Applications des identités remarquables aux racines carrées

Nous allons appliquer les identités remarquables au calcul mental et aux calculs sur les racines carrées, notamment pour rendre rationnel un dénominateur.

1. identités remarquables

Propriété (Identité remarquable n°1.)
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :
$$\begin{array}{rcc}
&\color{blue}{- Développement\rightarrow}&\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2\; }}&\quad(I.R.n°1)\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a-b)^2 = a^2 – 2ab+b^2\; }}&\quad(I.R.n°2)\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)(a-b) = a^2 – b^2\; }}&\quad(I.R.n°3)\\
&\color{blue}{ \leftarrow Factorisation – }& \\
\end{array}$$

2. Application au calcul mental

Exercice résolu 1. Calculer rapidement sans calculatrice :
1°) $A=21^2$ ;
2°) $B=19^2$
3°) $C=102\times 98$.

Corrigé.
1°) Calcul de $A=21^2$.
On applique l’I.R.n°1. comme suit :
$$\begin{array}{rcl}
A&=&(20+1)^2\\
&=&20^2+2\times 20\times 1+1^2\\
&=&400+40+1\\
A&=&441\\
\end{array}$$
Conclusion 1. $\color{brown}{\boxed{\; 21^2=441\; }}$

2°) Calcul de $B=19^2$.
On applique l’I.R.n°2. comme suit :
$$\begin{array}{rcl}
B&=&(20-1)^2\\
&=&20^2-2\times 20\times 1+1^2\\
&=&400-40+1\\
B&=&361\\
\end{array}$$
Conclusion 2. $\color{brown}{\boxed{\; 19^2=361\; }}$

3°) Calcul de $C=102\times 98$.
On applique l’I.R.n°3. comme suit :
$$\begin{array}{rcl}
C&=&102\times 98\\
&=&(100+2)(100-2)\\
&=&100^2-2^2\\
&=&10000-4\\
C&=&9996\\
\end{array}$$
Conclusion 3. $\color{brown}{\boxed{\; 102\times 98=9996\; }}$

3. Applications aux racines carrées

Calcul avec les racines carrées

Rappels : Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres entiers, $c>0$ et $d>0$. Alors :
$a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c}$.
$a\sqrt{c}\times b\sqrt{d}=a\times b\times\sqrt{c}\times\sqrt{d}=ab\sqrt{cd}$.
En particulier : $(a\sqrt{c})^2=a^2\times (\sqrt{c})^2 = a^2c$.

Exercice résolu 2. Calculer et écrire sous la forme $a+b\sqrt{c}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres rationnels, $c\geqslant0$ :
1°) $A=(5+3\sqrt{2})^2$ ;
2°) $B=(3\sqrt{2}-4)^2$ ;
3°) $C=(3-2\sqrt{5})(3+\sqrt{5})$.

Corrigé.
1°) Calcul de $A=(5+3\sqrt{2})^2$.
On applique l’I.R.n°1. comme suit :
$$\begin{array}{rcl}
A&=&A=(5+3\sqrt{2})^2\\
&=&5^2+2\times 5\times3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^2\\
&=&25+30\sqrt{2}+9\times2\\
&=&25+18+30\sqrt{2}\\
A&=&43+30\sqrt{2}\\
\end{array}$$
Conclusion 1. $\color{brown}{\boxed{\; A=43+30\sqrt{2}\; }}$

2°) Calcul de $B=(3\sqrt{2}-4)^2$.
On applique l’I.R.n°2. comme suit :
$$\begin{array}{rcl}
B&=&B=(3\sqrt{2}-4)^2\\
&=&(3\sqrt{2})^2-2\times 3\sqrt{2}\times 4+4^2\\
&=&18-24\sqrt{2}+16\\
B&=&18+16-24\sqrt{2}\\
B&=&34-24\sqrt{2}\\
\end{array}$$
Conclusion 2. $\color{brown}{\boxed{\; B=34-24\sqrt{2}\; }}$

3°) Calcul de $C=(3-2\sqrt{5})(3+\sqrt{5})$.
On applique l’I.R.n°3. comme suit :
$$\begin{array}{rcl}
C&=&(3-2\sqrt{5})(3+\sqrt{5})\\
&=&3^2-(2\sqrt{5})^2\\
&=&9-4\times 5\\
&=&9-20\\
C&=&-11\\
\end{array}$$
Conclusion 3. $\color{brown}{\boxed{\; C=-11\; }}$

4. Rendre rationnel un dénominateur

Rappels : Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres rationnels, $d>0$. Alors :
La quantité conjuguée de $c+\sqrt{d}$ est $c-\sqrt{d}$, et réciproquement. De plus :
$$(c+\sqrt{d})(c-\sqrt{d}) =c^2-d \in \Q$$
Le produit ces deux quantités conjuguées est un nombre rationnel !

Dans une expression numérique quotient $A$, rendre rationnel un dénominateur, signifie qu’il faut transformer $A$ pour obtenir un dénominateur entier. (Faire disparaître la racine carrée au dénominateur).

Exercice résolu n°3. Écrire les expressions numériques suivantes avec un dénominateur rationnel, puis sous la forme $a+b\sqrt{c}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres rationnels, $c\geqslant0$.
1°) $A=\dfrac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ ;
2°) $B=\dfrac{5}{4-\sqrt{3}}$ ;
3°) $C=\dfrac{5+3\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}$ ;

Dans une expression numérique quotient $A=\dfrac{a+\sqrt{b}}{c+\sqrt{d}}$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont quatre nombres rationnels, $d>0$
Pour rendre rationnel un dénominateur, il suffit de multiplier numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur.
$$\begin{array}{rcl}
A &=&\dfrac{a+\sqrt{b}}{c+\sqrt{d}}\\
&=&\dfrac{(a+\sqrt{b})\color{brown}{(c-\sqrt{d})}}{(c+\sqrt{d})\color{brown}{(c-\sqrt{d})}}\\
&=&\dfrac{(a+\sqrt{b})(c-\sqrt{d})} {c^2-d}\\
&&\text{d’après l’I.R.n°3}\\
\end{array}$$
$c^2-d\in\Q$, donc le nouveau dénominateur est un nombre rationnel.

Corrigé
1°) Rendre rationnel un dénominateur dans l’expression : $A=\dfrac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.
$$\begin{array}{rcl}
A&=&\dfrac{(1+\sqrt{2})\color{brown}{\times\sqrt{2}}}{\sqrt{2}\color{brown}{\times\sqrt{2}}}\\
&=&\dfrac{\sqrt{2}+2}{2}\\
A&=&\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\\
\end{array}$$
Conclusion 1. $\color{brown}{\boxed{\; A=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2} \; }}$

D’autre part : $A=\dfrac{2}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1+\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$, avec $a=1$, $b=\dfrac{1}{2}$ et $c=2$.
Conclusion 2. $\color{brown}{\boxed{\; A=1+\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \; }}$

Corrigé
2°) Rendre rationnel un dénominateur dans l’expression : $B=\dfrac{5}{4-\sqrt{3}}$.
$$\begin{array}{rcl}
B&=&\dfrac{5\color{brown}{\times(4+\sqrt{3})}}{(4-\sqrt{3})\color{brown}{\times(4+\sqrt{3})}}\\
&=&\dfrac{20+5\sqrt{3}}{4^2-(\sqrt{3})^2}\\
&=&\dfrac{20+5\sqrt{3}}{16-3}\\
B&=&\dfrac{20+5\sqrt{3}}{13}\\
\end{array}$$
Conclusion 1. $\color{brown}{\boxed{\; B=\dfrac{20+5\sqrt{3}}{13} \; }}$

D’autre part : $B=\dfrac{20}{13}+\dfrac{5}{13}\sqrt{3}$, avec $a=\dfrac{20}{13}$, $b=\dfrac{5}{13}$ et $c=3$.
Conclusion 2. $\color{brown}{\boxed{\; B=\dfrac{20}{13}+\dfrac{5}{13}\sqrt{3} \; }}$

Corrigé
3°) Rendre rationnel un dénominateur dans l’expression : $C=\dfrac{5+3\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}$.
$$\begin{array}{rcl}
C&=&\dfrac{(5+3\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}\\
&=&\dfrac{15-5\sqrt{2}+9\sqrt{2}-6}{3^2-(\sqrt{2})^2}\\
&=&\dfrac{9+4\sqrt{2}}{9-2}\\
C&=&\dfrac{9+4\sqrt{2}}{7}\\
\end{array}$$
Conclusion 1. $\color{brown}{\boxed{\; C=\dfrac{9+4\sqrt{2}}{7} \; }}$

D’autre part : $C=\dfrac{9}{7}+\dfrac{4}{7}\sqrt{2}$, avec $a=\dfrac{9}{7}$, $b=\dfrac{4}{7}$ et $c=2$.
Conclusion 2. $\color{brown}{\boxed{\; C=\dfrac{9}{7}+\dfrac{4}{7}\sqrt{2} \; }}$

Liens connexes