Vecteur normal à un plan. Équations cartésiennes dans l’espace

  1. Cours et exercices en pdf. Fiche BAC n°8.
  2. Produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace. Vecteurs orthogonaux. Caractérisation de l’orthogonalité
  3. Bilinéarité, symétrie du produit scalaire. Propriétés algébriques
  4. Produit scalaire et normes de vecteurs. Formules de polarisation. Théorème d’AlKashi
  5. Produit scalaire et projection orthogonale
  6. Expressions du produit scalaire dans une base orthonormée directe
  7. Vecteur normal à un plan. Équations cartésiennes dans l’espace

Dans toute la suite, l’espace est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}, \vec{k})$.

1. Vecteur normal à un plan dans l’espace

Définition 1.
L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}, \vec{k})$.
On dit que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à un plan $P$ si, et seulement si, $\overrightarrow{n}$ est un vecteur directeur d’une droite orthogonale au plan $P$.

Conséquence

Propriété 1. (très importante)
L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}, \vec{k})$. Soit $\overrightarrow{n}$ un vecteur non nul de l’espace. Les conditions suivantes sont équivalentes :
1°) $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à un plan $P$
2°) $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à tout vecteur $\overrightarrow{u}$ du plan $P$.
3°) $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à deux vecteurs (de base) non colinéaires du plan $P$.

Ainsi, pour démontrer que $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à un plan $P$, il faut démontrer que pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ du plan $P$ $$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u}=0$$ ou encore, il suffit de démontrer qu’il existe deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non colinéaires du plan $P$ tels que : $$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u}=0~~\text{et}~~\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{v}=0$$

Exercice résolu n°1. Soit $\overrightarrow{n}$ un vecteur normal à un plan $P$. Alors tout vecteur colinéaire à $\overrightarrow{n}$ est encore un vecteur normal au plan $P$.

C’est immédiat.
Si $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$, alors il existe deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ du plan tels que : $$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u}=0~~\text{et}~~\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{v}=0$$
Mais alors, pour tout $k\in\R^{*}$ : $(k\overrightarrow{n})\cdot\overrightarrow{u}=k(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u})=k\times0=0$. De même pour $(k\overrightarrow{n})\cdot\overrightarrow{v}=0$.
CQFD.$\blacktriangle$

Propriétés

Propriétés 2.
Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, un vecteur directeur de la droite est colinéaire à un vecteur normal au plan.
Soit $\Delta$ une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{n}$ un vecteur normal au plan $P$. Alors $$\boxed{~~\Delta\perp P~~\text{(ssi)}~~ \overrightarrow{u}~\text{et}~\overrightarrow{n}~\text{sont colinéaires}~~}$$

Propriétés 3.
Deux plans sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Soient $\overrightarrow{n_1}$ et $\overrightarrow{n_2}$ deux vecteurs normaux à deux plans $P_1$ et $P_2$. Alors : $$\boxed{~~P_1 // P_2~~\text{(ssi)}~~ \overrightarrow{n_1}~\text{et}~\overrightarrow{n_2}~\text{sont colinéaires}~~}$$

Propriétés 4.
Deux plans sont orthogonaux si, et seulement si, leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Soient $\overrightarrow{n_1}$ et $\overrightarrow{n_2}$ deux vecteurs normaux à deux plans $P_1$ et $P_2$. Alors : $$\boxed{~~P_1 \perp P_2 ~~\text{(ssi)}~~ \overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}~~}$$

2. Équations cartésiennes d’un plan

Théorème 1.
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$.
Soient $A(x_A;y_A;z_A)$ un point donné et $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array}\right)$ un vecteur non nul de l’espace.
Alors, l’ensemble des points $M(x;y;z)$ de l’espace vérifiant $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0$ est le plan $P$ passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}$, ayant une équation de la forme : $$\boxed{~~ax+by+cz+d=0\qquad(*)~~}$$ où $d$ est une constante.
Réciproquement. Toute équation de la forme $(*)$, avec $a$, $b$ et $c$ non tous nuls, définit un plan $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ et passant par $A$..

Soit $M(x;y;z)$ un point quelconque de l’espace. Alors le vecteur $\overrightarrow{AM}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{c}x-x_A\\ y-y_A\\ z-z_A \\ \end{array}\right)$ et on a : $$\begin{array}{rcl}
M\in P &\text{(ssi)}& \overrightarrow{AM}~\text{est orthogonal à }~\overrightarrow{n}\\
&\text{(ssi)}& \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0\\
&\text{(ssi)}& a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0\\
&\text{(ssi)}& ax+by+cz-ax_A-by_A-cz_A=0\\
&\text{(ssi)}& ax+by+cz+d=0~~\text{en posant}~~d=-ax_A-by_A-cz_A\\
\end{array}$$
Ce qui est bien la forme demandée. CQFD.$\blacktriangle$

Comment déterminer une équation cartésienne d’un plan dans l’espace ?

Nous distinguons trois situations qui se ramènent toutes à la définition ci-dessus.

  1. On connaît un point $A$ et un vecteur normal $\overrightarrow{n}$ au plan $P$.
  2. On connaît un point $A$ et deux vecteur non colinéaires $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ formant une base du plan $P$.
  3. On connaît trois points $A$, $B$ et $C$ du plan $P$.

Points méthodes

Exercice résolu n°2. 1ère situation.
Soit $A(1;2;3)$ un point donné et $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 1\\ -4\\ 2\\ \end{array}\right)$ un vecteur de l’espace.
Déterminer une équation cartésienne du plan $P$.

1ère méthode directe.
Soit $M(x;y;z)$ un point quelconque de l’espace. Alors le vecteur $\overrightarrow{AM}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{c}x-x_A\\ y-y_A\\ z-z_A \\ \end{array}\right)$. On a alors : $$\begin{array}{rcl}
M\in P &\text{(ssi)}& \overrightarrow{AM}~\text{est orthogonal à }~\overrightarrow{n}\\
&\text{(ssi)}& \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0\\
&\text{(ssi)}& 1(x-1)-4(y-2)+2(z-3)=0\\
&\text{(ssi)}& x-4y+2z+1=0\\
\end{array}$$
Conclusion. Une équation cartésienne du plan $P$ est donnée par : $$\boxed{~~x-4y+2z+1=0~~}$$ CQFD.$\blacktriangle$

2ème méthode rapide !
On sait que l’équation de $P$ est de la forme : $ax+by+cz+d=0$, où $a$, $b$ et $c$ sont les coordonnées de $\overrightarrow{n}$. Donc une équation de $P$ est de la forme : $$1x-4y+2z+d=0$$
Il reste à déterminer $d$.
Pour cela, nous savons que $A(1;2;3)\in P$. Donc : 1\times1-4\times 2+2\times3+d=0$. Ce qui donne : $d=1$.
Conclusion. Une équation cartésienne du plan $P$ est donnée par : $$\boxed{~~x-4y+2z+1=0~~}$$ CQFD.$\blacktriangle$
C’est plus rapide. N’est-ce pas !

Exercice résolu n°3. 2ème situation. On ne connaît pas de vecteur normal. Il faut en chercher un.
Soit $A(1;2;3)$ un point donné et $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 2\\ \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)$ deux vecteurs de l’espace.
Déterminer une équation cartésienne du plan $P$ passant par le point $A$ et dirigé par les 2 vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

3ème méthode.
1ère étape : Tout d’abord, il faut s’assurer que les deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont non colinéaires et définissent bien une base d’un plan $P$.
Supposons que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ soient colinéaires. Donc, il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}$.
Mais alors, en passant aux coordonnées, on obtient : $$\left\{\begin{array}{rcl}
1&=&k\times 1\\
-1&=&k\times 0\\
2&=&k\times 3\\ \end{array}\right.$$ Ce qui donne : $$\left\{\begin{array}{rcl}
k&=&1\\
-1&=&0\\
k&=&\dfrac{2}{3}\\ \end{array}\right.$$ Ce qui est impossible.
Les deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont bien non colinéaires. Ils définissent bien une base des vecteurs du plan.

2ème étape : On cherche un vecteur normal au plan $P$.
Soit $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array}\right)$ un vecteur de l’espace. On sait que $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 2\\ \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)$ définissent bien une base des vecteurs du plan. On a alors :
$$\begin{array}{l}
\overrightarrow{n}~\text{est un vecteur normal au plan}\\
\quad\text{(ssi)}~\overrightarrow{n}~\text{est orthogonal aux deux vecteurs de base}\\
\quad\text{(ssi)}~\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{u}~\text{et}~\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{v}\\
\quad\text{(ssi)}~\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u}=0~\text{et}~\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{v}=0\\
\quad\text{(ssi)}~\left\{\begin{align*}a-b+2c=0\\ a+3c=0\\ \end{align*}\right.\\
\quad\text{(ssi)}~\left\{\begin{align*}-3c-b+2c=0\\ a=-3c\\ \end{align*}\right.\\
\quad\text{(ssi)}~\left\{\begin{align*}b=-c\\ a=-3c\\ c\in\R \end{align*}\right.\\
\end{array}$$
Comme il n’y avait aucune condition sur $c$, on a posé que c\in\R. Ce qui signifie que $c$ est quelconque et peut prendre n’importe quelle valeur (non nulle bien sûr !).
Pour $c=-1$, on obtient un vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 3\\ 1\\ -1\\ \end{array}\right)$ normal au plan $P$. Il suffit de remplacer !
Remarque. En général, on choisit $c$ pour ne pas avoir de fractions ou le moins de signes « $-$ ».

3ème étape. Maintenant qu’on connaît $A$ et $\overrightarrow{n}$, on peut appliquer l’une des deux premières méthodes.
1ère méthode directe.
Soit $M(x;y;z)$ un point quelconque de l’espace. Alors le vecteur $\overrightarrow{AM}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{c}x-x_A\\ y-y_A\\ z-z_A \\ \end{array}\right)$. On a alors : $$\begin{array}{rcl}
M\in P &\text{(ssi)}& \overrightarrow{AM}~\text{est orthogonal à }~\overrightarrow{n}\\
&\text{(ssi)}& \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0\\
&\text{(ssi)}& 3(x-1)+1(y-2)+(-1)(z-3)=0\\
&\text{(ssi)}& 3x+y-z-2=0\\
\end{array}$$
Conclusion. Une équation cartésienne du plan $P$ est donnée par : $$\boxed{~~3x+y-z-2=0~~}$$ CQFD.$\blacktriangle$

Exercice résolu n°4. 3ème situation.
Soit $A(1;2;3)$, $B(2;1;5)$ et $C(2;2;6)$ trois points donnés de l’espace.
Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

1ère étape : Tout d’abord, on vérifie que les trois points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés donc ils déterminent bien un plan !
Pour cela, il suffit de démontrer que les deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont bien non colinéaires.
Je calcule donc les coordonnées de ces vecteurs et je constate que : $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 2\\ \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)$ sont bien les deux vecteurs directeurs de l’exemple précédent.

2ème étape : On cherche un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal au plan $P$ en appliquant la deuxième méthode. On obtient : $$\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 3\\ 1\\ -1\\ \end{array}\right)$$

3ème étape : On détermine une équation cartésienne du plan $P$ en appliquant l’une des deux premières méthodes. On obtient : $$\boxed{~~3x+y-z-2=0~~}$$ CQFD.$\blacktriangle$

Remarque

Parfois, on nous donne un plan $P$ déterminé par son équation cartésienne : $ax+by+cz+d=0$. On nous donne trois points $A$, $B$ et $C$. Et on nous pose la question : Démontrer que $P=(ABC)$.

Il est inutile de recommencer la longue procédure de l’exercice précédent. Il suffit de démontrer que 1°) les trois points satisfont l’équation, donc ils appartiennent à $P$ et que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont non colinéaires, donc définissent un plan.

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°5.

CQFD.$\blacktriangle$

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