Symétrie et bilinéarité du produit scalaire. Propriétés algébriques


3.1. Symétrie du produit scalaire

Propriété 1. Le produit scalaire est symétrique
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan ou de l’espace. Alors
(PS1) : $\quad\boxed{\; \vec{v}\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot\vec{v}\;}$


On dit que le produit scalaire est symétrique ou encore que le produit scalaire est commutatif.

La fonction cosinus étant paire, pour tout angle $\theta\in\R$ : $\cos(-\theta)=\cos\theta$. Donc :
$$\begin{array}{rcl}
\vec{u}\cdot\vec{v}&=&||\vec{u}||\times||\vec{v}||\times\cos\theta\\
&=&||\vec{v}||\times||\vec{u}||\times\cos(-\theta)\\
&=& \vec{v}\cdot\vec{u}\end{array}$$ CQFD.$\blacktriangle$


3.2. Rappel. Fonctions linéaires

Définition 1.
Une fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ est dite linéaire si elle vérifie les deux conditions suivantes :
1°) Pour tous nombres réels $x$ et $x’$ : $\boxed{\;f(x+x’)=f(x)+f(x’)\;}$.
2°) Pour tous $x$ et tout $\alpha\in\R$ : $\boxed{\;f(\alpha x)=\alpha f(x)\;}$.
En particulier : une condition nécessaire pour qu’une fonction soit linéaire est que : $$\boxed{\;f(0)=0\;}$$

Définition 2.
Une fonction $f$ à deux variable est dite bilinéaire si et seulement si elle est linéaire par rapport à chacune des deux variables (en considérant l’autre comme constante)

3.3. Bilinéarité du produit scalaire

Le produit scalaire est une fonction à deux variables. Dans la propriété suivante, nous démontrons que le produit scalaire est une fonction linéaire par rapport à chacune de ses variables.

Propriété 2.
La fonction qui à tout couple de vecteurs $(\vec{u},\vec{v})$, fait correspondre leur produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$, est une fonction bilinéaire. C’est-à-dire, linéaire par rapport au premier vecteur et linéaire par rapport au deuxième vecteur :
Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ du plan ou de l’espace et $\alpha\in\R$, on a les propriétés suivantes :
$\bullet$ Linéarité par rapport au premier vecteur :
(PS6a) : $\quad\boxed{\; (\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}\;}$
(PS6b) : $\quad \boxed{\; (\alpha\vec{u})\cdot\vec{v}=\alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})\;}$
$\bullet$ Linéarité par rapport au deuxième vecteur :
(PS7a) : $\quad\boxed{\; \vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\;}$
(PS7b) : $\quad \boxed{\; \vec{u}\cdot(\alpha\vec{v})=\alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})\;}$

Ces propriétés $P_{6a}$ et $P_{7a}$ expriment que le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition et par rapport à la soustraction.

Étant donné que le produit scalaire est commutatif, il suffit d’exprimer la linéarité par rapport au premier vecteur ou au deuxième vecteur. On peut regrouper les propriétés $P_6$ et $P_7$ en une seule de la manière suivante :

Propriété 3.
Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ du plan ou de l’espace et tous réels $\alpha$ et $\beta\in\R$, on a les propriétés suivantes :
(PS8) : $\quad\boxed{\; \vec{u}\cdot(\alpha\vec{v}+\beta\vec{w})=\alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})+\beta(\vec{u}\cdot\vec{w})\;}$

Ces propriétés nous permettent d’utiliser les propriétés de distributivité, comme « une multiplication ordinaire ».

4. Application aux identités remarquables

On peut appliquer le calcul algébrique défini par les propriétés ci-dessus aux identités remarquables vues en 3ème puis en Seconde pour les nombres et en calcul littéral.

Propriétés. Identités remarquables et produit scalaire.
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs dans l’espace. On rappelle que $\vec{u}^2= \vec{u}\cdot\vec{u}=||\vec{u}||^2$ s’appelle le carré scalaire de $\vec{u}$. Alors :
$$\begin{array}{rcl}
{\textbf (I.R.n°1)} &\boxed{\;(\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}^2+2\vec{u}\vec{v}+\vec{v}^2\;} &(1)\\
{\textbf (I.R.n°2)} &\boxed{\;(\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}^2-2\vec{u}\vec{v}+\vec{v}^2\;}&(2)\\
{\textbf (I.R.n°3)} &\boxed{\; (\vec{u}+\vec{v})(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}^2-\vec{v}^2\;}&(3)\\ \end{array}$$

D’après les propriétés algébriques du produit scalaire, on a bien :
$\bullet$ Pour l’IRn°1, on sait que : $ \vec{v}\cdot\vec{u}= \vec{u}\cdot\vec{v}$. Donc :
$$\begin{array}{rcl}
(\vec{u}+\vec{v})^2&=&(\vec{u}+ \vec{v}) (\vec{u}+\vec{v}) \\
&=&\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u} + \vec{v}\cdot\vec{v} \\
&=& \vec{u}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v} +\vec{v}^2\\ \end{array}$$

$\bullet$ Pour l’IRn°2 :
$$\begin{array}{rcl}
(\vec{u}- \vec{v})^2&=&(\vec{u}- \vec{v}) (\vec{u}- \vec{v}) \\
&=& \vec{u}\cdot\vec{u} – \vec{u}\cdot\vec{v} – \vec{v}\cdot\vec{u} + \vec{v}\cdot\vec{v} \\
&=& \vec{u}^2-2\vec{u}\cdot\vec{v} +\vec{v}^2\\ \end{array}$$

$\bullet$ Pour l’IRn°3 :
$$\begin{array}{rcl}
(\vec{u}- \vec{v}) (\vec{u}+ \vec{v}) &=&\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v} \\
&=& \vec{u}^2-\vec{v}^2\\ \end{array}$$

Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan ou de l’espace tels que :
$||\vec{u}||=4$, $\vec{v}=3$ et $\vec{u}\cdot\vec{v}=-2$.
Calculer expressions suivantes :
$A=(\vec{u}+\vec{v})^2$ ; $B= ||\vec{u}-\vec{v}||^2$.