Produit scalaire et normes de vecteurs. Théorème d’AlKashi

4.1. Définition 2 du produit scalaire uniquement avec les normes

Dans toute la suite, le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Ce qui signifie que : $$\boxed{\;|| \vec{\imath} ||=1,~|| \vec{\jmath}||=1~\text{et l’angle}~( \vec{\imath}\, ; \vec{\jmath})=+\dfrac{\pi}{2}\;}$$ On passe de $\vec{\imath}$ à $\vec{\jmath}$ par un angle droit, dans le sens positif (le sens inverse des aiguilles d’une montre). Les angles sont mesurés à partir de la demi-droite $[Ox)$.

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan. Alors il existe deux points uniques $A$ et $B$ tels que : $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}~~\text{et}~~\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OB}$$

Le troisième côté du triangle correspond
à la différence des deux vecteurs.
$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$
donc : $\overrightarrow{BA}= \vec{u}-\vec{v}$

Théorème et Définition 2
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O, \vec{\imath},\vec{\jmath})$. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs quelconques de l’espace. Alors le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre réel défini par : $$\boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(||\vec{u}||^2+ ||\vec{v}||^2-||\vec{u}-\vec{v}||^2\right)\;}~~\quad\text{(Déf.2)}$$

D’après l’identité remarquable n°2, on a bien : $$(\vec{u}- \vec{v})^2= \vec{u}^2-2 \vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2$$ Ce qui donne : $$||\vec{u}- \vec{v}||^2= ||\vec{u}||^2-2 \vec{u}\cdot\vec{v}+||\vec{v}||^2$$ ou encore : $$2 \vec{u}\cdot\vec{v}= ||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-||\vec{u}- \vec{v}||^2$$ Et, par conséquent : $$\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(||\vec{u}||^2+ ||\vec{v}||^2-||\vec{u}-\vec{v}||^2\right)$$
CQFD.


4.2. Théorème d’AlKashi

En fait, le théoème ci-dessus donnant aussi une définition du produit scalaire uniquement avec les normes se généralise facilement pour donner les produits scalaires de deux vecteurs formés par deux côtés d’un triangle quelconque, connaissant les longueurs des trois côtés (ou les normes des trois vecteurs). C’est le grand théorème d’AlKashi qui lui-même donne une généralisation du théorème de Pythagore à un triangle quelconque !

Notez la méthode de nommer les longueur des côtés d’un triangle $ABC$. On note $a$ la longueur du côté $[BC]$, $b$ la longueur du côté $[AC]$ et $c$ la longueur du côté $[AB]$.

Autrement dit : On note $a$ la longueur du côté opposé à l’angle $\widehat{A}$ ; $b$ la longueur du côté opposé à l’angle $\widehat{B}$ et $c$ la longueur du côté opposé à l’angle $\widehat{C}$. C’est très important pour assimiler les formules d’AlKashi suivantes.

Théorème d’AlKashi
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$.
Soit $ABC$ un triangle quelconque. On note $AB=c$, $AC=b$ et $BC=a$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels strictement positifs. De même, on note les angles géométriques : $\widehat{A}=\widehat{BAC}$, $\widehat{B}=\widehat{ABC}$ et $\widehat{C}=\widehat{BCA}$. Alors :
(AK1) : $\boxed{\; a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{A})\;}$
(AK2) : $\boxed{\;b^2=a^2+c^2-2ac\cos(\widehat{B})\;}$
(AK3) : $\boxed{\;c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\widehat{C})\;}$

La démonstration est analogue au calcul de l’exemple précédent.

D’après les propriétés algébriques du produit scalaire, on sait que : $ \vec{v}\cdot\vec{u}= \vec{u}\cdot\vec{v}$. Donc :
$$\begin{array}{rcl}
a^2&=&BC^2=\overrightarrow{BC}^2\\
&=&( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^2 \\
&=& \overrightarrow{AC}^2-2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}^2 \\
&=& ||\overrightarrow{AC}||^2-2||\overrightarrow{AC}||\times||\overrightarrow{AB}||\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})+ ||\overrightarrow{AB}||^2 \\
&=& b^2-2bc\cos(\widehat{BAC})+c^2 \\
&=& b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{A})\\
\end{array}$$
D’une manière analogue, on démontre les deux autres formules d’AlKashi.

4.3. Le théorème de Pythagore comme cas particuliers du théorème d’AlKashi

Théorème de Pythagore
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$.
Soit $ABC$ un triangle rectangle an $A$. On note $AB=c$, $AC=b$ et $BC=a$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels strictement positifs. Alors :
$\qquad\widehat{A}=\widehat{BAC}=\pm\dfrac{\pi}{2}$ et $ \cos(\widehat{A})=0$. Donc (AK1) donne : $$\boxed{\;a^2=b^2+c^2\;}$$ ou encore : $$BC^2=AB^2+AC^2$$