Comment déterminer un vecteur directeur d’une droite ?

1. On connaît les coordonnées de deux points

Théorème 1.
Soient $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère du plan et $d$ une droite du plan.
Soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ deux points distincts de $d$. Alors le vecteur $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$, est un vecteur directeur de la droite $d$, dont les coordonnées sont : $$\boxed{\; \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}\dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A}\;}$$

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$

2. On connaît l’équation de la droite

Théorème 2.
Soit $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère du plan et $d$ une droite d’équation $ax+by=c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels donnés. Alors les vecteurs $$\boxed{\;\overrightarrow{u}\dbinom{-b}{a}~~\text{et}~~\overrightarrow{u’}\dbinom{b}{-a}\;}$$ et tout vecteur qui leur est colinéaire, sont des vecteurs directeurs de la droite $d$.

Démonstration :
On cherche les coordonnées de deux points distincts $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ de la droite $d$.
On a : $A(x_A;y_A)\in d$ donc $ax_A+by_A=c$. (1)
et $B(x_B;y_B)\in d$ donc $ax_B+by_B=c$. (2)
On sait alors que $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $d$.

Montrons que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.
On sait que $\overrightarrow{AB}\dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A}$ et $\overrightarrow{u} \dbinom{-b}{a}$.
On calcule la différence des produits en croix, en tenant compte des égalités (1) et (2). $$\begin {array}{l}
(x_B-x_A)\times a-(-b)\times(y_B-y_A)\\
=ax_B-ax_A+by_B-by_A\\
= (ax_B+by_B)-(ax_A+by_B)\\
=c-c=0\\
\end{array}$$ CQFD

3. On connaît le coefficient directeur $m$ de la droite :

Théorème 3.
Soit $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère du plan et $d$ une droite dont on connaît le coefficient directeur $m$. Alors le vecteur $$\boxed{\;\overrightarrow{u}\dbinom{1}{m}\;}$$ est un vecteur directeur de la droite $d$.

C’est un cas particulier du théorème précédent.

La droite n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. Son équation réduite s’écrit sous la forme : $y=mx+p$ où $p$ est un nombre réel donné.

La forme générale de cette équation est : $-mx+1y=p$, ou encore $mx-1y=-p$ avec $a=m$ ; $b=-1$ et $c=-p$.

D’après le théorème précédent, un vecteur directeur de la droite $d$ est donné par : $\overrightarrow{u}\dbinom{-b}{a}$. Donc $$ \boxed{\; \overrightarrow{u}\dbinom{1}{m}\;}$$

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. Soit $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère du plan.
Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ de la droite $d$ passant par les points $A(2;3)$ et $B(5;-1)$.

La droite $d$ passe par les points $A(2;3)$ et $B(5;-1)$, donc $\overrightarrow{u}= \overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite $d$.
Or les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont données par la formule : $\overrightarrow{AB}\dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A}$. On a alors :
$$\left\lbrace\begin{array}{l}x_B-x_A =5-2=\boxed{\;3\;} \\
y_B-y_A =-1-3= \boxed{\;-4\;} \\ \end{array}\right.$$
Par conséquent, un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ de la droite $d$ a pour coordonnées : $$\boxed{\;\overrightarrow{u}\dbinom{3}{-4}\;}$$


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