Vecteur normal à un plan. Équations cartésiennes dans l’espace


Dans toute la suite, l’espace est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}, \vec{k})$.

1. Vecteur normal à un plan dans l’espace

Définition 1.
L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}, \vec{k})$.
On dit que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à un plan $P$ si, et seulement si, $\overrightarrow{n}$ est un vecteur directeur d’une droite orthogonale au plan $P$.

Conséquence

Propriété 1. (très importante)
L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}, \vec{k})$. Soit $\overrightarrow{n}$ un vecteur non nul de l’espace. Les conditions suivantes sont équivalentes :
1°) $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à un plan $P$
2°) $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à tout vecteur $\overrightarrow{u}$ du plan $P$.
3°) $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à deux vecteurs (de base) non colinéaires du plan $P$.

Ainsi, pour démontrer que $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à un plan $P$, il faut démontrer que pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ du plan $P$ $$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u}=0$$ ou encore, il suffit de démontrer qu’il existe deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non colinéaires du plan $P$ tels que : $$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u}=0~~\text{et}~~\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{v}=0$$


Exercice résolu n°1. Soit $\overrightarrow{n}$ un vecteur normal à un plan $P$. Alors tout vecteur colinéaire à $\overrightarrow{n}$ est encore un vecteur normal au plan $P$.

C’est immédiat.
Si $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$, alors il existe deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ du plan tels que : $$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u}=0~~\text{et}~~\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{v}=0$$
Mais alors, pour tout $k\in\R^{*}$ : $(k\overrightarrow{n})\cdot\overrightarrow{u}=k(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u})=k\times0=0$. De même pour $(k\overrightarrow{n})\cdot\overrightarrow{v}=0$.
CQFD.$\blacktriangle$


Propriétés

Propriétés 2.
Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, un vecteur directeur de la droite est colinéaire à un vecteur normal au plan.
Soit $\Delta$ une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{n}$ un vecteur normal au plan $P$. Alors $$\boxed{~~\Delta\perp P~~\text{(ssi)}~~ \overrightarrow{u}~\text{et}~\overrightarrow{n}~\text{sont colinéaires}~~}$$

Propriétés 3.
Deux plans sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Soient $\overrightarrow{n_1}$ et $\overrightarrow{n_2}$ deux vecteurs normaux à deux plans $P_1$ et $P_2$. Alors : $$\boxed{~~P_1 // P_2~~\text{(ssi)}~~ \overrightarrow{n_1}~\text{et}~\overrightarrow{n_2}~\text{sont colinéaires}~~}$$

Propriétés 4.
Deux plans sont orthogonaux si, et seulement si, leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Soient $\overrightarrow{n_1}$ et $\overrightarrow{n_2}$ deux vecteurs normaux à deux plans $P_1$ et $P_2$. Alors : $$\boxed{~~P_1 \perp P_2 ~~\text{(ssi)}~~ \overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}~~}$$

2. Équations cartésiennes d’un plan

Théorème 1.
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$.
Soient $A(x_A;y_A;z_A)$ un point donné et $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array}\right)$ un vecteur non nul de l’espace.
Alors, l’ensemble des points $M(x;y;z)$ de l’espace vérifiant $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0$ est le plan $P$ passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}$, ayant une équation de la forme : $$\boxed{~~ax+by+cz+d=0\qquad(*)~~}$$ où $d$ est une constante.
Réciproquement. Toute équation de la forme $(*)$, avec $a$, $b$ et $c$ non tous nuls, définit un plan $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ et passant par $A$..

Soit $M(x;y;z)$ un point quelconque de l’espace. Alors le vecteur $\overrightarrow{AM}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{c}x-x_A\\ y-y_A\\ z-z_A \\ \end{array}\right)$ et on a : $$\begin{array}{rcl}
M\in P &\text{(ssi)}& \overrightarrow{AM}~\text{est orthogonal à }~\overrightarrow{n}\\
&\text{(ssi)}& \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0\\
&\text{(ssi)}& a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0\\
&\text{(ssi)}& ax+by+cz-ax_A-by_A-cz_A=0\\
&\text{(ssi)}& ax+by+cz+d=0~~\text{en posant}~~d=-ax_A-by_A-cz_A\\
\end{array}$$
Ce qui est bien la forme demandée. CQFD.$\blacktriangle$


Comment déterminer une équation cartésienne d’un plan dans l’espace ?

Nous distinguons trois situations qui se ramènent toutes à la définition ci-dessus.

  1. On connaît un point $A$ et un vecteur normal $\overrightarrow{n}$ au plan $P$.
  2. On connaît un point $A$ et deux vecteur non colinéaires $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ formant une base du plan $P$.
  3. On connaît trois points $A$, $B$ et $C$ du plan $P$.

Points méthodes

Exercice résolu n°2. 1ère situation.
Soit $A(1;2;3)$ un point donné et $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 1\\ -4\\ 2\\ \end{array}\right)$ un vecteur de l’espace.
Déterminer une équation cartésienne du plan $P$.

1ère méthode directe.
Soit $M(x;y;z)$ un point quelconque de l’espace. Alors le vecteur $\overrightarrow{AM}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{c}x-x_A\\ y-y_A\\ z-z_A \\ \end{array}\right)$. On a alors : $$\begin{array}{rcl}
M\in P &\text{(ssi)}& \overrightarrow{AM}~\text{est orthogonal à }~\overrightarrow{n}\\
&\text{(ssi)}& \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0\\
&\text{(ssi)}& 1(x-1)-4(y-2)+2(z-3)=0\\
&\text{(ssi)}& x-4y+2z+1=0\\
\end{array}$$
Conclusion. Une équation cartésienne du plan $P$ est donnée par : $$\boxed{~~x-4y+2z+1=0~~}$$ CQFD.$\blacktriangle$

2ème méthode rapide !
On sait que l’équation de $P$ est de la forme : $ax+by+cz+d=0$, où $a$, $b$ et $c$ sont les coordonnées de $\overrightarrow{n}$. Donc une équation de $P$ est de la forme : $$1x-4y+2z+d=0$.Il reste à déterminer $d$.
Pour cela, nous savons que $A(1;2;3)\in P$. Donc : 1\times1-4\times 2+2\times3+d=0$. Ce qui donne : $d=1$.
Conclusion. Une équation cartésienne du plan $P$ est donnée par : $$\boxed{~~x-4y+2z+1=0~~}$$ CQFD.$\blacktriangle$
C’est plus rapide. N’est-ce pas !


Exercice résolu n°3. 2ème situation. On ne connaît pas de vecteur normal. Il faut en chercher un.
Soit $A(1;2;3)$ un point donné et $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 2\\ \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)$ deux vecteurs de l’espace.
Déterminer une équation cartésienne du plan $P$ dirigé par les 2 vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

3ème méthode.
1ère étape : Tout d’abord, il faut s’assurer que les deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont non colinéaires et définissent bien une base d’un plan $P$.
Supposons que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ soient colinéaires. Donc, il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}$.
Mais alors, en passant aux coordonnées, on obtient : $$\left\{\begin{array}{rcl}
1&=&k\times 1\\
-1&=&k\times 0\\
2&=&k\times 3\\ \end{array}\right.$$ Ce qui donne : $$\left\{\begin{array}{rcl}
k&=&1\\
-1&=&0\\
k&=&\dfrac{2}{3}\\ \end{array}\right.$$ Ce qui est impossible.
Les deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont bien non colinéaires. Ils définissent bien une base des vecteurs du plan.

2ème étape : On cherche un vecteur normal au plan $P$.
Soit $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array}\right)$ un vecteur de l’espace. On sait que $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 2\\ \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)$ définissent bien une base des vecteurs du plan. On a alors :
$$\begin{array}{l}
\overrightarrow{n}~\text{est un vecteur normal au plan}\\
\quad\text{(ssi)}~\overrightarrow{n}~\text{est orthogonal aux deux vecteurs de base}\\
\quad\text{(ssi)}~\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{u}~\text{et}~\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{v}\\
\quad\text{(ssi)}~\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u}=0~\text{et}~\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{v}=0\\
\quad\text{(ssi)}~\left\{\begin{align*}a-b+2c=0\\ a+3c=0\\ \end{align*}\right.\\
\quad\text{(ssi)}~\left\{\begin{align*}-3c-b+2c=0\\ a=-3c\\ \end{align*}\right.\\
\quad\text{(ssi)}~\left\{\begin{align*}b=-c\\ a=-3c\\ c\in\R \end{align*}\right.\\
\end{array}$$
Comme il n’y avait aucune condition sur $c$, on a posé que c\in\R. Ce qui signifie que $c$ est quelconque et peut prendre n’importe quelle valeur (non nulle bien sûr !).
Pour $c=-1$, on obtient un vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 3\\ 1\\ -1\\ \end{array}\right)$ normal au plan $P$. Il suffit de remplacer !
Remarque. En général, on choisit $c$ pour ne pas avoir de fractions ou le moins de signes « $-$ ».

3ème étape. Maintenant qu’on connaît $A$ et $\overrightarrow{n}$, on peut appliquer l’une des deux premières méthodes.
1ère méthode directe.
Soit $M(x;y;z)$ un point quelconque de l’espace. Alors le vecteur $\overrightarrow{AM}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{c}x-x_A\\ y-y_A\\ z-z_A \\ \end{array}\right)$. On a alors : $$\begin{array}{rcl}
M\in P &\text{(ssi)}& \overrightarrow{AM}~\text{est orthogonal à }~\overrightarrow{n}\\
&\text{(ssi)}& \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0\\
&\text{(ssi)}& 3(x-1)+1(y-2)+(-1)(z-3)=0\\
&\text{(ssi)}& 3x+y-z-2=0\\
\end{array}$$
Conclusion. Une équation cartésienne du plan $P$ est donnée par : $$\boxed{~~3x+y-z-2=0~~}$$ CQFD.$\blacktriangle$


Exercice résolu n°4. 3ème situation.
Soit $A(1;2;3)$, $B(2;1;5)$ et $C(2;2;6)$ trois points donnés de l’espace.
Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

1ère étape : Tout d’abord, on vérifie que les trois points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés donc ils déterminent bien un plan !
Pour cela, il suffit de démontrer que les deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont bien non colinéaires.
Je calcule donc les coordonnées de ces vecteurs et je constate que : $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 2\\ \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)$ sont bien les deux vecteurs directeurs de l’exemple précédent.

2ème étape : On cherche un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal au plan $P$ et on obtient : $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 3\\ 1\\ -1\\ \end{array}\right)$.

3ème étape : On détermine une équation cartésienne du plan $P$ et on obtient : $$\boxed{~~3x+y-z-2=0~~}$$ CQFD.$\blacktriangle$

Remarque

Parfois, on nous donne un plan $P$ déterminé par son équation cartésienne : $ax+by+cz+d=0$. On nous donne trois points $A$, $B$ et $C$. Et on nous pose la question : Démontrer que $P=(ABC)$.

Il est inutile de recommencer la longue procédure de l’exercice précédent. Il suffit de démontrer que 1°) les trois points satisfont l’équation, donc ils appartiennent à $P$ et que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont non colinéaires, donc définissent un plan.


3. Exercices résolus

Exercice résolu n°5.

CQFD.$\blacktriangle$