Produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace. Vecteurs orthogonaux. Caractérisation de l’orthogonalité


Dans toute la suite, l’espace est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$. Ce qui signifie que : $$\boxed{\;\begin{array}{c}
|| \vec{\imath} ||=1,~|| \vec{\jmath}||=1~~\text{et}~~||\vec{k}||=1\\
(\vec{\imath}\, ; \vec{\jmath})=+\dfrac{\pi}{2}~;~(\vec{\jmath}\, ; \vec{k})=+\dfrac{\pi}{2}~~\text{et}~~(\vec{k}\, ;\vec{\imath})=+\dfrac{\pi}{2}\end{array}\;}$$
On passe de $\vec{\imath}$ à $\vec{\jmath}$ par un angle droit, dans le sens positif (le sens inverse des aiguilles d’une montre). De même, de $\vec{\jmath}$ à $\vec{k}$ et de $\vec{k}$ à $\vec{\imath}$.

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l’espace. Alors il existe deux points uniques $A$ et $B$ tels que : $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}~~\text{et}~~\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OB}$$
Les deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont donc contenus dans un même plan. Alors, on note $\widehat{AOB}$ l’angle géométrique de mesure positive et $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ l’angle orienté, de mesure un nombre réel.

Il y a essentiellement quatre manières de définir le produit scalaire de deux vecteurs.

  1. A l’aide des normes et de l’angle formé par les deux vecteurs ;
  2. A l’aide des normes uniquement ;
  3. A l’aide de la projection orthogonale de l’un des vecteurs sur la direction de l’autre ;
  4. A l’aide des coordonnées dans un repère orthonormé direct $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$.

1. Produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace

1.1. Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel

Définition 1.
On appelle produit scalaire des deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre réel noté $\vec{u}\cdot\vec{v}$ (lire « $\vec{u}$ scalaire $\vec{v}$ »), défini par : $$
\begin{array}{|l|}\hline
~\color{brown}{\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\cos(\theta)}~~~~\text{(Déf.1)}\\ \hline
~\color{brown}{\vec{u}\cdot\vec{v}=|| \overrightarrow{OA}||\times || \overrightarrow{OB} ||\cos( \widehat{AOB})}\\ \hline
\end{array}$$ où $\theta=(\vec{u},\vec{v})=\widehat{AOB}$, désigne l’angle orienté des deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

On peut en déduire que :

$\bullet$ Le produit scalaire est positif si et seulement si l’angle $(\vec{u},\vec{v})$ est aigu. $$ \vec{u}\cdot\vec{v}>0\quad\text{(ssi)}\quad -\dfrac{\pi}{2} < (\vec{u},\vec{v})<\dfrac{\pi}{2}~~(\text{modulo}~2\pi)$$

$\bullet$ Le produit scalaire est négatif si et seulement si l’angle $(\vec{u},\vec{v})$ est obtus. $$ \vec{u}\cdot\vec{v}<0\quad\text{(ssi)}\quad \dfrac{\pi}{2} < (\vec{u},\vec{v})<\dfrac{3\pi}{2}~~(\text{modulo}~2\pi)$$

Fig. 1.

EXEMPLES

Exercice résolu n°1.
Avec les notations de la figure 1 ci-dessus, on donne $OA=6$, $OB=4\sqrt{2}$, $OC=5$, $ \theta=\widehat{AOB}=\dfrac{\pi}{4}=45°$ et $\theta’\widehat{AOC}=\dfrac{2\pi}{3}=120°$.
1°) Calculer les produits scalaires des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
2°) Même question pour les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$.

1°) Calculer les produits scalaires des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
$$\begin{array}{rcl}
\vec{u}\cdot\vec{v}&=&\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} \\ &=& || \overrightarrow{OA}||\times || \overrightarrow{OB} ||\cos( \widehat{AOB}) \\
&=& OA\times OB\times \cos(\dfrac{\pi}{4}) \\
&=& 6\times 4\sqrt{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\
&=& 24\\ \end{array}$$
Conclusion. On en déduit que $$ \boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{v}=24\;}$$

1°) Calculer les produits scalaires des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$.
$$\begin{array}{rcl}
\vec{u}\cdot\vec{w}&=&\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC} \\ &=& || \overrightarrow{OA}||\times || \overrightarrow{OC} ||\cos( \widehat{AOC}) \\
&=& OA\times OC\times \cos(\dfrac{2\pi}{3}) \\
&=& 6\times 5\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)\\
&=& -15\\ \end{array}$$
Conclusion. On en déduit que $$ \boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{w}= -15\;}$$


2. Conséquences immédiates

2.1. Le produit scalaire est commutatif

Propriété 1.
Le produit scalaire est commutatif.
(PS1) : $\quad$ $\boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}\;}$

Immédiat. On sait que la fonction cosinus est une fonction paire. Donc : $\cos( \vec{u};\vec{v})=\cos(\vec{v};\vec{u})$.

2.2. Vecteurs orthogonaux. Caractérisation de l’orthogonalité

Définition 2.
Deux vecteurs $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{OB}$ sont dit orthogonaux si, et seulement si, ils ont des directions perpendiculaires. On note : $$\vec{u}\perp\vec{v}~~\text{si, et seulement si,}~~(OA)\perp(OB)$$

Propriété 2. Orthogonalité et produit scalaire.
Deux vecteurs sont orthogonaux, si et seulement si, leur produit scalaire est égal à $0$.
(PS2) : $\quad$ $\boxed{\;\vec{u}\perp\vec{v}~~\text{si, et seulement si}~~\vec{u}\cdot\vec{v}=0\;}$

En effet : $\vec{u}\perp\vec{v}$ si, et seulement si, $(\vec{u},\vec{v})=\pm\dfrac{\pi}{2}$ si, et seulement si, $\cos(\vec{u},\vec{v})=0$ si, et seulement si, $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.

2.3. Vecteurs colinéaires

Propriétés 3.
$\bullet$ Si deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de même sens, alors :
(PS3) : $\quad$ $\boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\times||\vec{v}|| \;}$
$\bullet$ Si deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de sens contraires, alors :
(PS3bis) : $~~\boxed{\;\vec{u}\cdot\vec{v}=-||\vec{u}||\times||\vec{v}|| \;}$

En effet, deux vecteurs colinéaires de même sens $\vec{u}$ et $\vec{v}$, forment un angle égal à $0$ (modulo $2\pi$), donc $\cos(0)=1$.

Et deux vecteurs colinéaires de sens contraires $\vec{u}$ et $\vec{v}$, forment un angle égal à $\pi$ ou $-\pi$ (modulo $2\pi$), donc $\cos(\pi)=-1$.

2.4. Carré scalaire d’un vecteur

Définition 3.
Soit $\vec{u}$ un vecteur de l’espace. On appelle carré scalaire de $\vec{u}$ et on note $\vec{u}^2$ le nombre réel : $$\boxed{\;\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}\;}$$

Donc, d’après la propriété (PS3) on peut énoncer :

Propriété 4.
(PS4) : $\quad$ $\boxed{\;\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}=||\vec{u}||^2\;}$

2.5. Calcul de la mesure de l’angle $(\vec{u},\vec{v})$

Si les deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls, on peut calculer le cosinus de l’angle qui les sépare. Donc, on on peut en déduire la mesure géométrique de l’angle qui les sépare.

Propriétés 5.
(PS5) : Si $\vec{u}\not=\vec{0}$ et $\vec{v}\not=\vec{0}$, alors : $$\boxed{\;\cos(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{||\vec{u}||\times||\vec{v}||}\;}$$


3. Exercices résolus

Exercice résolu n°2.