Reconnaitre une forme factorisée et une forme développée ou développée réduite


Pré-requis

  1. Calcul littéral. Expressions algébriques ;
  2. Prpriété de distributivité.

1. Termes et facteurs

Définition 1.
– Dans une addition, $a+b=s$, $a$ et $b$ s’appellent des termes et $s$ est la somme.
– Dans une soustraction, $a–b=d$, $a$ et $b$ s’appellent aussi des termes et $d$ est la différence.
– Dans une multiplication, $a\times b=p$ ou $ab=p$, $a$ et $b$ s’appellent des facteurs et $p$ est le produit.

2. Expression développée. Expression factorisée

Définition 2.
Une expression numérique ou algébrique factorisée si et seulement si, elle est écrite sous la forme d’un produit de deux ou plusieurs facteurs.

EXEMPLE 1.
Les expressions suivantes sont factorisées :
$A(x)=2x$ ; $B(x)=3(2x+5)$ ; $C(x)=(x+1)(2x+3)$ ; $D(x)=(2x-5)^2$ et $E(x)=3x^2(x^2-1)(3x+2)^4$.

Définition 3.
Une expression numérique ou algébrique est dite développée si elle représente une expression dans laquelle on a résolu tous les calculs entre parenthèses.

EXEMPLE 2.
1°) Les expressions suivantes sont développées :
$A(x)=2x$ ; $B(x)=3x+5$ ; $C(x)=2x^2+3x-5$.
2°) Les expressions suivantes ne sont ni développées ni factorisées :
$D(x)=5(2x-3)+7x-1$ et $E(x)=(x-1)^2-9$.

Définition 4.
Réduire une expression algébrique développée, revient à l’écrire avec un minimum de termes possibles. Ce qui revient à regrouper les termes de même nature.

EXEMPLE 3.
1°) Les expressions suivantes sont développées réduites :
$A(x)=2x$ ; $B(x)=3x+5$ ; $C(x)=2x^2+3x-5$.
2°) Les expressions suivantes sont développées, mais ne sont pas réduites :
$D(x)=5x-3+2x$, [il y a deux termes en $x$] et $E(x)=5x^2-9x+7-2x^2$, [il y a deux termes en $x^2$].

3. Exercices résolus

EXERCICE RÉSOLU n°1.
Déterminer si les expressions suivantes sont développées ou factorisées :
$A(x)=3x+5x^2$ ; $B(x)=4(2x+3)$ ; $C(x)=(x+1)^2-4$.

1°) L’expression $A(x)=3x+5x^2$ est développée et réduite.

2°) L’expression $B(x)=4(2x+3)$ est factorisée.

3°) L’expression $C(x)=(x+1)^2-4$ n’est ni développée, ni factorisée.

Liens connexes

  1. Calcul littéral. Expressions algébriques ;
  2. La propriété de distributivité.
  3. Reconnaitre une forme factorisée et une forme développée ou développée réduite.
  4. Les identités remarquables.
  5. Développer et réduire une expression algébrique simple.
  6. Développer et réduire une expression algébrique avec les identités remarquables.
  7. Factoriser une expression algébrique simple.
  8. Factoriser une expression algébrique avec les identités remarquables.
  9. Applications des identités remarquables aux racines carrées.
  10. Rendre rationnel un dénominateur.
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