\alpha\in\R$ : $\boxed{\;f(\alpha x)=\alpha f(x)\;}$.
En particulier : une condition nécessaire pour qu’une fonction soit linéaire est que : $$\boxed{\;f(0)=0\;}$$

Définition 2.
Une fonction $f$ à deux variable est dite bilinéaire si et seulement si elle est linéaire par rapport à chacune des deux variables (en considérant l’autre comme constante)

3.3. Bilinéarité du produit scalaire

Le produit scalaire est une fonction à deux variables. Dans la propriété suivante, nous démontrons que le produit scalaire est une fonction linéaire par rapport à chacune de ses variables.

Propriété 2.
La fonction qui à tout couple de vecteurs $(\vec{u},\vec{v})$, fait correspondre leur produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$, est une fonction bilinéaire. C’est-à-dire, linéaire par rapport au premier vecteur et linéaire par rapport au deuxième vecteur :
Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ du plan ou de l’espace et $\alpha\in\R$, on a les propriétés suivantes :
$\bullet$ Linéarité par rapport au premier vecteur :
(PS6a) : $\quad\boxed{\; (\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}\;}$
(PS6b) : $\quad \boxed{\; (\alpha\vec{u})\cdot\vec{v}=\alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})\;}$
$\bullet$ Linéarité par rapport au deuxième vecteur :
(PS7a) : $\quad\boxed{\; \vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\;}$
(PS7b) : $\quad \boxed{\; \vec{u}\cdot(\alpha\vec{v})=\alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})\;}$

Ces propriétés $P_{6a}$ et $P_{7a}$ expriment que le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition et par rapport à la soustraction.

Étant donné que le produit scalaire est commutatif, il suffit d’exprimer la linéarité par rapport au premier vecteur ou au deuxième vecteur. On peut regrouper les propriétés $P_6$ et $P_7$ en une seule de la manière suivante :

Propriété 3.
Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ du plan ou de l’espace et tous réels $\alpha$ et $\beta\in\R$, on a les propriétés suivantes :
(PS8) : $\quad\boxed{\; \vec{u}\cdot(\alpha\vec{v}+\beta\vec{w})=\alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})+\beta(\vec{u}\cdot\vec{w})\;}$

Ces propriétés nous permettent d’utiliser les propriétés de distributivité, comme « une multiplication ordinaire ».

4. Application aux identités remarquables

On peut appliquer le calcul algébrique défini par les propriétés ci-dessus aux identités remarquables vues en 3ème puis en Seconde pour les nombres et en calcul littéral.

Propriétés. Identités remarquables et produit scalaire.
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs dans l’espace. On rappelle que $\vec{u}^2= \vec{u}\cdot\vec{u}=||\vec{u}||^2$ s’appelle le carré scalaire de $\vec{u}$. Alors :
$$\begin{array}{rcl}
{\textbf (I.R.n°1)} &\boxed{\;(\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}^2+2\vec{u}\vec{v}+\vec{v}^2\;} &(1)\\
{\textbf (I.R.n°2)} &\boxed{\;(\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}^2-2\vec{u}\vec{v}+\vec{v}^2\;}&(2)\\
{\textbf (I.R.n°3)} &\boxed{\; (\vec{u}+\vec{v})(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}^2-\vec{v}^2\;}&(3)\\ \end{array}$$

D’après les propriétés algébriques du produit scalaire, on a bien :
$\bullet$ Pour l’IRn°1, on sait que : $ \vec{v}\cdot\vec{u}= \vec{u}\cdot\vec{v}$. Donc :
$$\begin{array}{rcl}
(\vec{u}+\vec{v})^2&=&(\vec{u}+ \vec{v}) (\vec{u}+\vec{v}) \\
&=&\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u} + \vec{v}\cdot\vec{v} \\
&=& \vec{u}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v} +\vec{v}^2\\ \end{array}$$

$\bullet$ Pour l’IRn°2 :
$$\begin{array}{rcl}
(\vec{u}- \vec{v})^2&=&(\vec{u}- \vec{v}) (\vec{u}- \vec{v}) \\
&=& \vec{u}\cdot\vec{u} – \vec{u}\cdot\vec{v} – \vec{v}\cdot\vec{u} + \vec{v}\cdot\vec{v} \\
&=& \vec{u}^2-2\vec{u}\cdot\vec{v} +\vec{v}^2\\ \end{array}$$

$\bullet$ Pour l’IRn°3 :
$$\begin{array}{rcl}
(\vec{u}- \vec{v}) (\vec{u}+ \vec{v}) &=&\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v} \\
&=& \vec{u}^2-\vec{v}^2\\ \end{array}$$

Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan ou de l’espace tels que :
$||\vec{u}||=4$, $\vec{v}=3$ et $\vec{u}\cdot\vec{v}=-2$.
Calculer expressions suivantes :
$A=(\vec{u}+\vec{v})^2$ ; $B= ||\vec{u}-\vec{v}||^2$.

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