1. Transformation $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$. Ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k$, $k\in\R$
Tout d’abord, donnons une caractérisation d’un cercle ${\mathcal C}(\Omega,r)$ de centre $\Omega$ et de rayon $r$ et de diamètre $d=2r$.
Soit $M$ un point quelconque du plan. Alors :
$M\in{\mathcal C}(\Omega,r)$ (ssi) $\Omega M=r$ (ssi) $\Omega M=\dfrac{d}{2}$.
1.1. Théorème de la médiane
Théorème 1.
Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan et $I$ le milieu du segment $[AB]$. Alors, quel que soit le point $M$ du plan, on a : $$\boxed{\;\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{AB^2}{4}\;}$$
Exercice résolu n°1.
Soient $A$ et $B$ deux points du plan tels que $AB=8$cm. Déterminer l’ensemble des points $M$ du plan pour lesquels $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=20$.
Cet ensemble s’appelle une ligne de niveau.
2. Caractérisation d’un cercle par le produit scalaire
Théorème 1. (Triangle inscrit dans un demi-cercle)
Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan. Alors, quel que soit le point $M$ du plan, on a :
$\quad\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ (ssi) $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$.
Autrement dit :
L’ensemble de tous les points $M$ du plan pour lesquels $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$, est le cercle de diamètre $[AB]$.
Exercice résolu n°2.
Soient $A$ et $B$ deux points du plan tels que $AB=4$cm. Déterminer l’ensemble des points $M$ du plan pour lesquels $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
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